Schwingungsnachweis an Brettsperrholzdecken

Fachbeitrag

An weit gespannten Decken ist der Schwingungsnachweis von Brettsperrholzdecken häufig maßgebend. Der Vorteil des leichteren Materials Holz gegenüber Beton kehrt sich hierbei zum Nachteil um, da für eine niedrige Eigenfrequenz eine hohe Masse von Vorteil ist.

Bild 01 - Schwingungsnachweis (Quelle: [3])

Üblicherweise erfolgt auch bei zweiachsigen Flächentragwerken wie Brettsperrholzplatten der Nachweis an einem einachsigen Ersatzstab. Daher wird zur Erläuterung der theoretischen Hintergründe zuerst ein Stab analysiert.

Beispiel Stabtragwerk

An einem praktischen Bauteil werden die Vorteile und Nachteile der Stab-und Flächenbemessung erläutert. Der Grundriss des Gebäudes beträgt 8,44 m x 10,83 m. Bei 5,99 m in Längsrichtung des Gebäudes ist eine tragende Innenwand vorhanden. Wie in Bild 2 ersichtlich, wird zuerst eine Planung für eine Holzbalkendecke durchgeführt, Berechnung mit dem Programm RX-HOLZ DLT. Zusätzlich zu den Streckenlasten aus Bild 3 ergibt sich am Ende des Treppenlochs eine Einzellast aus dem Wechsel.

LF1 = 6,9 kN
LF2 = 5,6 kN

Bild 02 - Grundriss

Bild 03 - Belastungsdaten aus RX-HOLZ DLT

Aus der Berechnung in RX-HOLZ DLT ergibt sich ein notwendiger Querschnitt von 14/32 cm.

Im vereinfachten Schwingungsnachweis in RF-HOLZ Pro erhält man mit der Lastkombination LF1 + LF2 eine maximale Verformung von 23,8 mm. Der Zweifeldträger lässt sich in ein eingespanntes Einfeldträgersystem umrechnen, womit folgende Grenzwerte der Verformung zulässig sind. Die Schwingungen werden damit rechnerisch unter einen Wert von 8,0 Hz. gehalten. Weitere Informationen dazu in [3].

fe ≈ 17,893 / √w
w ≈ 17,893² / fe² = 17,893² / 8²
wlimit,8Hz ≈ 5 mm

Bild 04 - Belastungen

Um den vereinfachten Schwingungsnachweis in RF-HOLZ Pro einzuhalten, wäre ein Querschnitt von 14/62 cm notwendig.

Mit RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen und RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen lässt sich eine genauere Untersuchung durchführen, welche die Regelungen in [3] berücksichtigt.

Bild 05 - Ablaufdiagramm aus [3]

Bei der genaueren Untersuchung wird zuerst untersucht, ob die Eigenfrequenz f0 ≤ fmin ist.

Bild 06 - . Eigenform aus RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen

fmin = 4,5 Hz < f0 = 4,99Hz

Im nächsten Schritt wird untersucht, ob die Beschleunigung a ≤ agrenz ist. Hierfür wird in RF-DYNAM Pro – Erzwungene Schwingungen eine periodische Funktion von 2 Hz definiert. Umgerechnet in ω mit 2Hz ∙ 2π = 12,566 rad/s. Laut [3] Abschnitt 2.2.4 kann die einwirkende zeit-ort-veränderliche Kraft mit Fdyn = 0,4F(t) angesetzt werden.

Bild 07 - Zeitverlauf in RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

Im weiteren Verlauf wird ein Lastfall mit einer Einzellast von 1 kN (Mannlast) definiert, der in RF-DYNAM Pro – Erzwungene Schwingungen zur Analyse ausgewählt wird. Die Einzellast wird an der Stelle des gewählten maximalen Eigenwertes definiert. Als Dämpfungsmaß wird gemäß [1] ξ = 0,01 als Lehrsches Dämpfungsmaß verwendet. Die Beschleunigung erstreckt sich mit 2 Hz über 5 Sekunden. Der quadratische Mittelwert (siehe Bild 10) hierfür wird mit 0,077 m/s² berechnet.

Bild 08 - Analyse Zeitverlauf in RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

Bild 09 - Dämpfungsmaß in RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen

agrenz = 0,1m/s > a = 0,077 m/s²

Der Nachweis für den quadratischen Mittelwert ist damit erbracht. Es ergibt sich jedoch eine leichte Überschreitung bei t = 0,85 s von 0,16 m/s². Gemäß [3] ist es möglich, den Estrich als zusätzliche Steifigkeit und Masse in der Berechnung zu berücksichtigen. Der Querschnitt wird unter den zusammengesetzten Querschnitten in RFEM definiert. Die Verbindung zwischen Estrich und Holzquerschnitt überträgt hierbei keine Steifigkeiten (schubloser Verbund). Als Aufbauhöhe des Estrichs werden 8 cm angesetzt. Weitere Informationen zu den zusammengesetzten Querschnitten finden sich im Handbuch RF-HOLZ Pro.

Auch mit dem Verbundquerschnitt wird der Grenzwert der Beschleunigung bei t = 0,35 s mit 0,13 m/s² leicht überschritten. Im Weiteren wird mit dem quadratischen Mittelwert weiter gerechnet.

Bild 10 - Beschleunigung a aus RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen: links Balken, rechts Verbundquerschnitt

Bild 11 - Verbundquerschnitt

Beispiel Flächentragwerk

Das Beispiel gemäß Grundriss in Bild 2 wird in eine Brettsperrholzplatte mit dem Querschnitt CLT 240 L7s-2 (gemäß [2]) umgerechnet. Die Platten im unteren Teil werden identisch zum Stabtragwerk als Durchlaufträger mit einer Gesamtlänge von 10,47m und einer Feldweite von 5,99 m (Feld 1) und 4,48 m (Feld 2) definiert. Die Platten mit 3,38 m Länge werden an die durchlaufenden Platten angeschlossen (siehe Bild 13). Die Anschlussnachgiebigkeit der Platten wird hierbei nicht berücksichtigt, da davon ausgegangen wird, dass die kürzeren Platten auf die durchlaufenden Platten aufgelegt werden, so dass sich keine Nachgiebigkeit ergibt. Lediglich für die Rotation wird an allen Plattenrändern ein Liniengelenk mit dem Freiheitsgrad φx = 0 kNm/rad/m definiert. Die Spannrichtung der Platten wird in Bild 14 erläutert.

Die Bemessung erfolgt in RF-LAMINATE und es ergibt sich mit den so berechneten Steifigkeiten eine Verformung von 21,4 mm in der charakteristisch/quasi-ständigen Kombination. Auch hier wäre der vereinfachte Schwingungsnachweis überschritten. Daher wird im weiteren die Vorgehensweise des vorherigen Kapitels für das Plattentragwerk wiederholt.

Bild 12 - Brettsperrholzquerschnitt

Bild 13 - Plattengeometrie

Die Bemessung in RF-LAMINATE wird im Handbuch erläutert.

Zur genaueren Bemessung des Flächentragwerks mit RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen und RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen wird wiederum eine Kombination mit LF1 + LF2 erstellt.

Bild 14 - Spannrichtung der Platten (Hauptspannrichtung rot)

Bild 15 - Verformung in der charakteristisch/quasi-ständigen Situation

In RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen ergibt sich mit dieser Kombination eine Eigenschwingung von 4,8 Hz. Auch bei der 1. Eigenform des Flächentragwerks ergibt sich die maximale Versagensform in Feldmitte des 1. Feldes.

Bild 16 - Kombination zum Schwingungsnachweis

Bild 17 - . Eigenschwingung

Hier wird ebenfalls eine Einzellast von 1 kN angesetzt und mit der gleichen Funktion wie das Stabtragwerk überlagert. In Bild 18 wird ein quadratischer Mittelwert von 0,0469 m/s² bei 5 Sekunden ermittelt. Selbst die maximale Beschleunigung liegt fast innerhalb des Grenzkriteriums von agrenz ≤ 0,1 m/s². Der Grenzwert wird mit 0,12 m/s² nur knapp überschritten. Im Weiteren werden auch in RF-LAMINATE die Steifigkeit und Masse des Querschnitts mit einem 8 cm starken Estrich erhöht. Hierfür wird die Steifigkeit der Brettsperrholzplatte über einen äquivalenten orthotropen Holzquerschnitt abgebildet.

Bild 18 - Zeitverlaufsdiagramm für das Flächentragwerk

Die Ermittlung der Steifigkeitsmatrix für diesen Verbundquerschnitt wird ohne Berücksichtigung des Schubverbundes zwischen Estrich und Brettsperrholzplatte ermittelt.

Bild 19 - Ermittlung Ersatzsteifigkeit

Mit dieser Methode gelingt es schließlich, wie in Bild 20 gezeigt, auch den Maximalwert der Beschleunigung unterhalb des Grenzkriteriums auszuführen.

Bild 20 - Beschleunigung für Ersatzquerschnitt Flächentragwerk

Zusammenfassung

Über eine zweiachsige Betrachtung des Bauteils konnte der Querschnitt unter Erfüllung des Schwingungsnachweises gemäß Eurocode 5 von 64 cm auf 22 cm Stärke der Brettsperrholzplatte reduziert werden.

Literatur

[1] Blaß, H.J.; Ehlbeck. J.; Kreuzinger H.; Steck G.: Erläuterungen zu DIN 1052:2004-08, 2. Auflage. Köln: Bruderverlag, 2005
[2] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung Z-9.1-599 vom 13. Januar 2012
[3] Hamm, P.; Richter, A.: Bemessungs- und Konstruktionsregeln zum Schwingungsnachweis von Holzdecken. In: Fachtagungen Holzbau 2009. Leinfelden-Echterdingen, 26. November 2009. Hrsg.: Landesbeirat Holz Baden-Württemberg e.V., Stuttgart. S. 15-29.

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