Calcolo diretto della deformazione

mediante il metodo della rigidezza efficace (ESM)

1. Descrizione del fondamento teorico

Per l'analisi delle deformazioni nell'ambito del dimensionamento del calcestruzzo viene utilizzato un procedimento analitico per strutture 2D ed elementi 1D soggetti a forze normali e momenti flettenti. Questo si basa sulla determinazione delle rigidezze efficaci (metodo della rigidezza efficace) a livello di sezione, tenendo conto dello stato di fessurazione, nonché di effetti come il tension stiffening ed effetti semplici a lungo termine (ritiro e viscosità).

1.1. Assunzioni di base su materiale e geometria

Per l'analisi diretta delle deformazioni nel dimensionamento del calcestruzzo si assume un comportamento a compressione linearmente elastico e un comportamento linearmente elastico fino al raggiungimento della resistenza a trazione. Tali assunzioni sono sufficienti per la verifica di esercizio. Se le tensioni superano la resistenza a compressione del calcestruzzo, lo sviluppo del danno avviene secondo EN 1992-1-1, paragrafo 7.3.4.
Il calcolo si basa su un semplice modello isotropo della meccanica della frattura, definito individualmente per le due direzioni di armatura. In conformità a EN 1992-1-1, una matrice di rigidezza materiale efficace viene calcolata mediante interpolazione tra lo stato non fessurato (stato I) e lo stato fessurato (stato II) secondo il paragrafo 7.4.3, equazione (7.18). Il calcestruzzo armato viene quindi modellato come materiale ortotropo. Si tengono conto di effetti quali il tension stiffening e semplici effetti a lungo termine (ritiro e viscosità).
Il calcolo delle matrici di rigidezza materiale è implementato per i tipi di modello 2D-XY (u_z / φ_x / φ_y) e 3D. Nel modello 3D viene inoltre considerata nella matrice di rigidezza l'influenza delle eccentricità dei baricentri ideali.

1.2. Azioni interne di progetto

Come descritto sopra, il calcolo delle rigidezze si basa su assunzioni linearmente elastiche. Le forze interne vengono trasformate ortogonalmente alla direzione dell'armatura φ e sulle due superfici s (superiore e inferiore). Le azioni interne ottenute – momenti flettenti m_s,φ e forze normali n_s,φ (i momenti torcenti vengono eliminati dalla trasformazione) – dipendono da:
(a) tipo di modello;
(b) procedimento di calcolo;
(c) criterio di classificazione.

1.3. Superficie critica

Per determinare la superficie critica, ciascuna direzione di armatura φ viene considerata separatamente. Lo stato tensionale viene analizzato sulla superficie inferiore (in direzione dell'asse locale +z) e sulla superficie superiore (in direzione dell'asse locale -z). La superficie con la maggiore tensione di trazione nel calcestruzzo è considerata determinante. Le azioni interne sulle superfici critiche sono denominate n_φ e m_φ.

La forza normale n_φ,s, trasformata nella direzione dell'armatura φ, ha per entrambe le superfici lo stesso valore (n_φ = n_φ,superiore = n_φ,inferiore). Pertanto, le forze normali non sono rilevanti per la determinazione della superficie critica; per individuare la superficie determinante si considerano solo i momenti flettenti. I segni dei momenti flettenti m_φ,s sono determinati in base al fatto che i momenti causino trazione o compressione sulla rispettiva superficie. La superficie critica è quella con il momento flettente maggiore (ossia la superficie maggiormente sollecitata a trazione).

Per il calcolo delle rigidezze vengono considerate solo le azioni interne n_φ e m_φ sulla superficie critica. Finora il termine "superficie inferiore" si riferiva all'asse locale +z. Nel seguito, tuttavia, "superficie inferiore" si riferisce al lato della superficie determinante.

1.4. Proprietà della sezione

Le proprietà della sezione vengono determinate per entrambe le direzioni di armatura e per entrambi gli stati della sezione c (fessurata / non fessurata). Per lo stato I (sezione non fessurata) si assume un comportamento lineare-elastico del calcestruzzo a trazione. Per lo stato II (sezione fessurata) la resistenza a trazione del calcestruzzo non viene considerata.

Il calcolo dei parametri geometrici per lo stato I è indipendente dalle azioni interne, quindi è possibile un calcolo diretto. Per lo stato II la profondità dell'asse neutro viene calcolata iterativamente. Per motivi numerici, il programma utilizza il grado minimo di armatura ρ_min = 10^-4 per entrambe le superfici determinanti (superiore e inferiore), ma solo in presenza di un contributo di forza normale positivo. Ciò significa che, in assenza di armatura, viene assunta una superficie minima di armatura virtuale. Un valore così piccolo non ha un'influenza apprezzabile sui risultati (rigidezze).

Le proprietà ideali della sezione calcolate (riferite alla sezione in calcestruzzo) in una direzione di armatura φ e per lo stato di fessurazione c sono:
(a) momento d'inerzia rispetto al baricentro ideale I_c,φ
(b) momento d'inerzia rispetto al baricentro geometrico della sezione I_0,c,φ
(c) area della sezione A_c,φ
(d) eccentricità del baricentro ideale e_c,φ

1.5. Effetti a lungo termine

Ritiro e viscosità sono proprietà del calcestruzzo dipendenti dal tempo. In conformità a EN 1992-1-1, gli effetti a lungo termine devono essere considerati separatamente.

1.5.1. Viscosità

Gli effetti di viscosità vengono presi in considerazione mediante una riduzione del modulo elastico del calcestruzzo E_c, utilizzando il coefficiente di viscosità efficace ϕ_eff secondo EN 1992-1-1, equazione (7.20):

1.5.2. Ritiro

Nel calcolo della freccia secondo EN 1992-1-1, vi sono due aspetti influenzati dagli effetti del ritiro.

1.5.2.1. Riduzione della rigidezza del materiale
La rigidezza del materiale in ciascuna direzione di armatura φ viene ridotta mediante il cosiddetto coefficiente di influenza del ritiro k_sh,c,φ. Per entrambi gli stati di fessurazione c (fessurato / non fessurato), le forze normali di ritiro n_sh,c,φ e i momenti flettenti m_sh,c,φ sono determinati dalla deformazione libera di ritiro ε_sh:

Fig. 1.1: Azioni interne n_sh,φ e m_sh,φ
Con queste azioni interne dovute al ritiro viene calcolata la curvatura aggiuntiva κ_sh,c,φ nel punto analizzato, senza l'influenza del modello circostante. Successivamente viene calcolato il coefficiente di influenza del ritiro

Il coefficiente k_sh,c,φ è limitato all'intervallo k_sh,c,φ ∈ (1, 100). Pertanto, k_sh,c,φ non può ridurre la rigidezza di oltre 100 volte (per motivi numerici e fisici). Il valore minimo k_sh,c,φ = 1,0 significa che l'influenza del ritiro non può essere considerata se questo ha un orientamento opposto rispetto alla curvatura κ_d causata dal carico. Se il ritiro è disattivato, il coefficiente corrisponde a k_sh,c,φ = 1,0.
L'influenza del ritiro sulla rigidezza di membrana non viene considerata.

1.5.2.2. Calcolo del coefficiente di distribuzione
Il secondo effetto del ritiro riguarda il calcolo del coefficiente di distribuzione (parametro di danneggiamento) ζ secondo EN 1992-1-1, paragrafo 7.4.3, equazione (7.18). Il capitolo seguente descrive il coefficiente di distribuzione in dettaglio.

1.6. Coefficiente di distribuzione

Il calcolo del coefficiente di distribuzione ζ_d viene illustrato per la direzione di armatura φ. Per prima cosa, il programma calcola la massima tensione di trazione nel calcestruzzo σ_max,φ assumendo un comportamento lineare-elastico del materiale. Se gli effetti a lungo termine (viscosità o ritiro) sono attivati, la tensione massima deve essere calcolata due volte; in caso contrario, una sola volta.

Calcolo a breve termine: verifica se le fessure si formano immediatamente dopo il carico.
Calcolo a lungo termine: tiene conto del comportamento fessurativo con influenza della viscosità o del ritiro al termine del periodo considerato.

Fasi di calcolo:
Con viscosità attivata: vengono calcolati i parametri geometrici a breve termine e la tensione massima.
Con ritiro attivato: è necessario solo ricalcolare la tensione a breve termine. Successivamente, la tensione massima finale σ_max,φ viene calcolata come massimo tra la tensione a lungo termine σ_max,lt,φ e la tensione a breve termine σ_max,st,φ.

L'influenza della forza di ritiro sulla tensione massima di trazione σ_max,φ viene considerata mediante le azioni interne aggiuntive dovute al ritiro. Il calcolo del coefficiente di distribuzione ζ_d,φ dipende dal fatto che il tension stiffening sia considerato o meno nel calcolo delle deformazioni secondo EN 1992-1-1.

1.6.1. Coefficiente di distribuzione ζ_d,φ con considerazione del tension stiffening

1.6.2. Coefficiente di distribuzione ζ_d,φ senza considerazione del tension stiffening

1.6.3. Individuazione dello stato di fessurazione

L'individuazione dello stato di fessurazione può essere impostata nella configurazione di esercizio (Serviceability Configuration). Sono disponibili le seguenti opzioni:
(a) lo stato di fessurazione viene calcolato in base al rispettivo carico;
(b) lo stato di fessurazione viene determinato in base alla corrispondente combinazione caratteristica (CO) della situazione di progetto SLS;
(c) lo stato di fessurazione viene determinato come inviluppo di tutte le situazioni di progetto SLS;
(d) lo stato di fessurazione è indipendente dal carico.

Fig. 1.2: Configurazione di esercizio
Se viene selezionata l'opzione Lo stato di fessurazione viene calcolato in base al rispettivo carico, lo stato di fessurazione (coefficiente di distribuzione ζ_d) viene calcolato solo in base al carico attuale (combinazione di carico).
Se viene selezionata l'opzione Lo stato di fessurazione viene determinato in base alla corrispondente combinazione caratteristica (CO) della situazione di progetto SLS, il coefficiente di distribuzione ζ_d viene calcolato come massimo di tutti i carichi corrispondenti. I carichi corrispondenti possono essere definiti nella definizione della combinazione di carico.

Fig. 1.3: Carichi corrispondenti
Se viene selezionata l'opzione Lo stato di fessurazione viene determinato come inviluppo di tutte le situazioni di progetto SLS, il coefficiente di distribuzione ζ_d viene calcolato come massimo di tutte le situazioni di progetto. Se viene selezionata l'opzione Lo stato di fessurazione è indipendente dal carico, il coefficiente di distribuzione è sempre pari a 1,0.

1.6.4. Situazioni di progetto

In generale, la freccia viene calcolata per i carichi quasi permanenti. Tuttavia, è possibile selezionare situazioni di progetto desiderate (nella configurazione di esercizio, opzione Assegnazione personalizzata del tipo di situazione di progetto) per le quali deve essere calcolata la freccia.
Possono essere selezionati i seguenti tipi di situazione di progetto di esercizio:
- Quasi permanente,
- Frequente,
- Caratteristica.
Per ciascun tipo può essere definito un valore limite per la freccia (vedere Fig. 1.2). Inoltre, le situazioni di progetto desiderate vengono impostate anche per il dimensionamento del calcestruzzo.

Fig. 1.4: Impostazione delle situazioni di progetto per il dimensionamento del calcestruzzo
Per l'individuazione dello stato di fessurazione (in particolare nella selezione se l'individuazione avvenga a partire dai carichi corrispondenti o da tutte le situazioni di progetto di esercizio) è determinante l'impostazione nel dimensionamento del calcestruzzo.
In altre parole:
- Se una situazione di progetto è disattivata nella configurazione di esercizio ma attivata nell'impostazione del dimensionamento del calcestruzzo, tale situazione di progetto viene considerata.
- Se una situazione di progetto è attivata nella configurazione di esercizio ma disattivata nell'impostazione del dimensionamento del calcestruzzo, tale situazione di progetto non viene considerata.

1.7. Proprietà della sezione per l'analisi delle deformazioni

Nella matrice di rigidezza materiale D per l'analisi delle deformazioni, il programma necessita delle proprietà della sezione in ciascuna direzione di armatura, in funzione dello stato di fessurazione. Queste sono:
(a) momento d'inerzia rispetto al baricentro ideale I_φ;
(b) momento d'inerzia rispetto al baricentro geometrico della sezione I_0,c;
(c) area ideale della sezione A_φ;
(d) eccentricità del baricentro ideale e_φ rispetto al baricentro geometrico.
Una deformazione media ε_φ e una curvatura media κ_φ vengono calcolate mediante interpolazione tra stato fessurato e non fessurato secondo EN 1992-1-1, equazione (7.18):

La deformazione nello stato non fessurato e fessurato c (stato I e II) viene calcolata secondo le seguenti equazioni:

Le proprietà ideali della sezione vengono calcolate rispetto al baricentro ideale della sezione. L'influenza del ritiro viene considerata mediante il fattore k_sh,c,φ :

Se la forza normale è diversa da zero, le proprietà della sezione vengono calcolate rispetto al baricentro geometrico della sezione tenendo conto dell'eccentricità:

1.8. Matrice di rigidezza materiale D (aste)

La rigidezza assiale EA e la rigidezza flessionale EI_y,0 vengono calcolate solo nella direzione di armatura φ = 1 (direzione dell'asta) come segue:

1.9. Matrice di rigidezza materiale D (superfici)

Nel calcolo delle proprietà della sezione, il valore iniziale del rapporto di Poisson ν_init viene ridotto indipendentemente in entrambe le direzioni secondo la seguente equazione:

La matrice di rigidezza materiale viene calcolata secondo la teoria delle superfici ortotrope.

1.9.1. Rigidezza flessionale - piastre e gusci

Le rigidezze flessionali nelle direzioni di armatura φ vengono determinate come segue:
Per gusci:

Per piastre:
La componente non diagonale della matrice di rigidezza materiale è identica per piastre e gusci:
Per i gusci, le differenze nelle rigidezze flessionali dovute ai momenti d'inerzia vengono compensate dalle componenti di eccentricità nella matrice di rigidezza materiale.

1.9.2. Rigidezza torsionale di piastre e gusci

Gli elementi della matrice di rigidezza per piastre e gusci sono calcolati come segue:

1.9.3. Rigidezza a taglio di piastre e gusci

Gli elementi della matrice di rigidezza per il taglio non vengono ridotti nell'analisi delle deformazioni. Essi vengono determinati dal modulo di taglio G della sezione ideale e dall'altezza della sezione h. L'espressione è identica per gusci e piastre:

1.9.4. Rigidezza di membrana dei gusci

Le rigidezze di membrana nelle direzioni di armatura φ vengono calcolate come segue:

La parte non diagonale della matrice di rigidezza materiale è determinata da:

La componente della rigidezza a taglio è:

1.9.5. Eccentricità – gusci

Gli elementi della matrice di rigidezza per l'eccentricità del baricentro (sezione ideale) nella direzione di armatura φ vengono calcolati come segue:

La parte non diagonale della matrice di rigidezza materiale è determinata da:

La componente di eccentricità per la torsione è calcolata come segue:

1.9.6. Verifica della definiteness positiva

La definiteness positiva della matrice di rigidezza materiale D viene verificata mediante un criterio di SYLVESTER modificato (tenendo conto dei blocchi nulli).
Se la matrice di rigidezza D non è definita positiva, le componenti non diagonali della matrice di rigidezza materiale vengono azzerate progressivamente. Nel caso estremo rimangono solo le componenti positive della diagonale principale.

1.10. Calcolo delle frecce

Le frecce di un oggetto (asta o superficie) vengono determinate mediante la matrice di rigidezza D precedentemente calcolata. Il valore di progetto (Design Ratio) viene calcolato dalla freccia e dal valore limite.

1.10.1. Carico corrispondente

Se un carico corrispondente viene assegnato al carico principale, la freccia finale viene calcolata come somma dei singoli valori. La combinazione di carico principale viene calcolata senza proprietà dipendenti dal tempo (viscosità e ritiro) e dovrebbe quindi essere a breve termine (frequente o caratteristica). La combinazione di carico corrispondente viene invece sempre calcolata con proprietà dipendenti dal tempo e dovrebbe quindi essere a lungo termine (quasi permanente). Se viene assegnato più di un carico corrispondente, viene considerato quello con il valore di freccia più elevato.
La freccia totale viene calcolata come segue:

1.11 Differenze tra RFEM 5 e RFEM 6

Calcolo dell'altezza della zona compressa del calcestruzzo
In RFEM 5 l'altezza della zona compressa del calcestruzzo viene calcolata in base all'altezza netta della sezione, mentre in RFEM 6 viene utilizzata l'altezza lorda della sezione. Questo approccio consente un calcolo più rapido e più chiaro, offrendo anche una migliore tracciabilità dei risultati. Grazie a questa semplificazione, l'accuratezza del calcolo rimane elevata, per cui nella pratica i risultati non mostrano differenze significative. RFEM 6 offre quindi una soluzione più efficiente a parità di risultati precisi.

Coefficiente di distribuzione dell'armatura
Il coefficiente di distribuzione, che descrive la distribuzione delle tensioni sulla sezione, in RFEM 5 veniva determinato esclusivamente sulla base della tensione a lungo termine. Ciò significa che veniva considerata solo la tensione agente per un periodo di tempo prolungato. In RFEM 6 l'approccio di calcolo è stato ulteriormente sviluppato, così che ora viene considerato il massimo tra la tensione a lungo termine e quella a breve termine. Questa modifica consente una rappresentazione più realistica delle effettive condizioni di tensione nella sezione.