Cálculo directo de deformaciones

mediante el método de rigidez efectiva (ESM)

1. Descripción del trasfondo teórico

Para el análisis de deformaciones en el marco del dimensionamiento de hormigón se utiliza un procedimiento analítico para estructuras 2D y elementos 1D sometidos a esfuerzos axiles y momentos flectores. Este se basa en la determinación de rigideces efectivas (método de rigidez efectiva) a nivel de sección, teniendo en cuenta el estado fisurado, así como efectos como Tension Stiffening y efectos diferidos simples (retracción y fluencia).

1.1. Supuestos básicos de material y geometría

Para el análisis directo de deformaciones en el dimensionamiento de hormigón se adopta un comportamiento lineal elástico a compresión, así como un comportamiento lineal elástico hasta alcanzar la resistencia a tracción. Tales supuestos son suficientes para la comprobación de servicio. Si las tensiones superan la resistencia a compresión del hormigón, la evolución del daño se produce conforme a EN 1992-1-1, apartado 7.3.4.
El cálculo se basa en un modelo isotrópico sencillo de mecánica de la fractura, definido individualmente para las dos direcciones de armado. De acuerdo con EN 1992-1-1, se calcula una matriz de rigidez efectiva del material mediante interpolación entre el estado no fisurado (estado I) y el estado fisurado (estado II) conforme al apartado 7.4.3, ecuación (7.18). De este modo, el hormigón armado se modela como un material ortótropo. Se consideran efectos como Tension Stiffening, así como efectos diferidos simples (retracción y fluencia).
El cálculo de las matrices de rigidez del material se implementa para los tipos de modelo 2D-XY (u_z / φ_x / φ_y) y 3D. En el modelo 3D, además se tiene en cuenta en la matriz de rigidez la influencia de las excentricidades de los centros de gravedad ideales.

1.2. Esfuerzos internos de dimensionamiento

Como se ha descrito anteriormente, el cálculo de las rigideces se basa en supuestos lineal-elásticos. Las fuerzas internas se transforman ortogonalmente a la dirección de armadura ф y a las dos superficies s (superior e inferior). Las fuerzas internas obtenidas – momentos flectores m_s,ф y esfuerzos axiles n_s,ф (los momentos torsores se eliminan mediante la transformación) – dependen de:
(a) tipo de modelo;
(b) procedimiento de cálculo;
(c) criterio de clasificación.

1.3. Superficie crítica

Para determinar la superficie crítica, cada dirección de armadura ф se considera por separado. El estado tensional se analiza en la superficie inferior (en dirección del eje local +z) y en la superficie superior (en dirección del eje local -z). La superficie con mayor tensión de tracción en el hormigón se considera la determinante. Las fuerzas internas en las superficies críticas se designan como n_ф y m_ф.

El esfuerzo axil n_ф,s, transformado a la dirección de armadura ф, tiene el mismo valor para ambas superficies (n_ф = n_ф,superior = n_ф,inferior). Por ello, los esfuerzos axiles no son relevantes para la determinación de la superficie crítica; solo se consideran los momentos flectores para encontrar la superficie determinante. Los signos de los momentos flectores m_ф,s se determinan en función de si los momentos provocan tracción o compresión en la superficie correspondiente. La superficie crítica es aquella con el mayor momento flector (es decir, la superficie sometida a mayor tracción).

Para el cálculo de las rigideces solo se consideran las fuerzas internas n_ф y m_ф en la superficie crítica. Hasta ahora, el término "superficie inferior" se refería al eje local +z. Sin embargo, a continuación, "superficie inferior" se refiere al lado determinante de la superficie.

1.4. Propiedades de la sección

Las propiedades de la sección se determinan para ambas direcciones de armadura y para ambos estados de la sección c (fisurada / no fisurada). Para el estado I (sección no fisurada) se adopta un comportamiento lineal elástico del hormigón a tracción. Para el estado II (sección fisurada) no se considera la resistencia a tracción del hormigón.

El cálculo de los parámetros geométricos para el estado I es independiente de las fuerzas internas, por lo que es posible un cálculo directo. Para el estado II, la profundidad del eje neutro se calcula iterativamente. Por motivos numéricos, el programa utiliza el grado mínimo de armado ρ_min = 10^-4 para ambas superficies determinantes (superior e inferior), pero solo con componente positiva del esfuerzo axil. Esto significa que, en ausencia de armadura, se adopta una superficie virtual mínima de armadura. Un valor tan pequeño no tiene una influencia apreciable en los resultados (rigideces).

Las propiedades ideales de la sección calculadas (referidas a la sección de hormigón) en una dirección de armadura ф y para el estado de fisuración c son:
(a) momento de inercia respecto al centro de gravedad ideal I_c,ф
(b) momento de inercia respecto al centro de gravedad geométrico de la sección I_0,c,ф
(c) área de la sección A_c,ф
(d) excentricidad del centro de gravedad ideal e_c,ф

1.5. Efectos diferidos

La retracción y la fluencia son propiedades dependientes del tiempo del hormigón. Conforme a EN 1992-1-1, los efectos diferidos deben considerarse por separado.

1.5.1. Fluencia

Los efectos de fluencia se tienen en cuenta mediante una reducción del módulo de elasticidad del hormigón E_c, utilizando el coeficiente efectivo de fluencia ϕ_eff conforme a EN 1992-1-1, ecuación (7.20):

1.5.2. Retracción

En el cálculo de flechas según EN 1992-1-1 hay dos aspectos que se ven influenciados por los efectos de retracción.

1.5.2.1. Reducción de la rigidez del material
La rigidez del material en cada dirección de armadura φ se reduce mediante un denominado coeficiente de influencia de la retracción k_sh,c,φ. Para ambos estados de fisuración c (fisurada / no fisurada), los esfuerzos axiles por retracción n_sh,c,φ y los momentos flectores m_sh,c,φ se determinan a partir de la deformación libre de retracción ε_sh:

Fig. 1.1: Fuerzas internas n_sh,ф y m_sh,ф
Con estas fuerzas internas procedentes de la retracción se calcula la curvatura adicional κ_sh,c,ф en el punto analizado, sin la influencia del modelo circundante. A continuación, el coeficiente de influencia de la retracción

El coeficiente k_sh,c,ф está limitado al intervalo k_sh,c,ф ∈ (1, 100). Por tanto, k_sh,c,ф no puede reducir la rigidez en más de 100 veces (por razones numéricas y físicas). El valor mínimo k_sh,c,ф = 1,0 significa que no puede considerarse la influencia de la retracción cuando esta presenta una orientación opuesta a la curvatura κ_d causada por la carga. Si la retracción está desactivada, el coeficiente k_sh,c,ф = 1,0.
No se considera la influencia de la retracción sobre la rigidez de membrana.

1.5.2.2. Cálculo del coeficiente de distribución
La segunda influencia de la retracción afecta al cálculo del coeficiente de distribución (parámetro de daño) ζ conforme a EN 1992-1-1, apartado 7.4.3, ecuación (7.18). El siguiente capítulo describe el coeficiente de distribución en detalle.

1.6. Coeficiente de distribución

El cálculo del coeficiente de distribución ζ_d se presenta para la dirección de armadura ф. En primer lugar, el programa calcula la tensión máxima de tracción del hormigón σ_max,ф suponiendo un comportamiento lineal-elástico del material. Si los efectos diferidos (fluencia o retracción) están activados, la tensión máxima debe calcularse dos veces; en caso contrario, solo una vez.

Cálculo a corto plazo: Comprueba si aparecen fisuras inmediatamente después de la carga.
Cálculo a largo plazo: Considera el comportamiento fisurado con influencia de la fluencia o la retracción al final del período considerado.

Pasos de cálculo:
Con fluencia activada: Se calculan los parámetros geométricos a corto plazo y la tensión máxima.
Con retracción activada: Solo es necesario recalcular la tensión a corto plazo. Después, la tensión máxima final σ_max,ф se calcula como el máximo entre la tensión a largo plazo σ_max,lt,ф y la tensión a corto plazo σ_max,st,ф.

La influencia de la fuerza de retracción sobre la tensión máxima de tracción σ_max,ф se considera mediante las fuerzas internas adicionales procedentes de la retracción. El cálculo del coeficiente de distribución ζ_d,ф depende de si se considera Tension Stiffening según EN 1992-1-1 en el cálculo de deformaciones.

1.6.1. Coeficiente de distribución ζ_d,ф teniendo en cuenta Tension Stiffening

1.6.2. Coeficiente de distribución ζ_d,ф sin tener en cuenta Tension Stiffening

1.6.3. Detección del estado de fisuración

La detección del estado de fisuración puede configurarse en la configuración de servicio (Serviceability Configuration). Están disponibles las siguientes opciones:
(a) el estado de fisuración se calcula en función de la carga asociada;
(b) el estado de fisuración se basa en la combinación característica correspondiente (CO) de la situación de dimensionamiento SLS;
(c) el estado de fisuración se determina como envolvente de todas las situaciones de dimensionamiento SLS;
(d) el estado de fisuración es independiente de la carga.

Fig. 1.2: Configuración de servicio
Si se selecciona la opción el estado de fisuración se calcula en función de la carga asociada, el estado de fisuración (coeficiente de distribución ζ_d) se calcula únicamente en función de la carga actual (combinación de carga).
Si se selecciona la opción el estado de fisuración se basa en la combinación característica correspondiente (CO) de la situación de dimensionamiento SLS, el coeficiente de distribución ζ_d se calcula como el máximo de todas las cargas asociadas. Las cargas asociadas pueden definirse en la definición de la combinación de cargas.

Fig. 1.3: Cargas asociadas
Si se selecciona la opción el estado de fisuración se determina como envolvente de todas las situaciones de dimensionamiento SLS, el coeficiente de distribución ζ_d se calcula como el máximo de todas las situaciones de dimensionamiento. Si se selecciona la opción el estado de fisuración es independiente de la carga, el coeficiente de distribución es siempre 1,0.

1.6.4. Situaciones de dimensionamiento

En general, la flecha se calcula para cargas cuasi permanentes. No obstante, es posible seleccionar las situaciones de dimensionamiento deseadas (en la configuración de servicio, opción Asignación personalizada del tipo de situación de dimensionamiento), para las que debe calcularse la flecha.
Pueden seleccionarse los siguientes tipos de situación de dimensionamiento de servicio:
- cuasi permanente,
- frecuente,
- característica.
Para cada tipo puede definirse un valor límite para la flecha (véase Fig. 1.2). Además, las situaciones de dimensionamiento deseadas también se establecen para el dimensionamiento de hormigón.

Fig. 1.4: Configuración de las situaciones de dimensionamiento para el dimensionamiento de hormigón
Para la detección del estado de fisuración (en particular, al seleccionar si la detección se realiza a partir de cargas asociadas o de todas las situaciones de dimensionamiento de servicio) es decisiva la configuración en el dimensionamiento de hormigón.
En otras palabras:
- Si una situación de dimensionamiento está desactivada en la configuración de servicio, pero activada en la configuración del dimensionamiento de hormigón, esa situación de dimensionamiento se considerará.
- Si una situación de dimensionamiento está activada en la configuración de servicio, pero desactivada en la configuración del dimensionamiento de hormigón, esa situación de dimensionamiento no se considerará.

1.7. Propiedades de la sección para el análisis de deformaciones

En la matriz de rigidez del material D para el análisis de deformaciones, el programa necesita las propiedades de la sección en cada dirección de armadura, en función del estado de fisuración. Estas son:
(a) momento de inercia respecto al centro de gravedad ideal I_ф;
(b) momento de inercia respecto al centro de gravedad geométrico de la sección I_0,c;
(c) área ideal de la sección A_ф;
(d) excentricidad del centro de gravedad ideal e_ф respecto al centro de gravedad geométrico.
Una deformación media ε_ф y una curvatura media κ_ф se calculan mediante interpolación entre el estado fisurado y no fisurado conforme a EN 1992-1-1, ecuación (7.18):

La deformación en estado no fisurado y fisurado c (estado I y II) se calcula según las siguientes ecuaciones:

Las propiedades ideales de la sección se calculan respecto al centro de gravedad ideal de la sección. La influencia de la retracción se considera mediante el factor k_sh,c,ф :

Si el esfuerzo axil es distinto de cero, las propiedades de la sección se calculan respecto al centro de gravedad geométrico de la sección, teniendo en cuenta la excentricidad:

1.8. Matriz de rigidez del material D (barras)

La rigidez axial EA y la rigidez a flexión EI_y,0 se calculan solo en la dirección de armadura ф = 1 (dirección de la barra) de la siguiente manera:

1.9. Matriz de rigidez del material D (superficies)

Al calcular las propiedades de la sección, el valor inicial de la relación de Poisson ν_init se reduce en ambas direcciones de forma independiente conforme a la siguiente ecuación:

La matriz de rigidez del material se calcula conforme a la teoría para superficies ortótropas.

1.9.1. Rigidez a flexión - placas y láminas

Las rigideces a flexión en las direcciones de armadura ф se determinan como sigue:
Para láminas:

Para placas:
La componente no diagonal de la matriz de rigidez del material es idéntica para placas y láminas:
En las láminas, las diferencias en las rigideces a flexión debidas a los momentos de inercia se compensan mediante los componentes de excentricidad en la matriz de rigidez del material.

1.9.2. Rigidez a torsión de placas y láminas

Los elementos de la matriz de rigidez se calculan para placas y láminas como sigue:

1.9.3. Rigidez a cortante de placas y láminas

Los elementos de la matriz de rigidez para cortante no se reducen en el análisis de deformaciones. Se determinan a partir del módulo de cortante G de la sección ideal y de la altura de la sección h. La expresión es idéntica para láminas y placas:

1.9.4. Rigidez de membrana de láminas

Las rigideces de membrana en las direcciones de armadura ф se calculan como sigue:

La parte no diagonal de la matriz de rigidez del material se determina mediante:

La parte correspondiente a la rigidez a cortante es:

1.9.5. Excentricidad – láminas

Los elementos de la matriz de rigidez para la excentricidad del centro de gravedad (sección ideal) en la dirección de armadura ф se calculan como sigue:

La parte no diagonal de la matriz de rigidez del material se determina mediante:

La componente de excentricidad para torsión se calcula como sigue:

1.9.6. Comprobación de definitud positiva

La definitud positiva de la matriz de rigidez del material D se comprueba mediante un criterio de SYLVESTER modificado (teniendo en cuenta los bloques nulos).
Si la matriz de rigidez D no es definida positiva, las componentes no diagonales de la matriz de rigidez del material se anulan sucesivamente. En el caso extremo, solo permanecen las componentes positivas de la diagonal principal.

1.10. Cálculo de flechas

Las flechas de un objeto (barra o superficie) se determinan mediante la matriz de rigidez D previamente calculada. El valor de dimensionamiento (Design Ratio) se calcula a partir de la flecha y del valor límite.

1.10.1. Carga asociada

Si una carga asociada se asigna a la carga principal, la flecha final se calcula como suma de los valores individuales. La combinación de carga principal se calcula sin propiedades dependientes del tiempo (fluencia y retracción) y, por tanto, debe ser a corto plazo (frecuente o característica). La combinación de carga asociada, en cambio, se calcula siempre con propiedades dependientes del tiempo y debe ser, por tanto, a largo plazo (cuasi permanente). Si se asigna más de una carga asociada, se considera la que presente el mayor valor de flecha.
La flecha total se calcula como sigue:

1.11 Diferencias entre RFEM 5 y RFEM 6

Cálculo de la altura de la zona comprimida del hormigón
En RFEM 5, la altura de la zona comprimida del hormigón se calcula sobre la base de la altura neta de la sección, mientras que en RFEM 6 se utiliza la altura bruta de la sección. Este procedimiento permite un cálculo más rápido y claro, además de una mejor trazabilidad de los resultados. Gracias a esta simplificación, la precisión del cálculo se mantiene en un nivel elevado, por lo que en la práctica los resultados no presentan diferencias significativas. RFEM 6 ofrece así una solución más eficiente con resultados igualmente precisos.

Coeficiente de distribución de la armadura
El coeficiente de distribución, que describe la distribución de tensiones a través de la sección, en RFEM 5 se determinaba exclusivamente sobre la base de la tensión de larga duración. Esto significa que solo se consideraba la tensión que actúa durante un período prolongado. En RFEM 6, el enfoque de cálculo se ha perfeccionado, de modo que ahora se tiene en cuenta el máximo entre la tensión a largo plazo y la tensión a corto plazo. Este cambio proporciona una representación más realista de las condiciones reales de tensión en la sección.