TS podle Quast a Quast modifikovaná

Quast

Tento model pro zachycení spolupůsobení betonu v tahu mezi trhlinami vychází z definované napěťově-deformační křivky betonu v tahové oblasti (diagram parabola-obdélník).

Základní předpoklady přístupu Quasta lze shrnout následovně:

• Plné spolupůsobení betonu v tahu až do dosažení přetvoření při vzniku trhliny ε_cr,R resp. výpočtové pevnosti betonu v tahu f_ct,R.
• Snížené zpevňující spolupůsobení betonu v tahové zóně podle aktuálního přetvoření betonu.
• Žádné uvažování tahového zpevnění po nastoupení mez kluzu rozhodujícího výztužného prutu.

Celkově to znamená, že výpočtová pevnost v tahu f_ct,R není pevná veličina, ale vztahuje se k aktuálnímu přetvoření v rozhodující ocelové (tahové) vlákně. Maximální pevnost v tahu f_ct,R klesá od definovaného přetvoření při vzniku trhliny ε_cr,R až do dosažení poměrného přetvoření při mezi kluzu oceli výztuže v rozhodující ocelové vlákně lineárně (při n_VMB = 1) na nulu. Dosaženo je toho napěťově-deformační křivkou v tahové oblasti betonu (diagram parabola-obdélník) zobrazenou na následujícím obrázku a stanovením redukčního faktoru VMB (zpevňující spolupůsobení betonu).

V dalším obrázku jsou schématicky znázorněny napěťové stavy pro rostoucí namáhání s tahovým zpevněním.

Napěťově-deformační křivku v tahové oblasti lze popsat následujícími rovnicemi:

pro 0 < ε < ε_cr,R pro ε > ε_cr,R

• Plnost paraboly v prvním úseku lze řídit exponentem n_PR.
• Exponent by měl být přizpůsoben tak, aby přechod z tlakové do tahové oblasti probíhal co možná nejsamezným modulem pružnosti.

K určení redukčního faktoru VMB se použije přetvoření na nejvíce tažené ocelové vlákně. Poloha referenčního bodu je znázorněna na následujícím grafu.

Redukční faktor VMB klesá s rostoucím přetvořením oceli. V diagramu faktoru VMB (viz obrázek níže) je patrné, že faktor VMB se přesně při počátku kluzu výztuže redukuje na nulu.

Průběh redukčního faktoru VMB ve stavu II (ε > ε_cr,R) lze řídit exponentem n_VMB.

• Zkušenostní hodnoty podle Pfeiffera [2] jsou hodnoty n_VMB = 1 (lineární) až n_VMB = 2 (parabola) pro prvky namáhané ohybem.
• Quast [3] používá ve svém modelu exponent n_VMB = 1 (lineární) a dosahuje tím dobré shody při zpětném přepočtu zkoušek sloupů.
• Podle Pfeiffera [2] lze s n_VMB = 2 znázornit čisté tahové zkoušky s přijatelnou shodou.

/

Předpoklad diagramu parabola-obdélník pro popraskanou tahovou zónu betonu je třeba považovat za výpočtovou pomůcku. Na první pohled existují velké rozdíly vůči experimentálně zjištěným napěťově-deformačním křivkám na tahové straně čistého betonu.

Při posouzení aktuálních napětí v železobetonovém průřezu namáhaném ohybem se ukazuje, že diagram parabola-obdélník je poměrně dobře schopen popsat přetvoření a napětí v průměru. U ohybového nosníku se mezi dvěma trhlinami tvoří betonové těleso. To působí jako jakási deska, do níž se výztuží postupně opět zavádějí tahové síly. Tím vzniká velmi nepravidelný průběh napětí a přetvoření. V průměru však lze vytvořit rovinu přetvoření s parabolicko-obdélníkovým průběhem, pomocí níž lze zachytit střední zakřivení.

Pro model Quasta byly navrženy následující výpočtové hodnoty

• pro pevnost v tahu f_ct,R

• pro přetvoření při vzniku trhliny ε_cr,R

Výpočtová hodnota pevnosti v tahu f_ct,R je tedy menší než předpoklady Eurokódu. To je zdůvodněno popisem pracovní křivky a stanovením redukčního faktoru VMB, při němž se uvažované tahové napětí a výsledná tahová síla po překročení tahového přetvoření redukují jen pomalu. Při přetvoření 2 ⋅ ε_cr ještě vyplývá účinné tahové napětí asi 0.95 ⋅ f_ct,R. Tím lze u namáhání ohybem dobře předpovědět snížení tuhosti. Při čistém tahovém namáhání jsou výše uvedené hodnoty pro f_ct,R příliš malé. Zde by se podle Pfeiffera [2] měly jako výpočtová hodnota pevnosti v tahu použít hodnoty z EC 2. Hodnoty doporučené Quastem [3] pro f_ct,R = 1/20 ⋅ f_cm lze dosáhnout uvažením 60 % pevností v tahu uvedených v EC 2. Při uvažení f_ct,R = 0.6 ⋅ fctm se na jednu stranu předpovídá rozpraskání průřezu příliš brzy. Na druhou stranu je tím však již zohledněno snížení pevnosti v tahu při rovnoměrném zatížení (asi 70 %) nebo dočasné vyšší zatížení (např. krátkodobé působení zřídkavé kombinace účinků), které vede k poškozené tahové zóně. Jednotlivé výpočtové hodnoty pro tahovou zónu betonu lze popsat následovně:

Modifikovaný přístup podle Quasta

Modifikovaný přístup podle Quasta používá stejnou výpočtovou pevnost v tahu f_ct,R jako přístup podle Quasta (viz předchozí kapitolu), ale vlastní, jednodušší cílovou křivku σ̂(ε): Roste lineárně od nuly až k pevnosti v tahu f_ct,R (při přetvoření f_ct,R/E, s modulem pružnosti E betonu) a poté zůstává konstantní. Neexistuje žádná parabolická složka; exponent n_t a přetvoření při vzniku trhliny ε_cr,R přístupu podle Quasta se nepoužívají. Kromě toho se liší způsob aplikace na betonové napětí:

• U přístupu podle Quasta se betonové napětí v tahové zóně přímo nastaví na hodnotu cílové křivky (σ_c = σ̂(ε), viz cílová křivka v kapitole „Quast"); to může oproti napětí nemodifikovaného základního modelu materiálu znamenat jak zvýšení, tak snížení.
• U modifikovaného přístupu se cílová křivka namísto toho čistě aditivně přičte k betonovému napětí σ_c,Basis(ε) dodávanému základním modelem materiálu (např. modelem poškození).

Betonové napětí lze tedy tahovým zpevněním pouze zvýšit, nikdy nesnížit. Tento aditivní postup je numericky robustnější než vynucující varianta podle Quasta, neboť nevede k náhlému skoku tuhosti, když napětí základního materiálu již cílovou křivku překračuje.

/

Implementace v programu: Lokální anizotropní rozšíření o tahové zpevnění

Při použití modelu poškození betonu je tahové zpevnění zobrazeno prostřednictvím lokálního anizotropního rozšíření o tahové zpevnění [4]. Přitom se na odezvu základního materiálu betonu v každém betonovém integračním bodě překrývá napětí v tahu způsobené výztuží, jehož cílový průběh se volitelně určí podle přístupu podle Quasta nebo podle modifikovaného přístupu podle Quasta. Korekce se počítá lokálně (po integračních bodech) a anizotropně (odděleně v obou hlavních směrech přetvoření); úhel mezi směrem výztuže a příslušným hlavním tahovým směrem se přitom explicitně zahrnuje.

/

/

Aktivační faktor

V každém betonovém integračním bodě se určí hlavní přetvoření ε₁, ε₂ a příslušný úhel hlavního přetvoření θ_p; relevantní pro tahové zpevnění jsou pouze tahové směry (viz níže, poziční faktor). Každá vrstva výztuže j přispívá přes tři multiplikativní dílčí faktory k aktivačnímu faktoru α_k hlavního směru k:

• g_j (kapacitní faktor): klesá s rostoucím přetvořením výztuže a při dosažení poměrného přetvoření při mezi kluzu výztuže je nulový; přetvoření výztuže a přetvoření při mezi kluzu se přitom posunou o přetvoření betonu při vzniku trhliny (viz níže, kapacitní faktor).
• a_j,k (úhlový faktor): u anizotropního modelu poškození cos²(Δθ) pro hlavní směr 1 a sin²(Δθ) pro hlavní směr 2, přičemž Δθ je úhel mezi vrstvou výztuže a hlavním směrem 1; součet obou faktorů je vždy 1. U izotropního modelu poškození platí namísto toho výše popsaná projekce založená na přetvoření, která poskytuje pro oba hlavní směry stejnou hodnotu.
• p_j (poziční faktor): 1 v rámci zóny vlivu uvažované vrstvy výztuže (vzdálenost d_j ≤ vzdálenost vlivu c_j, symetricky na obě strany výztuže); mimo tuto zónu faktor již nezávisí na vzdálenosti, nýbrž na poměru ekvivalentních přetvoření na vrstvě výztuže a v uvažované betonové vrstvě (viz níže, poziční faktor).

Ekvivalentní přetvoření

Do faktorů g_j a p_j nevstupuje přetvoření jako čisté přetvoření prutu výztuže resp. jako čisté přetvoření betonu, nýbrž jako ekvivalentní přetvoření, které zohledňuje Poissonovu konstantu μ betonu a stav přetvoření na příslušném místě ve směru výztuže:

Vyhodnocuje se dvakrát: na místě vrstvy výztuže j (ε_eq,s,j) a v uvažované betonové vrstvě (ε_eq,c), vždy v lokálním souřadném systému téže vrstvy výztuže j. Přitom je ε_∥ přetvoření ve směru vrstvy výztuže a ε_⊥ přetvoření kolmé k tomu. Hlavní směry průřezu zde nevstupují; ε_∥ tedy není vždy větší z obou hodnot. Tím sleduje úbytek kapacity skutečné otevření betonu podél výztuže. Tato ekvivalentní přetvoření vstupují do vzorce pro příspěvek aktivačního faktoru.

Kapacitní faktor

Kapacitní faktor klesá z 1 na 0, když ekvivalentní přetvoření výztuže roste od přetvoření při vzniku trhliny ε_cr,R až k poměrnému přetvoření při mezi kluzu ε_y,j výztuže; přetvoření výztuže a přetvoření při mezi kluzu jsou tím posunuty o přetvoření betonu při vzniku trhliny:

Plní-li ε_y,j ≤ ε_cr,R, je g_j = 0. Exponent n_VMB (vstup „Exponent paraboly redukčního faktoru po první trhlině") je vstup materiálu, který se používá stejně pro postup podle Quasta i pro postup podle Quasta modifikovaný a je vždy třeba jej zadat. Přetvoření při vzniku trhliny ε_cr,R je u postupu podle Quasta vstup „Výpočtové přetvoření při vzniku trhliny" (viz kapitola kapitola "Quast"). U modifikovaného přístupu podle Quasta se pro kapacitní faktor počítá s ε_cr,R = 0, posun odpadá.

Kapacitní faktor působí přes zatěžovací stupně jako hodnota poškození: Pokud g_j jednou poklesl, v pozdějších zatěžovacích stupních opět neroste. Výsledek vícekrokového výpočtu může být proto menší než hodnota vzorce pro přetvoření aktuálního zatěžovacího stupně, ale nikdy větší.

Poziční faktor

V rámci zóny vlivu vrstvy výztuže, to znamená pro betonové vrstvy se vzdáleností d_j ≤ c_j od vrstvy, platí p_j = 1; zóna leží symetricky na obou stranách výztuže. Přitom je d_j vzdálenost uvažované betonové vrstvy od vrstvy výztuže j a c_j vzdálenost vlivu. Vzdálenost vlivu je rovna vzdálenosti středu vrstvy od nejbližšího povrchu průřezu, c_j = max(0, h/2 − |z_s,j|), s tloušťkou průřezu h a polohou z_s,j vrstvy výztuže vztahovanou ke střední ploše, a určuje se pro každou vrstvu výztuže zvlášť. Není to zadané krytí výztuže: Počítá se až do středu vrstvy a hlouběji uložené vrstvy mají větší vzdálenost vlivu. Leží-li vrstva uprostřed průřezu, je c_j = h/2 a p_j je v celém průřezu 1. Dále od výztuže (d_j > c_j) vyplývá faktor z poměru ekvivalentních přetvoření na místě výztuže a v uvažované betonové vrstvě, omezený na [0, 1]:

Tento průběh není pevnou funkcí d_j/c_j: Obě ekvivalentní přetvoření závisí na aktuálním stavu přetvoření, tvar se tedy mění s případem zatížení. Graf jej ukazuje pro příkladný lineární průběh přetvoření přes tloušťku průřezu.

Poziční faktor se počítá pro každý bod průřezu a každou vrstvu výztuže, také pro body na protilehlé straně průřezu. Zda vůbec na bodu působí tahové zpevnění, rozhoduje nezávisle na tom vlastní srovnávací poměrné přetvoření: Pouze při kladném srovnávacím přetvoření (tah) může být tahové zpevnění pro příslušný hlavní směr aktivní, při nule nebo tlaku nikdy, nezávisle na hodnotě p_j. Srovnávací poměrné přetvoření se vytvoří z přetvoření základního modelu materiálu v uvažovaném hlavním směru, překrytého složkou vázanou přes Poissonovu konstantu na základě skutečných hlavních přetvoření. Není to ekvivalentní přetvoření ε_eq,s,j ani ε_eq,c a nezávisí na žádné konkrétní vrstvě výztuže.

/

Příspěvky všech vrstev výztuže se slučují přes p-normy do dvou faktorů hlavního směru k: geometrického faktoru a_k a sloučeného kapacitního faktoru g_k. Váhy vrstev výztuže jsou w_j = p_j ⋅ a_j,k:

Kapacitní faktor se tedy neprůměruje, nýbrž sloučí váženě se stejným exponentem p jako geometrický faktor: Vrstvy s větší vahou vstupují výrazně silněji, a která vrstva je v bodě rozhodující, se proto může měnit mezi zatěžovacími stupni. Teprve po sloučení se g_k dolů omezí na 5 %, aby jediná, již tekoucí, ale geometricky relevantní vrstva výztuže netáhla aktivaci v málo namáhané betonové vrstvě úplně na nulu. Dolní mez nepůsobí ani na jednotlivá g_j, ani uvnitř p-normy. Aktivační faktor hlavního směru k vyplývá z obou faktorů a omezuje se na [0, 1]:

Bez dolní meze a bez omezení na 1 je součin a_k ⋅ g_k roven p-normě příspěvků Δα_j,k ze vzorce pro příspěvek aktivačního faktoru.

/

Implementace u Quast a Quast modifikovaný

Cílové napětí v hlavním směru k vyplývá jako:

Pro základní křivku cílového napětí σ̂(ε) jsou k dispozici dvě varianty, jejichž teoretické základy jsou popsány v předchozích kapitolách. Obě křivky neobsahují žádnou redukci kapacitním faktorem; ta působí výhradně přes g_j:

/

Implementace u Quast

Při plné aktivaci odpovídá implementace přímému předepsání cílové křivky pro betonové napětí popsanému v kapitole „Quast". Obecně vyplývá betonové napětí v hlavním směru k jako vážené překrytí cílového napětí a napětí σ_c,Basis základního modelu materiálu:

Při a_k = 1 a g_k = 1 je to přímé předepsání cílové křivky, při a_k = 0 zůstává napětí základního modelu materiálu nezměněno.

Implementace u Quast modifikovaný

Při plné aktivaci odpovídá implementace čistě aditivní přirážce z kapitoly „Modifikovaný přístup podle Quasta". Při částečné aktivaci vstupuje přirážka poměrně, podle dílčích faktorů aktivačního faktoru, do betonového napětí.

Meze postupu

/