Im FEM spielen finiten Elemente eine zentrale Rolle. Die folgenden Kapitel bieten tiefgehende Einblicke in verschiedene Aspekte des FEM, beginnend mit den verschiedenen Typen von finiten Elementen, gefolgt von einer detaillierten Beschreibung des numerischen Integrationsprozesses, der Optimierung der Netz-Einstellungen und wie man Null-Energie-Modi verhindert. Jedes Kapitel wurde entwickelt, um grundlegendes Wissen und Techniken für die effektive Nutzung von FEM in Ingenieurprojekten zu erklären.
Finite Elemente sind unerlässlich für Analysen nach der Finite-Elemente-Methode (FEM) – einer numerischen Methode, die in technischen und wissenschaftlichen Disziplinen weit verbreitet ist, um komplexe strukturelle und physikalische Probleme zu analysieren und zu lösen. Hier ist ein kurzer Überblick über finiten Elemente im FEM:
- Definition: Finite Elemente sind diskrete, geometrische Subregionen oder Elemente, in die eine komplexe Struktur oder ein System unterteilt wird. Diese Elemente approximieren das Verhalten der gesamten Struktur, was die Analyse komplexer Systeme durch einfachere, handhabbare Komponenten ermöglicht.
- Zweck: Der primäre Zweck der Unterteilung einer komplexen Domäne in finite Elemente besteht darin, den Problemlösungsprozess zu vereinfachen. Anstatt ein Set von komplizierten Differentialgleichungen über die gesamte Domäne zu lösen, zerlegt FEM das Problem in eine Reihe von kleineren, miteinander verbundenen Elementen, was es rechnerisch machbar macht.
- Interpolation: Innerhalb jedes finiten Elements werden Interpolationsfunktionen – oft basierend auf polynomiellen Approximationen – verwendet, um die Variationen in physikalischen Eigenschaften wie Verschiebung, Spannung, Temperatur usw. über das Element hinweg darzustellen. Diese Funktionen erlauben es Ingenieuren, das kontinuierliche Verhalten der Struktur zu approximieren.
- Assembly: In einer FEM-Analyse werden die einzelnen finiten Elemente zu einem globalen Gleichungssystem zusammengefügt. Die Randbedingungen und aufgebrachten Lasten werden innerhalb dieses globalen Systems auferlegt, um eine Darstellung des gesamten Problems zu schaffen.
- Lösen von Gleichungen: Das globale Gleichungssystem wird typischerweise unter Anwendung numerischer Techniken wie Matrizenalgebra, iterativen Lösungsverfahren oder direkten Methoden gelöst, abhängig von der Größe und Komplexität des Problems.
- Ergebnisse: Sobald die Gleichungen gelöst sind, erhalten Ingenieure wertvolle Informationen über das Verhalten der Struktur, einschließlich Verschiebungen, Spannungen, Dehnungen und anderen relevanten physikalischen Größen. Die Ergebnisse haben Einfluss auf Entscheidungsfindungen im Design, Optimierungen und Bewertungen.
- Anwendungen: Finite Elemente finden Anwendung in einer Vielzahl von ingenieurtechnischen und wissenschaftlichen Disziplinen, einschließlich Bau- und Strukturtechnik, Maschinenbau, Luft- und Raumfahrttechnik und Materialwissenschaft. Sie sind unerlässlich für die Analyse und das Design von Strukturen, Komponenten und Systemen, die verschiedenen physikalischen Kräften und Bedingungen unterliegen.
- Vorteile: Die Vorteile der Nutzung von finiten Elementen in FEM-Berechnungen umfassen die Fähigkeit, komplexe Geometrien, heterogene Materialien und nichtlineare Verhaltensweisen genau zu modellieren. Dies bietet einen systematischen Ansatz zur Lösung von Ingenieurproblemen und ermöglicht die Erforschung mehrerer Design-Szenarien.
Zusammenfassend dienen finite Elemente als grundlegende Bausteine in der Finite-Elemente-Analyse und ermöglichen es Ingenieuren und Wissenschaftlern, komplexe Systeme mit Präzision und Effizienz zu simulieren und zu analysieren.