Bezpośrednie obliczanie odkształceń

metodą efektywnej sztywności (ESM)

1. Opis tła teoretycznego

Do analizy odkształceń w ramach projektowania betonu stosuje się metodę analityczną dla konstrukcji 2D i elementów 1D, poddanych działaniu sił normalnych i momentów zginających. Opiera się ona na wyznaczaniu efektywnych sztywności (metoda efektywnej sztywności) na poziomie przekroju z uwzględnieniem stanu zarysowania, a także efektów takich jak tension stiffening oraz prostych efektów długotrwałych (skurcz i pełzanie).

1.1. Podstawowe założenia materiałowe i geometryczne

Do bezpośredniej analizy odkształceń w projektowaniu betonu przyjmuje się liniowo-sprężyste zachowanie przy ściskaniu oraz liniowo-sprężyste zachowanie do osiągnięcia wytrzymałości na rozciąganie. Takie założenia są wystarczające do sprawdzenia stanu granicznego użytkowalności. Jeśli naprężenia przekroczą wytrzymałość betonu na ściskanie, rozwój uszkodzeń przebiega zgodnie z EN 1992-1-1, punkt 7.3.4.
Obliczenia opierają się na prostym izotropowym modelu mechaniki zniszczenia, zdefiniowanym indywidualnie dla obu kierunków zbrojenia. Zgodnie z EN 1992-1-1 efektywną macierz sztywności materiału oblicza się przez interpolację między stanem niezarysowanym (stan I) i zarysowanym (stan II) zgodnie z punktem 7.4.3, równanie (7.18). Żelbet jest więc modelowany jako materiał ortotropowy. Uwzględnia się przy tym takie efekty jak tension stiffening oraz proste efekty długotrwałe (skurcz i pełzanie).
Obliczanie macierzy sztywności materiału zostało zaimplementowane dla typów modeli 2D-XY (u_z / φ_x / φ_y) oraz 3D. W modelu 3D dodatkowo uwzględnia się wpływ mimośrodów idealnych środków ciężkości w macierzy sztywności.

1.2. Siły wewnętrzne do wymiarowania

Jak opisano powyżej, obliczanie sztywności opiera się na założeniach liniowo-sprężystych. Siły wewnętrzne są transformowane prostopadle do kierunku zbrojenia ф oraz na dwie powierzchnie s (górną i dolną). Otrzymane siły wewnętrzne – momenty zginające m_s,ф i siły normalne n_s,ф (momenty skręcające są eliminowane przez transformację) – zależą od:
(a) typu modelu;
(b) metody obliczeniowej;
(c) kryterium klasyfikacji.

1.3. Powierzchnia krytyczna

Do określenia powierzchni krytycznej każdy kierunek zbrojenia ф rozpatruje się oddzielnie. Stan naprężenia analizuje się na dolnej powierzchni (w kierunku lokalnej osi +z) oraz na górnej powierzchni (w kierunku lokalnej osi -z). Za miarodajną uznaje się tę powierzchnię, na której występuje większe naprężenie rozciągające betonu. Siły wewnętrzne na powierzchniach krytycznych oznacza się jako n_ф i m_ф.

Siła normalna n_ф,s, przekształcona do kierunku zbrojenia ф, ma dla obu powierzchni tę samą wartość (n_ф = n_ф,góra = n_ф,dół). Dlatego siły normalne nie są istotne przy wyznaczaniu powierzchni krytycznej; do znalezienia miarodajnej powierzchni uwzględnia się jedynie momenty zginające. Znaki momentów zginających m_ф,s są określane w zależności od tego, czy momenty powodują rozciąganie czy ściskanie na danej powierzchni. Powierzchnią krytyczną jest ta, dla której moment zginający jest większy (czyli powierzchnia bardziej obciążona rozciąganiem).

Do obliczania sztywności uwzględnia się jedynie siły wewnętrzne n_ф i m_ф na powierzchni krytycznej. Dotychczas określenie "dolna powierzchnia" odnosiło się do lokalnej osi +z. Poniżej jednak "dolna powierzchnia" odnosi się do miarodajnej strony powierzchni.

1.4. Właściwości przekroju

Właściwości przekroju są wyznaczane dla obu kierunków zbrojenia i dla obu stanów przekroju c (zarysowany / niezarysowany). Dla stanu I (przekrój niezarysowany) przyjmuje się liniowo-sprężyste zachowanie betonu na rozciąganie. Dla stanu II (przekrój zarysowany) wytrzymałość betonu na rozciąganie nie jest uwzględniana.

Obliczanie parametrów geometrycznych dla stanu I jest niezależne od sił wewnętrznych, dzięki czemu możliwe jest bezpośrednie obliczenie. Dla stanu II głębokość osi obojętnej jest obliczana iteracyjnie. Ze względów numerycznych program stosuje minimalny stopień zbrojenia ρ_min = 10^-4 dla obu miarodajnych powierzchni (górnej i dolnej), jednak tylko przy dodatniej składowej siły normalnej. Oznacza to, że przy braku zbrojenia przyjmuje się wirtualną minimalną powierzchnię zbrojenia. Tak mała wartość nie ma istotnego wpływu na wyniki (sztywności).

Obliczone idealne właściwości przekroju (odniesione do przekroju betonowego) w jednym kierunku zbrojenia ф oraz dla stanu zarysowania c są:
(a) moment bezwładności względem idealnego środka ciężkości I_c,ф
(b) moment bezwładności względem geometrycznego środka ciężkości przekroju I_0,c,ф
(c) pole przekroju A_c,ф
(d) mimośród idealnego środka ciężkości e_c,ф

1.5. Efekty długotrwałe

Skurcz i pełzanie są właściwościami betonu zależnymi od czasu. Zgodnie z EN 1992-1-1 efekty długotrwałe należy uwzględniać oddzielnie.

1.5.1. Pełzanie

Efekty pełzania są uwzględniane przez redukcję modułu sprężystości betonu E_c, przy czym stosuje się efektywny współczynnik pełzania ϕ_eff zgodnie z EN 1992-1-1, równanie (7.20):

1.5.2. Skurcz

W obliczeniach ugięć zgodnie z EN 1992-1-1 istnieją dwa aspekty, na które wpływają efekty skurczu.

1.5.2.1. Redukcja sztywności materiału
Sztywność materiału w każdym kierunku zbrojenia φ jest redukowana przez tzw. współczynnik wpływu skurczu k_sh,c,φ. Dla obu stanów zarysowania c (zarysowany / niezarysowany) siły normalne od skurczu n_sh,c,φ oraz momenty zginające m_sh,c,φ wyznacza się z swobodnego odkształcenia skurczowego ε_sh:

Rys. 1.1: Siły wewnętrzne n_sh,ф i m_sh,ф
Na podstawie tych sił wewnętrznych od skurczu oblicza się dodatkową krzywiznę κ_sh,c,ф w analizowanym punkcie – bez wpływu otaczającego modelu. Następnie współczynnik wpływu skurczu

Współczynnik k_sh,c,ф jest ograniczony do zakresu k_sh,c,ф ∈ (1, 100). Oznacza to, że k_sh,c,ф nie może zmniejszyć sztywności bardziej niż 100-krotnie (ze względów numerycznych i fizycznych). Minimalna wartość k_sh,c,ф = 1,0 oznacza, że wpływu skurczu nie można uwzględnić, jeśli ma on przeciwną orientację do krzywizny κ_d wywołanej obciążeniem. Jeśli skurcz jest wyłączony, współczynnik k_sh,c,ф = 1,0.
Wpływ skurczu na sztywność membranową nie jest uwzględniany.

1.5.2.2. Obliczanie współczynnika rozdziału
Drugi wpływ skurczu dotyczy obliczania współczynnika rozdziału (parametru uszkodzenia) ζ zgodnie z EN 1992-1-1, punkt 7.4.3, równanie (7.18). Poniższy rozdział opisuje współczynnik rozdziału szczegółowo.

1.6. Współczynnik rozdziału

Obliczanie współczynnika rozdziału ζ_d jest przedstawione dla kierunku zbrojenia ф. Najpierw program oblicza maksymalne naprężenie rozciągające betonu σ_max,ф przy założeniu liniowo-sprężystego zachowania materiału. Jeżeli aktywowane są efekty długotrwałe (pełzanie lub skurcz), maksymalne naprężenie musi zostać obliczone dwa razy, w przeciwnym razie tylko raz.

Obliczenie krótkotrwałe: sprawdza, czy zarysowanie występuje bezpośrednio po przyłożeniu obciążenia.
Obliczenie długotrwałe: uwzględnia zachowanie zarysowania z wpływem pełzania lub skurczu na koniec rozpatrywanego okresu czasu.

Kroki obliczeniowe:
Przy aktywnym pełzaniu: obliczane są krótkotrwałe parametry geometryczne i maksymalne naprężenie.
Przy aktywnym skurczu: konieczne jest jedynie ponowne obliczenie krótkotrwałego naprężenia. Następnie końcowe maksymalne naprężenie σ_max,ф oblicza się jako maksimum z naprężenia długotrwałego σ_max,lt,ф i naprężenia krótkotrwałego σ_max,st,ф.

Wpływ siły skurczu na maksymalne naprężenie rozciągające σ_max,ф jest uwzględniany przez dodatkowe siły wewnętrzne od skurczu. Obliczenie współczynnika rozdziału ζ_d,ф zależy od tego, czy przy obliczaniu odkształceń uwzględnia się tension stiffening zgodnie z EN 1992-1-1.

1.6.1. Współczynnik rozdziału ζ_d,ф z uwzględnieniem tension stiffening

1.6.2. Współczynnik rozdziału ζ_d,ф bez uwzględnienia tension stiffening

1.6.3. Wykrywanie stanu zarysowania

Wykrywanie stanu zarysowania można ustawić w konfiguracji stanu użytkowalności (Serviceability Configuration). Dostępne są następujące opcje:
(a) stan zarysowania jest obliczany na podstawie odpowiadającego obciążenia;
(b) stan zarysowania na podstawie odpowiadającej kombinacji charakterystycznej (CO) sytuacji obliczeniowej SLS;
(c) stan zarysowania wyznaczany jako obwiednia ze wszystkich sytuacji obliczeniowych SLS;
(d) stan zarysowania niezależny od obciążenia.

Rys. 1.2: Konfiguracja stanu użytkowalności
Jeśli wybrano opcję stan zarysowania jest obliczany na podstawie odpowiadającego obciążenia, stan zarysowania (współczynnik rozdziału ζ_d) jest obliczany wyłącznie na podstawie aktualnego obciążenia (kombinacji obciążeń).
Jeśli wybrano opcję stan zarysowania na podstawie odpowiadającej kombinacji charakterystycznej (CO) sytuacji obliczeniowej SLS, współczynnik rozdziału ζ_d jest obliczany jako maksimum ze wszystkich odpowiadających obciążeń. Odpowiadające obciążenia można zdefiniować w definicji kombinacji obciążeń.

Rys. 1.3: Odpowiadające obciążenia
Jeśli wybrano opcję stan zarysowania wyznaczany jako obwiednia ze wszystkich sytuacji obliczeniowych SLS, współczynnik rozdziału ζ_d jest obliczany jako maksimum ze wszystkich sytuacji obliczeniowych. Jeśli wybrano opcję stan zarysowania niezależny od obciążenia, współczynnik rozdziału zawsze wynosi 1,0.

1.6.4. Sytuacje obliczeniowe

Zasadniczo ugięcie oblicza się dla obciążeń quasi-stałych. Możliwe jest jednak wybranie żądanych sytuacji obliczeniowych (w konfiguracji stanu użytkowalności, opcja Niestandardowe przypisanie typu sytuacji obliczeniowej), dla których ma zostać obliczone ugięcie.
Można wybrać następujące typy sytuacji obliczeniowych stanu użytkowalności:
- quasi-stała,
- częsta,
- charakterystyczna.
Dla każdego typu można ustawić wartość graniczną ugięcia (zob. Rys. 1.2). Ponadto żądane sytuacje obliczeniowe są również definiowane dla projektowania betonu.

Rys. 1.4: Ustawienie sytuacji obliczeniowych dla projektowania betonu
Dla wykrywania stanu zarysowania (w szczególności przy wyborze, czy wykrywanie ma być przeprowadzane na podstawie odpowiadających obciążeń czy ze wszystkich sytuacji obliczeniowych stanu użytkowalności) decydujące jest ustawienie w projektowaniu betonu.
Innymi słowy:
- Jeśli sytuacja obliczeniowa jest wyłączona w konfiguracji stanu użytkowalności, ale aktywna w ustawieniach projektowania betonu, sytuacja ta jest uwzględniana.
- Jeśli sytuacja obliczeniowa jest aktywna w konfiguracji stanu użytkowalności, ale wyłączona w ustawieniach projektowania betonu, sytuacja ta nie jest uwzględniana.

1.7. Właściwości przekroju do analizy odkształceń

W macierzy sztywności materiału D do analizy odkształceń program potrzebuje właściwości przekroju w każdym kierunku zbrojenia, zależnie od stanu zarysowania. Są to:
(a) moment bezwładności względem idealnego środka ciężkości I_ф;
(b) moment bezwładności względem geometrycznego środka ciężkości przekroju I_0,c;
(c) idealna powierzchnia przekroju A_ф;
(d) mimośród idealnego środka ciężkości e_ф względem geometrycznego środka ciężkości.
Średnie odkształcenie ε_ф oraz średnia krzywizna κ_ф są obliczane przez interpolację między stanem zarysowanym i niezarysowanym zgodnie z EN 1992-1-1, równanie (7.18):

Odkształcenie w stanie niezarysowanym i zarysowanym c (stan I i II) oblicza się według następujących równań:

Idealne właściwości przekroju oblicza się względem idealnego środka ciężkości przekroju. Wpływ skurczu jest uwzględniany przez współczynnik k_sh,c,ф :

Jeśli siła normalna jest różna od zera, właściwości przekroju są obliczane względem geometrycznego środka ciężkości przekroju z uwzględnieniem mimośrodu:

1.8. Macierz sztywności materiału D (pręty)

Sztywność osiowa EA i sztywność na zginanie EI_y,0 są obliczane tylko w kierunku zbrojenia ф = 1 (kierunek pręta) w następujący sposób:

1.9. Macierz sztywności materiału D (powierzchnie)

Przy obliczaniu właściwości przekroju początkowa wartość współczynnika Poissona ν_init jest redukowana niezależnie w obu kierunkach zgodnie z następującym równaniem:

Macierz sztywności materiału jest obliczana zgodnie z teorią dla powierzchni ortotropowych.

1.9.1. Sztywność na zginanie - płyty i powłoki

Sztywności na zginanie w kierunkach zbrojenia ф są wyznaczane następująco:
Dla powłok:

Dla płyt:
Niediagonalny składnik macierzy sztywności materiału jest taki sam dla płyt i powłok:
Dla powłok różnice w sztywnościach na zginanie wynikające z momentów bezwładności są kompensowane przez składowe mimośrodu w macierzy sztywności materiału.

1.9.2. Sztywność skrętna płyt i powłok

Elementy macierzy sztywności są obliczane dla płyt i powłok w następujący sposób:

1.9.3. Sztywność na ścinanie płyt i powłok

Elementy macierzy sztywności na ścinanie nie są redukowane w analizie odkształceń. Są one wyznaczane z modułu ścinania G idealnego przekroju i wysokości przekroju h. Wyrażenie jest identyczne dla powłok i płyt:

1.9.4. Sztywność membranowa powłok

Sztywności membranowe w kierunkach zbrojenia ф są obliczane następująco:

Niediagonalna część macierzy sztywności materiału jest określona przez:

Składowa sztywności na ścinanie wynosi:

1.9.5. Mimośród – powłoki

Elementy macierzy sztywności dla mimośrodu środka ciężkości (idealnego przekroju) w kierunku zbrojenia ф są obliczane następująco:

Niediagonalna część macierzy sztywności materiału jest określona przez:

Składowa mimośrodu dla skręcania jest obliczana następująco:

1.9.6. Test dodatniej określoności

Dodatnia określoność macierzy sztywności materiału D jest sprawdzana za pomocą zmodyfikowanego (z uwzględnieniem bloków zerowych) kryterium SYLVESTERA.
Jeśli macierz sztywności D nie jest dodatnio określona, niediagonalne składniki macierzy sztywności materiału są sukcesywnie zerowane. W skrajnym przypadku pozostają tylko dodatnie składniki na głównej przekątnej.

1.10. Obliczanie ugięć

Ugięcia obiektu (pręta lub powierzchni) są wyznaczane na podstawie wcześniej obliczonej macierzy sztywności D. Wartość obliczeniowa (Design Ratio) jest obliczana z ugięcia i wartości granicznej.

1.10.1. Odpowiadające obciążenie

Jeśli odpowiadające obciążenie jest przypisane do obciążenia głównego, końcowe ugięcie jest obliczane jako suma wartości składowych. Kombinacja obciążeń głównych jest obliczana bez właściwości zależnych od czasu (pełzanie i skurcz), a zatem powinna być krótkotrwała (częsta lub charakterystyczna). Natomiast odpowiadająca kombinacja obciążeń jest zawsze obliczana z właściwościami zależnymi od czasu i powinna być długotrwała (quasi-stała). Jeśli przypisano więcej niż jedno obciążenie odpowiadające, uwzględnia się to o najwyższej wartości ugięcia.
Całkowite ugięcie oblicza się następująco:

1.11 Różnice między RFEM 5 i RFEM 6

Obliczanie wysokości strefy ściskanej betonu
W RFEM 5 wysokość strefy ściskanej betonu oblicza się na podstawie netto wysokości przekroju, natomiast w RFEM 6 stosuje się brutto wysokość przekroju. Takie podejście zapewnia szybsze i bardziej przejrzyste obliczenia, a także lepszą czytelność wyników. Dzięki temu uproszczeniu dokładność obliczeń pozostaje na wysokim poziomie, a wyniki w praktyce nie wykazują istotnych różnic. RFEM 6 oferuje zatem bardziej efektywne rozwiązanie przy zachowaniu takiej samej precyzji wyników.

Współczynnik rozdziału zbrojenia
Współczynnik rozdziału, opisujący rozkład naprężeń w przekroju, w RFEM 5 był wyznaczany wyłącznie na podstawie naprężenia długotrwałego. Oznacza to, że uwzględniano tylko naprężenie działające przez dłuższy okres. W RFEM 6 podejście obliczeniowe zostało rozwinięte, tak że obecnie uwzględnia się maksimum zarówno z naprężenia długotrwałego, jak i krótkotrwałego. Zmiana ta zapewnia bardziej realistyczne odwzorowanie rzeczywistych warunków naprężeń w przekroju.