Cálculo de deformação direta

mediante o Método de Rigidez Efetiva (MRE)

1. Descrição do fundamento teórico

Para a análise de deformações no âmbito do dimensionamento em betão, é utilizado um procedimento analítico para estruturas 2D e elementos 1D sujeitos a esforços normais e momentos fletores. Este baseia-se na determinação de rigidezes efetivas (Método de Rigidez Efetiva) ao nível da secção, considerando o estado fissurado, bem como efeitos como Tension Stiffening e efeitos de longo prazo simples (retração e fluência).

1.1. Hipóteses básicas de material e geometria

Para a análise direta das deformações no dimensionamento em betão, assume-se um comportamento linear-elástico à compressão, bem como um comportamento linear-elástico até ao alcance da resistência à tração. Tais hipóteses são suficientes para a verificação em serviço. Se as tensões excederem a resistência à compressão do betão, o desenvolvimento dos danos ocorre de acordo com a EN 1992-1-1, Secção 7.3.4.
O cálculo baseia-se num modelo isotrópico simples de mecânica da fratura, definido individualmente para as duas direções de armadura. De acordo com a EN 1992-1-1, uma matriz de rigidez efetiva do material é calculada por interpolação entre o estado não fissurado (Estado I) e o estado fissurado (Estado II), conforme a Secção 7.4.3, Equação (7.18). Assim, o betão armado é modelado como um material ortotrópico. São considerados efeitos como Tension Stiffening, bem como efeitos simples de longo prazo (retração e fluência).
O cálculo das matrizes de rigidez do material é implementado para os tipos de modelo 2D-XY (u_z / φ_x / φ_y) e 3D. No modelo 3D, é adicionalmente considerado o efeito das excentricidades dos centros de gravidade ideais na matriz de rigidez.

1.2. Esforços internos de dimensionamento

Como descrito acima, o cálculo das rigidezes baseia-se em hipóteses lineares - elásticas. As forças internas são transformadas ortogonalmente à direção da armadura ф e para as duas superfícies s (superior e inferior). As forças internas obtidas – momentos fletores m_s,ф e esforços normais n_s,ф (os momentos torsores são eliminados pela transformação) – dependem de:
(a) tipo de modelo;
(b) procedimento de cálculo;
(c) critério de classificação.

1.3. Superfície crítica

Para determinar a superfície crítica, cada direção de armadura ф é considerada separadamente. O estado de tensões é analisado na superfície inferior (na direção do eixo local +z) e na superfície superior (na direção do eixo local -z). A superfície com a maior tensão de tração no betão é considerada determinante. As forças internas nas superfícies críticas são designadas por n_ф e m_ф.

O esforço normal n_ф,s, transformado para a direção de armadura ф, tem o mesmo valor para ambas as superfícies (n_ф = n_ф,superior = n_ф,inferior). Por isso, os esforços normais não são relevantes para a determinação da superfície crítica; apenas os momentos fletores são considerados para encontrar a superfície determinante. Os sinais dos momentos fletores m_ф,s são definidos em função de os momentos causarem tração ou compressão na respetiva superfície. A superfície crítica é aquela com o maior momento fletor (ou seja, a superfície mais solicitada à tração).

Para o cálculo das rigidezes, apenas são consideradas as forças internas n_ф e m_ф na superfície crítica. Até agora, o termo "superfície inferior" referia-se ao eixo local +z. No que se segue, porém, "superfície inferior" refere-se ao lado determinante da superfície.

1.4. Propriedades da secção

As propriedades da secção são determinadas para ambas as direções de armadura e para ambos os estados da secção c (fissurado / não fissurado). Para o Estado I (secção não fissurada), é assumido um comportamento linear - elástico do betão à tração. Para o Estado II (secção fissurada), a resistência à tração do betão não é considerada.

O cálculo dos parâmetros geométricos é independente das forças internas no Estado I, pelo que é possível um cálculo direto. No Estado II, a profundidade do eixo neutro é calculada iterativamente. Por razões numéricas, o programa utiliza o grau mínimo de armadura ρ_min = 10^-4 para ambas as superfícies decisivas (superior e inferior), mas apenas com componente positiva do esforço normal. Isto significa que, na ausência de armadura, é considerada uma área mínima virtual de armadura. Um valor tão pequeno não tem influência significativa nos resultados (rigidezes).

As propriedades ideais da secção calculadas (relativas à secção de betão), numa direção de armadura ф e para o estado de fissuração c, são:
(a) momento de inércia em relação ao centro de gravidade ideal I_c,ф
(b) momento de inércia em relação ao centro de gravidade geométrico da secção I_0,c,ф
(c) área da secção A_c,ф
(d) excentricidade do centro de gravidade ideal e_c,ф

1.5. Efeitos de longo prazo

A retração e a fluência são propriedades do betão dependentes do tempo. De acordo com a EN 1992-1-1, os efeitos de longo prazo devem ser considerados separadamente.

1.5.1. Fluência

Os efeitos de fluência são considerados através de uma redução do módulo de elasticidade do betão E_c, utilizando-se o coeficiente de fluência efetivo ϕ_eff conforme a EN 1992-1-1, Equação (7.20):

1.5.2. Retração

No cálculo das flechas de acordo com a EN 1992-1-1, existem dois aspetos influenciados pelos efeitos de retração.

1.5.2.1. Redução da rigidez do material
A rigidez do material em cada direção de armadura φ é reduzida por um chamado coeficiente de influência da retração k_sh,c,φ. Para ambos os estados de fissuração c (fissurado / não fissurado), as forças normais de retração n_sh,c,φ e os momentos fletores m_sh,c,φ são determinados a partir da deformação livre de retração ε_sh:

Fig. 1.1: Forças internas n_sh,ф e m_sh,ф
Com estas forças internas provenientes da retração, é calculada a curvatura adicional κ_sh,c,ф no ponto analisado — sem a influência do modelo envolvente. Em seguida, o coeficiente de influência da retração

O coeficiente k_sh,c,ф é limitado ao intervalo k_sh,c,ф ∈ (1, 100). Assim, k_sh,c,ф não pode reduzir a rigidez em mais de 100 vezes (por razões numéricas e físicas). O valor mínimo k_sh,c,ф = 1,0 significa que o efeito da retração não pode ser considerado quando esta apresenta orientação oposta à curvatura κ_d causada pelo carregamento. Se a retração estiver desativada, o coeficiente é k_sh,c,ф = 1,0.
O efeito da retração na rigidez de membrana não é considerado.

1.5.2.2. Cálculo do coeficiente de distribuição
O segundo efeito da retração diz respeito ao cálculo do coeficiente de distribuição (parâmetro de dano) ζ de acordo com a EN 1992-1-1, Secção 7.4.3, Equação (7.18). O capítulo seguinte descreve o coeficiente de distribuição em detalhe.

1.6. Coeficiente de distribuição

O cálculo do coeficiente de distribuição ζ_d é apresentado para a direção de armadura ф. Primeiro, o programa calcula a tensão máxima de tração no betão σ_max,ф, assumindo um comportamento linear-elástico do material. Se os efeitos de longo prazo (fluência ou retração) estiverem ativados, a tensão máxima deve ser calculada duas vezes; caso contrário, apenas uma vez.

Cálculo de curto prazo: Verifica se surgem fissuras imediatamente após a aplicação do carregamento.
Cálculo de longo prazo: Considera o comportamento fissurado com a influência de fluência ou retração no final do período de tempo considerado.

Passos de cálculo:
Com fluência ativada: São calculados os parâmetros geométricos de curto prazo e a tensão máxima.
Com retração ativada: É apenas necessário recalcular a tensão de curto prazo. Em seguida, a tensão máxima final σ_max,ф é calculada como o máximo entre a tensão de longo prazo σ_max,lt,ф e a tensão de curto prazo σ_max,st,ф.

O efeito da força de retração sobre a tensão máxima de tração σ_max,ф é considerado através das forças internas adicionais provenientes da retração. O cálculo do coeficiente de distribuição ζ_d,ф depende de o Tension-Stiffening ser considerado ou não no cálculo das deformações, de acordo com a EN 1992-1-1.

1.6.1. Coeficiente de distribuição ζ_d,ф com consideração de Tension-Stiffening

1.6.2. Coeficiente de distribuição ζ_d,ф sem consideração de Tension-Stiffening

1.6.3. Identificação do estado de fissuração

A identificação do estado de fissuração pode ser definida na configuração de serviço (Serviceability Configuration). Estão disponíveis as seguintes opções:
(a) o estado de fissuração é calculado com base na carga associada;
(b) o estado de fissuração é determinado com base na combinação característica (CO) correspondente da situação de dimensionamento SLS;
(c) o estado de fissuração é determinado como envelope de todas as situações de dimensionamento SLS;
(d) o estado de fissuração é independente da carga.

Fig. 1.2: Configuração de serviço
Se a opção o estado de fissuração é calculado com base na carga associada for selecionada, o estado de fissuração (coeficiente de distribuição ζ_d) é calculado apenas com base no carregamento atual (combinação de ações).
Se a opção o estado de fissuração é determinado com base na combinação característica (CO) correspondente da situação de dimensionamento SLS for selecionada, o coeficiente de distribuição ζ_d é calculado como o máximo de todas as cargas associadas. As cargas associadas podem ser definidas na definição da combinação de ações.

Fig. 1.3: Cargas associadas
Se a opção o estado de fissuração é determinado como envelope de todas as situações de dimensionamento SLS for selecionada, o coeficiente de distribuição ζ_d é calculado como o máximo de todas as situações de dimensionamento. Se a opção o estado de fissuração é independente da carga for selecionada, o coeficiente de distribuição é sempre 1,0.

1.6.4. Situações de dimensionamento

Em geral, a flecha é calculada para ações quasi - permanentes. No entanto, é possível selecionar as situações de dimensionamento desejadas (na configuração de serviço, opção Atribuição personalizada do tipo de situação de dimensionamento), para as quais a flecha deve ser calculada.
Podem ser selecionados os seguintes tipos de situações de dimensionamento de serviço:
- quasi - permanente,
- frequente,
- característica.
Para cada tipo pode ser definido um valor limite para a flecha (ver Fig. 1.2). Além disso, as situações de dimensionamento desejadas são também definidas para o dimensionamento em betão.

Fig. 1.4: Definição das situações de dimensionamento para o dimensionamento em betão
Para a identificação do estado de fissuração (em particular ao selecionar se a identificação é efetuada a partir de cargas associadas ou de todas as situações de dimensionamento de serviço), a definição no dimensionamento em betão é decisiva.
Por outras palavras:
- Se uma situação de dimensionamento estiver desativada na configuração de serviço, mas ativada na definição do dimensionamento em betão, essa situação de dimensionamento é considerada.
- Se uma situação de dimensionamento estiver ativada na configuração de serviço, mas desativada na definição do dimensionamento em betão, essa situação de dimensionamento não é considerada.

1.7. Propriedades da secção para a análise de deformações

Na matriz de rigidez do material D para a análise de deformações, o programa necessita das propriedades da secção em cada direção de armadura, em função do estado de fissuração. Estas são:
(a) momento de inércia em relação ao centro de gravidade ideal I_ф;
(b) momento de inércia em relação ao centro de gravidade geométrico da secção I_0,c;
(c) área ideal da secção A_ф;
(d) excentricidade do centro de gravidade ideal e_ф relativamente ao centro de gravidade geométrico.
Uma deformação média ε_ф e uma curvatura média κ_ф são calculadas por interpolação entre o estado fissurado e não fissurado de acordo com a EN 1992-1-1, Equação (7.18):

A deformação no estado não fissurado e fissurado c (Estado I e II) é calculada de acordo com as seguintes equações:

As propriedades ideais da secção são calculadas relativamente ao centro de gravidade ideal da secção. O efeito da retração é considerado pelo fator k_sh,c,ф :

Se o esforço normal for diferente de zero, as propriedades da secção são calculadas relativamente ao centro de gravidade geométrico da secção, considerando a excentricidade:

1.8. Matriz de rigidez do material D (barras)

A rigidez axial EA e a rigidez à flexão EI_y,0 são calculadas apenas na direção de armadura ф = 1 (direção da barra), da seguinte forma:

1.9. Matriz de rigidez do material D (áreas)

No cálculo das propriedades da secção, o valor inicial da relação de Poisson ν_init é reduzido independentemente nas duas direções, de acordo com a seguinte equação:

A matriz de rigidez do material é calculada de acordo com a teoria das áreas ortotrópicas.

1.9.1. Rigidez à flexão - lajes e cascas

As rigidezes à flexão nas direções de armadura ф são determinadas da seguinte forma:
Para cascas:

Para lajes:
A componente não - diagonal da matriz de rigidez do material é idêntica para lajes e cascas:
Para cascas, as diferenças nas rigidezes à flexão devido aos momentos de inércia são compensadas pelas componentes de excentricidade na matriz de rigidez do material.

1.9.2. Rigidez à torção de lajes e cascas

Os elementos da matriz de rigidez são calculados para lajes e cascas da seguinte forma:

1.9.3. Rigidez ao corte de lajes e cascas

Os elementos da matriz de rigidez ao corte não são reduzidos na análise de deformações. São determinados a partir do módulo de corte G da secção ideal e da altura da secção h. A expressão é idêntica para cascas e lajes:

1.9.4. Rigidez de membrana de cascas

As rigidezes de membrana nas direções de armadura ф são calculadas da seguinte forma:

A parte não - diagonal da matriz de rigidez do material é determinada por:

A parcela da componente de rigidez ao corte é:

1.9.5. Excentricidade – cascas

Os elementos da matriz de rigidez relativos à excentricidade do centro de gravidade (secção ideal) na direção de armadura ф são calculados da seguinte forma:

A parte não - diagonal da matriz de rigidez do material é determinada por:

A componente de excentricidade para torção é calculada da seguinte forma:

1.9.6. Teste de definitude positiva

A definitude positiva da matriz de rigidez do material D é testada por meio de um critério de SYLVESTER modificado (considerando os blocos nulos).
Se a matriz de rigidez D não for definida positiva, as componentes não - diagonais da matriz de rigidez do material são sucessivamente definidas como zero. No caso extremo, apenas as componentes positivas da diagonal principal permanecem.

1.10. Cálculo de flechas

As flechas de um objeto (barra ou área) são determinadas com auxílio da matriz de rigidez D previamente calculada. A taxa de dimensionamento (Design Ratio) é calculada a partir da flecha e do valor limite.

1.10.1. Carga associada

Se uma carga associada for atribuída à carga principal, a flecha final é calculada como a soma dos valores individuais. A combinação de cargas principal é calculada sem propriedades dependentes do tempo (fluência e retração) e deve, portanto, ser de curto prazo (frequente ou característica). A combinação de cargas associada é, por outro lado, sempre calculada com propriedades dependentes do tempo e deve, portanto, ser de longo prazo (quasi - permanente). Se forem atribuídas mais do que uma carga associada, é considerada aquela com o maior valor da flecha.
A flecha total é calculada da seguinte forma:

1.11 Diferenças entre RFEM 5 e RFEM 6

Cálculo da altura da zona de compressão do betão
No RFEM 5, a altura da zona de compressão do betão é calculada com base na altura líquida da secção, enquanto no RFEM 6 é utilizada a altura bruta da secção. Este procedimento proporciona um cálculo mais rápido e mais claro, permitindo também uma melhor rastreabilidade dos resultados. Com esta simplificação, a precisão do cálculo mantém-se num nível elevado, pelo que, na prática, os resultados não apresentam diferenças significativas. O RFEM 6 oferece, assim, uma solução mais eficiente com resultados igualmente precisos.

Coeficiente de distribuição da armadura
O coeficiente de distribuição, que descreve a distribuição de tensões ao longo da secção, era determinado no RFEM 5 exclusivamente com base na tensão de longo prazo. Isto significa que apenas era considerada a tensão que atua durante um período prolongado. No RFEM 6, a abordagem de cálculo foi aperfeiçoada, passando a considerar o máximo entre a tensão de longo prazo e a tensão de curto prazo. Esta alteração assegura uma representação mais realista das condições de tensão efetivas na secção.