In der FEM spielen die finiten Elemente eine zentrale Rolle. Die folgenden Kapitel geben detaillierte Einblicke in verschiedene Aspekte der FEM, angefangen mit den verschiedenen Arten der finiten Elemente, über eine detaillierte Beschreibung des numerischen Integrationsprozesses, der Optimierung der Netzeinstellungen und der Vermeidung von Null-Energie-Formen. In jedem Kapitel werden grundlegende Kenntnisse und Methoden für den effektiven Einsatz der FEM in Ingenieurprojekten erläutert.
Finite Elemente sind unerlässlich für Untersuchungen nach der Finite-Elemente-Methode (FEM) – einem numerischen Verfahren, das in Ingenieur- und Naturwissenschaften weit verbreitet ist, um komplexe statische und statische Probleme zu analysieren und zu lösen. Hier ein kurzer Überblick über die Finiten Elemente in der FEM:
- Definition: Finite Elemente sind diskrete, geometrische Teilbereiche oder Elemente, in welche ein komplexes Bauwerk oder System unterteilt wird. Diese Elemente nähern sich dem Verhalten der Gesamtstruktur an und ermöglichen die Analyse komplexer Systeme durch einfachere, überschaubare Komponenten.
- Zweck: Der Hauptzweck der Unterteilung eines komplexen Gebiets in finite Elemente besteht darin, den Problemlösungsprozess zu vereinfachen. Anstatt einen Satz komplizierter Differenzgleichungen über das gesamte Gebiet zu lösen, zerlegt die FEM das Problem in eine Reihe kleinerer, miteinander verbundener Elemente und macht es rechnerisch realisierbar.
- Interpolation: Innerhalb jedes finiten Elements werden Interpolationsfunktionen – oft auf Basis von polynomen Näherungen – verwendet, um die Variationen physikalischer Eigenschaften, wie Verschiebung, Spannung, Temperatur etc., über das Element abzubilden. Diese Funktionen ermöglichen es den Ingenieuren, das kontinuierliche Verhalten der Struktur näherungsweise festzulegen.
- Montage: Bei der FEM-Analyse werden die einzelnen finiten Elemente zu einem globalen Gleichungssystem zusammengesetzt. Die Randbedingungen und aufgebrachten Lasten werden innerhalb dieses globalen Systems platziert und erzeugen so ein Abbild des Gesamtproblems.
- Lösen von Gleichungen: Das globale Gleichungssystem wird je nach Größe und Komplexität des Problems typischerweise mit numerischen Verfahren wie der Matrix-Algebra, den iterativen Solvern oder den direkten Methoden gelöst.
- Ergebnisse: Sobald die Gleichungen gelöst sind, erhalten die Ingenieure wertvolle Informationen über das Verhalten der Struktur, einschließlich Verschiebungen, Spannungen, Dehnungen und anderen relevanten physikalischen Größen. Die Ergebnisse fließen in Bemessungsergebnisse, Optimierungen und Auswertungen ein.
- Anwendungen: Finite Elemente finden Anwendung in einer Vielzahl von technischen und wissenschaftlichen Disziplinen, einschließlich Bauingenieurwesen, Statik, Maschinenbau, Luft- und Raumfahrttechnik und Materialwissenschaften. Sie unterstützen die Berechnung und Bemessung von Bauwerken, Bauteilen und Systemen, die durch unterschiedliche physikalische Kräfte und Bedingungen beansprucht werden.
- Vorteile: Zu den Vorteilen der Verwendung von Finiten Elementen in FEM-Berechnungen zählen die Möglichkeit, komplexe Geometrien, heterogene Materialien und nichtlineares Verhalten genau abzubilden. Dies bietet einen systematischen Ansatz zur Lösung von Ingenieurproblemen und ermöglicht die Untersuchung mehrerer Bemessungsszenarien.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Finite-Elemente als grundlegende Bausteine in der Finite-Elemente-Methode dienen, mit denen Ingenieure und Wissenschaftler komplexe Systeme präzise und effizient simulieren und analysieren können.