W ramach liniowych obliczeń wartości własnych z rozszerzeniem Stateczność konstrukcji, oprócz obciążeń krytycznych i równoważnych długości efektywnych określonych na podstawie tych obciążeń, wyświetlane są teraz również „modalne współczynniki istotności” (MRF) dla wszystkich kształtów drgań oraz poszczególnych elementów konstrukcyjnych. Modalny współczynnik istotności jakościowo opisuje znaczenie danego elementu dla obliczonego kształtu drgań. Obliczenia są oparte na podstawie energii odkształcenia sprężystego, która jest uzyskiwana dla każdego pojedynczego pręta k w kształcie drgań i. Ponieważ kształty drgań mogą być dowolnie skalowane, absolutne wartości energii odkształcenia nie są brane pod uwagę. Zamiast tego, energie wszystkich pojedynczych prętów są zestawiane w relacji:
|
ui |
Postać własna dla wartości własnej i |
|
kek |
Macierz sztywności elementu dla pręta k |
z
- ui - kształt drgań dla wartości własnej i
- Kek - macierz sztywności elementu dla pręta k
Modalny współczynnik istotności wynoszący 100% oznacza zatem, że pojedynczy pręt ma maksymalne znaczenie dla rozważanego kształtu drgań. Pręty, które w porównaniu nie wykazują znaczącej energii odkształcenia, nie są istotne dla rozważanego kształtu drgań.
W ramach analizy stateczności dla poszczególnych kształtów drgań, modalny współczynnik istotności może być użyty do szybkiego i systematycznego rozróżniania lokalnych i globalnych kształtów drgań. Jeśli kilka pojedynczych prętów wykazuje znaczące wartości MRF dla kształtu drgań (np. większe niż 20%), wskazuje to na niestateczność konstrukcji, częściowo lub w całości. Jeśli suma wszystkich modalnych współczynników istotności dla kształtu drgań wynosi około 100%, można spodziewać się lokalnego zjawiska stateczności (np. wyboczenie pojedynczego pręta).
Ponadto, MRF może być użyty do określenia nadrzędnych obciążeń krytycznych i równoważnych długości wyboczeniowych dla określonych prętów (np. dla oceny stateczności). W tym celu sugeruje się ocenę wyników analizy dla pojedynczych prętów. Formy własne, dla których pręt ma małe wartości MRF (np. mniejsze niż 20%), mogą być pominęte w poszukiwaniu krytycznej długości wyboczenia pręta.
Przykład
Poniżej zostanie przedstawione znaczenie MRF na podstawie prostego przykładu. Analizowany jest dwuprzegubowy układ ramowy z przywieszoną pojedynczą podporą w płaszczyźnie, zgodnie z Rys. 1. Dla przedstawionego obciążenia przeprowadzana jest liniowa analiza stabilności z ustawieniami domyślnymi.
Ocena inżynierska form własnych
Pierwsze cztery formy własne struktury są przedstawione na Rys. 2, można je scharakteryzować następująco:
- Pierwsza forma własna charakteryzuje się bocznym wyboczeniem ramy. Chociaż przywieszone pręty 4 i 5 wykazują duże przemieszczenia, jedynie podążają za bocznym ruchem ramy, przez co w tych prętach nie powstaje znacząca energia odkształcenia.
- Formy własne 2 i 3 mogą być zidentyfikowane jako pojedyncze figury wyboczeniowe przywieszonej podpory (pręt 5). Rama zapewnia boczne podparcie głowicy podpory, więc stabilność podpory można również wyidealizować jako przypadek Eulera II (pierwsza i druga forma własna wokół silnej osi).
- Czwarta forma własna ponownie pokazuje wyboczenie stojaków ramy. Sztywno połączony rygiel przyczynia się tutaj, jak w pierwszej formie własnej, do zwiększenia siły rozgałęzienia.
Obiektywna analiza za pomocą MRF
Oprócz „ręcznego” sprawdzenia i oceny form własnych, użytkownik ma teraz do dyspozycji obiektywną pomoc w postaci MRF. Na Rys. 3 przedstawiono tabelę wyników „Długości wyboczeniowe i siły rozgałęzienia dla poszczególnych form własnych” dla przykładowego systemu. Obliczone dla prętów modalne współczynniki istotności potwierdzają, że formy własne 1 i 4 są zdominowane przez sztywną ramę (pręty 1-3), podczas gdy przywieszone pręty 4 i 5 nie mają żadnej istotności (MRF = 0%). W formach własnych 2 i 3 uczestniczy natomiast tylko pręt 5 (MRF = 100%) – szybkie spojrzenie na tabelę wyników ujawnia, że w przypadku tych form własnych musi chodzić o lokalną utratę stabilności.
Przedstawienie modalnych współczynników istotności dla poszczególnych prętów (patrz Rys. 4) jest odpowiednie do określenia istotnych długości wyboczeniowych i sił rozgałęzienia dla pojedynczych prętów. W wybranym przykładzie jest to układ płaski, możliwość wyboczenia poza płaszczyzną ramy (wokół słabej osi pręta) jest wykluczona ze względu na wybrane ustawienia bazowe. Do analizy istotnych długości wyboczeniowych i sił rozgałęzienia jest tu więc istotna tylko silna (y-) oś.
Wyniki przedstawione na Rys. 4 implikują, że do analizy stabilności stojaków ramy (pręty 1 i 3) należałoby przyjąć pierwszą formę własną. Spośród form własnych, w których uczestniczą stojaki ramy (1 i 4), siła rozgałęzienia jest tutaj minimalna. Do sprawdzenia wyboczenia wokół silnej osi przy użyciu metody zamiennych prętów należałoby wybrać współczynnik długości wyboczenia wynoszący 2,827. Dla przywieszonej podpory (pręt 5) byłaby natomiast istotna forma własna 2 z współczynnikiem długości wyboczenia wynoszącym 1,016. Najniższa siła rozgałęzienia jest tutaj również obliczona dla formy własnej 1, jednak przywieszona podpora nie uczestniczy w tej formie własnej (MRF = 0%).
Aby analiza tabelaryczna MRF była bardziej przejrzysta, warto przefiltrować wszystkie MRF do pewnej wartości granicznej (np. mniejszej niż 20%) korzystając z „Menadżera tabel wyników”.
