Integrationsverfahren

In Statikprogrammen wie RFEM bezieht sich der Begriff "Integration" häufig auf das numerische Integrationsverfahren, das zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet wird, die sich aus der Finite-Elemente-Analyse ergeben. Dieser Prozess ist entscheidend dafür, wie ein Tragwerk auf aufgebrachte Lasten und Randbedingungen reagiert. Hier eine vereinfachte Übersicht zum mathematischen Integrationsprozess im Rahmen der Finite-Elemente-Analyse:

1. Diskretisierung: Das kontinuierliche physikalische Verhalten einer Struktur wird durch einen Satz von Differenzialgleichungen abgebildet, die beschreiben, wie Kräfte, Spannungen, Verschiebungen und andere Parameter zusammenhängen. Dabei handelt es sich in der Regel um partielle Differentialgleichungen (PDE). Um diese Gleichungen numerisch zu lösen, besteht der erste Schritt darin, das Problem zu diskretisieren, indem die Struktur in kleinere Elemente (z. B. Dreiecke oder Tetraeder bei 2D- oder 3D-Analysen) zerlegt wird.
2. Lokale Gleichungen: In jedem Element werden Gleichungen formuliert, die das Verhalten der Struktur beschreiben. Diese Gleichungen setzen die lokalen Verschiebungen, Dehnungen und Spannungen im Element in Beziehung.
3. Gauß-Quadratur: Der Prozess der numerischen Integration wird häufig mit der Gauß-Quadratur durchgeführt. Diese Methode nähert das Integral einer Funktion an, indem die Funktion an einer Reihe diskreter Punkte innerhalb des Elements ausgewertet wird und diese Auswertungen dann mit spezifischen Gewichten kombiniert werden.
4. Montage: Das globale Verhalten der gesamten Struktur wird durch eine Kombination der lokalen Verhaltensweisen jedes Elements bestimmt. Dies wird durch den Montageprozess erreicht, bei dem die Beiträge der Nachbarelemente zum Gesamtgleichungssystem kombiniert werden.
5. Randbedingungen : Die Randbedingungen, wie feste Lager oder aufgebrachte Lasten, werden auf das zusammengesetzte Gleichungssystem aufgebracht. Dabei werden die Gleichungen abgeändert, um die auf die Struktur einwirkenden Kopplungen und Kräfte zu berücksichtigen.
6. Lösung: Das modifizierte Gleichungssystem wird gelöst, um die unbekannten Verschiebungen und andere Antwortparameter zu bestimmen. Bei dieser Lösung muss ein großes System linearer Gleichungen gelöst werden, was mit verschiedenen numerischen Verfahren wie direkten Solvern oder iterativen Verfahren erfolgen kann.
7. Post-Processing: Sobald die Verschiebungen und andere Antwortparameter bekannt sind, wird ein Post-Processing durchgeführt, um zusätzliche Ergebnisse zu berechnen – Spannungen, Dehnungen, Reaktionen und Verschiebungen an bestimmten relevanten Stellen in der Struktur. Diese Ergebnisse helfen den Ingenieuren, die Tragwerksleistung zu bewerten und sicherzustellen, dass die Bemessungsanforderungen erfüllt sind.
8. Iterativer Prozess: Der Prozess kann darin bestehen, die Schritte 1 bis 7 zu durchlaufen, um die Analyse zu verfeinern, Eingabeparameter anzupassen oder verschiedene Szenarien zu untersuchen, bis eine zufriedenstellende Lösung erzielt wird.