Online-Handbücher RFEM 6 – Hintergrundwissen

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28. September 2023

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Übersicht

Einführung

Berechnung

Finite Elemente

Materialnichtlinearität

Wenn das Add-On Nichtlineares Materialverhalten in den Basisdaten des Modells aktiviert ist (Lizenz erforderlich), stehen in der Liste der Materialmodelle neben den Modellen „Isotrop | Linear-elastisch“ und „Orthotrop | Linear-elastisch“ weitere Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung..

Materialmodelle für Analyse-Add-On 'Nichtlineares Materialverhalten'

Bei der Verwendung nichtlinearer Materialmodelle in RFEM wird stets eine iterative Berechnung durchgeführt. Je nach Materialmodell wird eine unterschiedliche Beziehung zwischen Spannungen und Dehnungen definiert.

Die Steifigkeit der finiten Elemente wird im Zuge der Iterationen immer wieder angepasst, bis die Spannungs-Dehnungs-Beziehung erfüllt ist. Die Anpassung erfolgt dabei stets für ein gesamtes Flächen- oder Volumenelement. Daher empfehlen wir bei der Auswertung der Spannungen immer die Glättungsart "Konstant" in Netzelementen zu verwenden.

Ergebnisglättung

Einige Materialmodelle in RFEM sind als "Plastisch" und andere als "Nichtlinear-elastisch" gekennzeichnet.

Wird ein Bauteil mit einem nichtlinear-elastischen Material wieder entlastet, bildet sich die Dehnung auf dem gleichen Weg zurück. Nach vollständiger Entlastung bleibt keine bleibende Dehnung zurück.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm nichtlinear elastisch

Beim Entlasten eines Bauteils mit einem plastischen Materialmodell bleibt nach vollständiger Entlastung eine bleibende Dehnung zurück.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm plastisch

Hintergrundinformationen zu nichtlinearen Materialmodellen finden Sie im Fachbeitrag über die Fließgesetze im Materialmodell 'Isotrop nichtlinear elastisch'.

Die Schnittgrößen in Flächen mit nichtlinearem Material ergeben sich aus der numerischen Integration der Spannungen über die Dicke d der Fläche. Um das Integrationsverfahren für die Dicke festzulegen, öffnen Sie den Dialog "Dicke bearbeiten" und wählen dort die Option "Integrationsverfahren festlegen" aus. Es stehen folgende Integrationsverfahren zur Verfügung:

Gauss-Lobatto-Quadratur
Simpsonregel
Trapezregel

Integrationsmethode für Flächendicke festlegen

Darüber hinaus können Sie die "Anzahl der Integrationspunkte" von 3 bis 99 über die Flächendicke festlegen.

Info

Eine theoretische Erklärung der einzelnen Integrationsmethoden finden Sie im Mehrschichtige Flächen.

Isotrop Plastisch | Stäbe

Bei Auswahl des Eintrags "Isotrop | Plastisch (Stäbe)" in der Dropdown-Liste "Materialmodell" wird das Register zur Eingabe nichtlinearer Materialparameter freigeschaltet.

Nichtlineares Materialmodell aktivieren

Nichtlineare Materialparameter definieren

In diesem Register kann das Spannungs-Dehnungs-Diagramm definiert werden. Die folgenden Optionen stehen zur Verfügung:

Basis
Bilinear
Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Bei Auswahl der Option "Basis" verwendet RFEM ein bilineares Materialmodell. Dabei werden die Werte für den Elastizitätsmodul E und die Streckgrenze f_y aus der Materialdatenbank übernommen. Aus numerischen Gründen verläuft der Ast des Graphen nicht exakt horizontal, sondern weist eine geringe Steigung E_p auf.

Wenn Sie die Werte für die Streckgrenze und den Elastizitätsmodul ändern möchten, aktivieren Sie das Kontrollkästchen "Benutzerdefiniertes Material" im Register "Basis"

Benutzerdefiniertes Material aktivieren

Bei einer bilinearen Definition können Sie zusätzlich einen Wert für E_p eingeben.

Mehr komplexe Spannungs-Dehnungs-Beziehungen können über das "Spannungs-Dehnungs-Diagramm" definiert werden. Wird diese Option ausgewählt, wird das Register "Spannungs-Dehnungs-Diagramm" angezeigt.

Benutzerdefiniertes Spannungs-Dehnungs-Diagramm eingeben

Definieren Sie in jeder Tabellenzeile einen Punkt der Spannungs-Dehnungs-Beziehung. Unterhalb der Grafik finden Sie eine Liste mit dem Titel "Diagrammende". Dort können Sie festlegen, wie das Diagramm nach dem letzten Definitionspunkt fortgesetzt wird:

Verlauf nach dem letzten Definitionspunkt

Im Fall von "Bruch" springt die Spannung nach dem letzten Definitionspunkt auf Null zurück. "Fließen" bedeutet, dass die Spannung bei zunehmender Dehnung konstant bleibt. "Kontinuierlich" heißt, dass der Graph mit der Steigung des letzten Abschnitts fortgesetzt wird.

Info

Bei diesem Materialmodell bezieht sich das Spannungs-Dehnungs-Diagramm auf die Längsspannung σ_x. Unterschiedliche Streckgrenzen für Zug und Druck können bei diesem Materialmodell nicht berücksichtigt werden.

Isotrop Plastisch | Flächen/Volumenkörper

Wenn in der Dropdown-Liste "Materialmodell" der Eintrag "Isotrop | Plastisch (Flächen/Volumenkörper)" ausgewählt wird, wird das Register zur Eingabe nichtlinearer Materialparameter freigeschaltet.

Plastisches Materialmodell auswählen

Wählen Sie zunächst die "Fließhypothese" aus. Folgende Hypothesen stehen zur Auswahl:

von Mises (von Mises-Fließkriterium)
Tresca (Tresca-Fließkriterium)
Drucker-Prager
Mohr-Coulomb

Spannungsversagenshypothese festlegen

Bei Auswahl von "von Mises" wird folgende Spannung im Spannungs-Dehnungs-Diagramm verwendet:

Flächen:

σ_{v} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} - σ_{x} σ_{y} + 3 (τ_{xy}^{2})}

Vergleichsspannung aus Grundspannungen nach von Mises

Volumenkörper:

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Vergleichsspannung σ_v,Mises aus Grundspannungen

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Vergleichsspannung σ_v,Mises aus Hauptspannungen

Nach der "Tresca-Hypothese" wird folgende Spannung verwendet:

Flächen:

σ_{v} = \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 {τ_{xy}}^{2}}

Vergleichsspannung nach Tresca

Volumenkörper:

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Vergleichsspannung σ_v,Tresca

Nach der "Drucker-Prager-Hypothese" wird folgende Spannung für Flächen und Volumenkörper verwendet:

σ_{v} = \frac{m - 1}{2} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) + \frac{m + 1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]}

m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}

σ_c	Grenzspannung für Druck
σ_t	Grenzspannung für Zug

Fließkriterium nach Drucker-Prager

Nach der "Mohr-Coulomb-Hypothese" wird folgende Spannung für Flächen und Volumenkörper verwendet:

σ_{v} = \frac{m + 1}{2} \max \{|σ_{1} - σ_{2}| + K (σ_{1} + σ_{2}), |σ_{2} - σ_{3}| + K (σ_{2} + σ_{3}), |σ_{3} - σ_{1}| + K (σ_{3} + σ_{1})\}

K = \frac{m - 1}{m + 1}

m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}

Mohr–Coulomb

Isotrop Nichtlinear Elastisch | Stäbe

Die Funktionalität entspricht weitgehend der des Materialmodells Isotrop | Plastisch (Stäbe). Der Unterschied besteht darin, dass nach der Entlastung keine plastische Dehnung verbleibt.

Isotrop Nichtlinear Elastisch | Flächen/Volumenkörper

Die Funktionalität entspricht weitgehend der des Materialmodells Isotrop | Plastisch (Flächen/Volumenkörper). Der Unterschied besteht darin, dass nach der Entlastung keine plastische Dehnung verbleibt.

Isotrop Beschädigung | Flächen/Volumenkörper

Im Gegensatz zu anderen Materialmodellen verläuft das Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei diesem Modell nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Dadurch lässt sich mit diesem Materialmodell beispielsweise das Verhalten von Stahlfaserbeton abbilden. Detaillierte Informationen zur Modellierung von Stahlfaserbeton finden Sie im Fachbeitrag über die Ermittlung der Materialeigenschaften von Stahlfaserbeton und deren Verwendung in RFEM.

Materialmodell 'Isotrop | Beschädigung'

In diesem Materialmodell wird die isotrope Steifigkeit durch einen skalaren Schädigungsparameter reduziert. Dieser Schädigungsparameter wird aus der im Diagramm definierten Spannungskurve ermittelt. Dabei wird die Richtung der Hauptspannungen nicht berücksichtigt; vielmehr erfolgt die Schädigung in Richtung der Vergleichsdehnung, welche auch die dritte Richtung senkrecht zur Ebene abdeckt. Der Zug- und Druckbereich des Spannungstensors wird getrennt behandelt. Dabei gelten jeweils unterschiedliche Schädigungsparameter.

Durch die "Referenzelement-Größe" wird gesteuert, wie die Dehnung im Rissbereich auf die Elementlänge skaliert wird. Bei einem Standardwert von Null findet keine Skalierung statt. Dadurch wird das Materialverhalten des Stahlfaserbetons realitätsnah abgebildet.

Weitere Informationen zum theoretischen Hintergrund des Materialmodells "Isotrope Schädigung" finden Sie im Fachbeitrag über das Nichtlineare Materialmodell Schädigung.

Orthotrop Plastisch | Flächen/Volumenkörper

Das Materialmodell nach "Tsai-Wu" vereint plastische mit orthotropen Eigenschaften. Dies ermöglicht die spezielle Modellierung von Materialien mit anisotropen Eigenschaften, wie zum Beispiel faserverstärkte Kunststoffe oder Holz.

Wenn das Material plastifiziert, bleiben die Spannungen konstant. Die Umlagerung erfolgt entsprechend der in den einzelnen Richtungen vorhandenen Steifigkeiten.

Materialmodell 'Orthotrop | Plastisch (Flächen)'

Materialmodell 'Orthotrop | Plastisch (Volumenkörper)'

Der elastische Bereich entspricht dem Materialmodell Orthotrop. Für die plastische Zone gilt die folgende Fließbedingung nach Tsai-Wu:

Flächen (2D):

σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +

σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +

\frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} - {[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1

α = \sum_{i} ∆ γ_{i}

Tsai-Wu, ebener Spannungszustand

Volumenkörper (3D):

σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +

σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +

σ_{z} [\frac{1}{f_{t, z}} - \frac{1}{f_{c, z}}] + \frac{{σ_{z}}^{2}}{f_{t, z} f_{c, z}} +

\frac{{τ_{yz}}^{2}}{{f_{v, yz}}^{2}} + \frac{{τ_{xz}}^{2}}{{f_{v, xz}}^{2}} + \frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} -

{[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1

α = \sum_{i} ∆ γ_{i}

Tsai-Wu, räumlicher Spannungszustand

Alle Festigkeiten müssen positiv definiert werden.

Das Spannungskriterium kann man sich als elliptische Fläche in einem sechsdimensionalen Spannungsraum vorstellen. Wenn eine der drei Spannungskomponenten als konstanter Wert angesetzt wird, kann die Fläche auf einen dreidimensionalen Spannungsraum projiziert werden.

Ist der Wert für f_y(σ) nach der Tsai-Wu-Gleichung (ebener Spannungszustand) kleiner als 1, befinden sich die Spannungen im elastischen Bereich. Die plastische Zone ist erreicht, sobald
f_y(σ) = 1 ist. Werte höher als 1 sind unzulässig. Das Modellverhalten ist ideal-plastisch, d.h. es gibt keine Aussteifung.

Übergeordnetes Kapitel

Nichtlinearität