Formfindung in RFEM

Fachbeitrag

Das Zusatzmodul RF-FORMFINDUNG ermittelt in RFEM Gleichgewichtsformen von Membran- und Seilelementen. In diesem Berechnungsprozess sucht das Programm für die Membran- und Seilelemente eine geometrische Lage, in der die Oberflächenspannung/Vorspannung der Membranen und Seile im Gleichgewicht mit den natürlichen und geometrischen Randreaktionen steht. Dieser Prozess heißt Formfindung (nachfolgend FF genannt). Die FF-Berechnung wird in RFEM global in den "Basisangaben" eines Modells im Register "Optionen" aktiviert. Nach Aktivierung werden in RFEM ein Lastfall beziehungsweise ein Berechnungsprozess mit dem Namen RF-FORMFINDUNG angelegt und für die Seil- und Membraneingabe zusätzlich FF-Parameter zur Definition der Oberflächenspannung und Vorspannung freigeschaltet. Die Aktivierung der FF-Option bedeutet für das Programm, dass vor der reinen strukturellen Berechnung der Schnittgrößen, Verformung, Eigenwerte etc. immer zuerst der Formfindungsprozess gestartet und für die Folgeberechnung ein entsprechend vorgespanntes Modell vorgegeben wird.

Bild 01 - Basisangaben

Eingabe

Während der Modelldefinition von Leichtbautragwerken stellt man fest, dass die geometrische Lage der Membranen und Seile unklar ist. Es ist eben genau die Aufgabe des FF-Prozesses, diese Lage zu finden und zu fixieren. RFEM erfordert daher in der 1. Instanz eine Anfangseingabe der FF-Elemente. Von der Anfangseingabe bekommt das Programm die Information, zwischen welchen Punkten ein Seil und welchem Linienpolygon eine Membran eingeschlossen ist. Zudem erfordert die Anfangseingabe eine Festlegung der Oberflächenspannungsgröße in Kett- und Schussrichtung der Membranen inklusive deren Ansatzmethode (Zug oder Projektion) sowie eine Vorspannungshöhe beziehungsweise Durchhangsabmessung an den Seilelementen, die nach der FF-Berechnung wirken soll. Hier ist anzumerken, dass die Form der Anfangseingabe der FF-Elemente unerheblich ist. Programmtechnisch muss bei der Anfangseingabe der FF-Elemente nur darauf geachtet werden, dass alle nötigen Verbindungsknoten und -linien in die Flächen/Stäbe integriert sind und der Vernetzungsprozess für alle Elemente ein Netz generieren kann. Bei einem fehlgeschlagenen Vernetzungsprozess wird die Operation vor der Berechnung direkt beendet.

Bild 02 - Menü

Formfindung

Nach einer erfolgreichen Vernetzung startet das Programm den FF-Prozess. Dieser Prozess übernimmt die Netzgeometrie und Oberflächenspannung/Vorspannung von der Anfangseingabe und verschiebt die Lage der Netzelemente so lange, bis die Oberflächenspannung auf dem FE-Element mit den Randreaktionen im Gleichgewicht steht. Die Beschreibung der Oberflächenspannung auf den Membrannetzelementen kann auf zwei Arten festgelegt werden. Die Zugmethode beschreibt einen Oberflächenspannungsvektor, der sich frei im Raum bis zur Zielposition bewegen kann. Im Gegensatz dazu beschreibt die Projektionsmethode einen Oberflächenspannungsvektor, der sich semi-frei mit einer Fixierung auf seine X-Y-Koordinaten im Raum bewegen kann. Speziell bei konischen rotationssymmetrischen Modellen kommt es bei im Raum frei beweglichen Vorspannungsvektoren vor, dass sich die Tangentialvektoren zu einem Punkt im Zentrum zusammenziehen. Dieser Reaktion kann man mit der Fixierung der Oberflächenspannungsvektoren auf der XY-Ebene in der Projektionsmethode entgegenwirken.

Dieser Verschiebeschritt wird iterativ mittels der URS-Methode (Updated Reference Strategy, https://www.st.bgu.tum.de/forschung/alte-forschungsthemen/form-finding-of-membrane-structures) von Prof. Dr.-Ing. K.-U. Bletzinger und E. Ramm erledigt. Zur Steuerung des Iterationsprozesses gibt es in den Berechnungsparametern unter "Berechnung" ein eigenes Register "Formfindung". Hier gibt es folgende Optionen:

Maximale Anzahl der Iterationen
Generell sollte die FF-Berechnung vor dieser Schranke ein Ende aufgrund der Einhaltung aller Toleranzgrenzen finden. Sind nach den erlaubten Iterationen die Toleranzgrenzen nicht eingehalten, gibt das Programm eine Warnmeldung mit der Option zur Weiternutzung des Zwischenergebnisses aus.

Anzahl der Iterationen für die Vorspannung
Diese Anzahl regelt, in wie vielen Iterationen die FF-Berechnung die Vorspannung mit dem ursprünglich definierten Wert erneut an den Elementen ansetzen soll. Nach Überschreiten dieser Schranke hört das Programm während der FF-Berechnung auf, die Vorspannung immer wieder erneut mit dem Anfangswert anzusetzen. Mit einer Erhöhung des Werts bei einer isotropen Oberflächenspannung mit der Zugmethode oder einer isotropen/orthotropen Oberflächenspannung mit der Projektionsmethode konvergiert das Programm zu einer stabilen Lösung. Aufgrund der biaxialen Krümmung kann bei einer orthotropen Oberflächenspannung mit der Zugmethode nur eine angenäherte Lösung gefunden werden.

Eigengewicht berücksichtigen aus dem Lastfall
Diese Lastfallzuordnung erlaubt, das Eigengewicht zusätzlich zu der fest definierten Oberflächenspannung/Vorspannung als Zwangsbedingung für die FF-Berechnung zu nutzen.

Vorläufige Formfindung integrieren
Beschleunigt in den meisten Fällen den globalen FF-Prozess. Die vorläufige Formfindung verschiebt die FE-Flächenelemente unter der Annahme von starren Rändern an eine Position nahe der Ziellösung. Nach diesem Schritt wird dann der eigentliche iterative FF-Prozess gestartet. Da aufgrund der vorläufigen Betrachtung der Weg zwischen der Anfangsposition und der Zielposition in der Regel stark reduziert wird, muss die eigentliche iterative Berechnung nur noch einen kleinen Weg zur Zielposition zurücklegen und kann so eine gewisse Berechnungszeit einsparen.

NURBS-Flächen/-Linien aus Formfindung-Ergebnissen generieren und Formfindung-Ergebnisse neu generieren
Wird zur Ermittlung einer neuen Modelleingabe genutzt. Generell gibt das Programm nach der FF-Berechnung die verschobene Netzgenerierung unter der angesetzten Oberflächenspannung/Vorspannung aus. Diese Netzgeometrie kann im Programm dargestellt, jedoch nicht angefasst und modifiziert werden. Sämtliche Eingaben und Analysen (Folgebelastung, Ergebnisauswertung etc.) können nur über die Anfangseingabe getätigt werden.
In Fällen, bei denen die FF-Netzgeometrie sehr weit von der Anfangsgeometrie verschoben wird, hilft die NURBS-Transformation weiter. Diese Option transformiert die FF-Geometrie (Membranfläche, Membranrandlinien und Seillinien) in die ermittelte FF-Geometrie. Da die FF-Geometrie normalerweise eine mehrfach gekrümmte Form darstellt und die dazugehörigen Liniengeometrien nicht mehr mit Geraden, Bögen, Splinekurven und Flächengeometrien nicht mehr mit Ebenen, Zylinderflächen, Quadrangleflächen umgesetzt werden können, schreibt die Funktion die neuen Elemente in nicht-uniforme rationale B-Splines (kurz NURBS) mit einer Ordnung 9 um. Diese NURBS Elemente ergeben entsprechende Linien und Flächendefinitionen, die näherungsweises die vorher ermittelten FF-Geometrien darstellen.
In RFEM ist die NURBS-Flächeneingabe auf einen Flächentyp mit vier Begrenzungslinien fixiert. Dies bedeutet, dass das Programm die Lage der nötigen Matrixknoten nur für Flächen mit vier Begrenzungslinien homogen abhängig vom Rand inmitten der Fläche verteilen und entsprechend gewichten kann. Zusätzlich ist noch der Spezialfall mit drei Begrenzungslinien möglich, da hier im Berechnungsmodell gegenüber einer vierseitigen Fläche eine Begrenzungslinie mit der Länge 0 berücksichtigt wird. Entsprechend verdichtet sich die Matrixknotenverteilung an der Ecke mit der Nulllinie sehr stark.
Nach der Transformation legt das Programm über die NURBS Flächen ein neues FE-Netz auf Basis der vorherige FF-Geometrie ohne zusätzliche Verzerrungen und startet eine FF-Berechnung. Da die NURBS-Elemente annähernd auf der vorher gefundenen FF-Geometrie liegen, findet der Berechnungsprozess in der Regel mit wenigen Iterationen eine Lösung. Erwartungsgemäß ergibt die FF-Berechnung bei diesen NURBS-Transformationen eine annähernde Nullverformung senkrecht zur Membranebene mit der geplanten Oberflächenspannung/Vorspannung. In manchen Fällen ergibt sich jedoch eine FF-Verformung in der Membranebene. Dies widerspricht jedoch nicht den Annahmen und kann so akzeptiert werden.

Toleranz der Konvergenzkriterien für die Formfindung
Diese Eingabe steuert die Lösungsgenauigkeit. Der eingestellte Wert modifiziert die intern justierte Genauigkeit der FF-Berechnung. Ein Wert kleiner 1 erhöht folglich die Genauigkeit und zwingt die iterative Berechnung weiterzurechnen, bis die reduzierte Toleranzschranke eingehalten ist. Als Kriterium zwischen den Iterationen gleicht die FF-Berechnung die Verformungen und das Gleichgewicht zwischen den Elementkräften und Reaktionen ab.

Konvergenzgeschwindigkeit
Diese Eingabe steuert die Berechnungsstabilität. Für die reine FF-Berechnung nimmt das Programm die Membranflächen mit einer absoluten Steifigkeit an. Dieser Wert kann mit dem eingestellten Wert modifiziert werden. Ein Wert kleiner 1 vergrößert die Steifigkeit und sorgt für eine langsamere Konvergenz, jedoch höhere Berechnungsstabilität. Etwaige Instabilitäten während der FF-Berechnung können so umgangen werden.

Bild 03 - Berechnungsparameter

Ergebnisse

Nach der FF-Berechnung werden die Ergebnisse unter dem Lastfall "RF-FORMFINDUNG" ausgeben. Der Ergebnisnavigator ist der Gleiche wie bei einer reinen Strukturberechnung ohne die FF-Analyse. Die Verformungsergebnisse beschreiben die Verformung zwischen der Anfangseingabe und der gefundenen Gleichgewichtsform. Die Stab- und Flächenergebnisse zeigen die Kraft- beziehungsweise Spannungszustände für die Gleichgewichtsform unter Berücksichtigung der definierten FF-Parameter. Der Lastfall "RF-FORMFINDUNG" stellt die neue Modellkonfiguration mit eingeprägter Oberflächenspannung/Vorspannung dar. Eine Folgeberechnung mit einer bestimmten Flächenlasteingabe, zum Beispiel Windlast, benutzt dann als Anfangskonfiguration das Modell wie unter dem Lastfall "RF-FORMFINDUNG" mit allen dazugehörigen Effekten. In diesen Folgelastfällen bezieht sich dann die Verformung auf die vorher ermittelte Gleichgewichtsform.

Bild 04 - Modell

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