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006245

Sonja von Bloh, M.Sc.

29.09.2026

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Valeurs de section

Aire de section

On distingue l'aire de section géométrique et l'aire de section idéelle. L'aire de section géométrique correspond à la surface réelle de la section et est indépendante des propriétés du matériau. L'aire de section idéelle prend en revanche en compte les rigidités différentes des matériaux, par exemple dans le cas de sections composées.

L'aire de section idéelle est rapportée à un matériau de référence dont le module d'élasticité est E_ref :

A = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E ​ d A

Elastizitätsmodul am Flächenpunkt	Modules d’élasticité au point de surface
E_ref	Modules d’élasticité du matériau de référence

Aire de section A

L'aire de section géométrique résulte de :

A_{g e o m} = \int_{A} d A

Surface géométrique de la section A_geom

Position du centre de gravité élastique

Les coordonnées e_y et e_z décrivent la position du centre de gravité élastique par rapport à l'origine du système de coordonnées global dans la direction Y ou Z. Le centre de gravité élastique est déterminé en tenant compte des rigidités des matériaux. Ses coordonnées résultent des intégrales de surface pondérées par le module d'élasticité :

e_{y} = \frac{\int_{A} E \cdot Y ​ d A}{\int_{A} E ​ d A}

E_ref	Coordonnée Y du point de surface par rapport au point d'origine
E	Modules d’élasticité au point de surface

Position du centre de gravité élastique dans la direction y e_y par rapport au point d'origine

e_{z} = \frac{\int_{A} E \cdot Z ​ d A}{\int_{A} E ​ d A}

y	Coordonnée Z du point de surface par rapport au point d'origine
E	Modules d’élasticité au point de surface

Position du centre élastique en direction Z e_z par rapport au point d'origine

Moments d'inertie

Les moments d'inertie I_y et I_z se rapportent au système de coordonnées local y, z. L'origine du système de coordonnées local se situe au centre de gravité élastique. Ses axes sont parallèles aux axes globaux Y et Z.

I_{y} = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E \cdot {(Z - e_{z})}^{2} ​ d A

E_ref	Modules d’élasticité du matériau de référence
e_z	Position du centre de gravité élastique dans la direction z par rapport au point d'origine
E	Modules d’élasticité au point de surface
z	Coordonnée Z du point de surface par rapport au point d'origine

Moment d'inertie autour de l'Axe Y I_y

I_{z} = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E \cdot {(Y - e_{y})}^{2} ​ d A

E_ref	Module d'élasticité du matériau de référence
e_y	Position du centre de gravité élastique dans la direction y par rapport au point d'origine
E	Modules d’élasticité au point de surface
z	Coordonnée Y du point de surface par rapport au point zéro

Moment d'inertie autour de l'axe z I_z

Les moments d'inertie I_u et I_v se rapportent aux axes principaux u et v. Ces axes passent par le centre de gravité élastique et sont tournés par rapport au système de coordonnées local y, z de l'angle des axes principaux α.

I_{u} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + 4 \cdot I_{y z}^{2}}

I_y, I_z	Moment d'inertie par rapport à l'axe y ou z
I_yz	Moment centrifuge autour des axes y,z

Moment d'inertie autour de l'axe u I_u

I_{v} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + 4 \cdot I_{y z}^{2}}

I_y, I_z	Moment d'inertie autour de l'axe y ou z
I_yz	Moment centrifuge autour des axes y,z

Moment d'inertie autour de l'axe v I_v

Pour les sections composées de plusieurs sections partielles non reliées entre elles, les moments d'inertie sont sommés sans prise en compte du terme de Steiner.

Moment d'antisymétrie

Le moment d'antisymétrie I_yz se rapporte au système de coordonnées local y, z. L'origine du système de coordonnées local se situe au centre de gravité élastique. Ses axes sont parallèles aux axes globaux Y et Z.

Le moment d'antisymétrie de la section idéelle résulte de :

I_{y z} = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E \cdot (Y - e_{y}) \cdot (Z - e_{z}) ​ d A

E_ref	Modules d’élasticité du matériau de référence
E	Modules d’élasticité au point de surface
e_y, e_z	Coordonnées du centre de gravité élastique par rapport au point d'origine
Y, Z	Coordonnées du point de surface par rapport au point d'origine

Moment d'inertie centrifuge autour des axes y,z I_y,z

Moments d'inertie polaires

Le moment d'inertie polaire I_p se rapporte au centre de gravité et résulte de la somme des deux moments d'inertie principaux :

I_{p} = I_{u} + I_{v}

I_u, I_v

Moment d'inertie autour de l'axe u ou v

Moment d'inertie polaire I_p

Le moment d'inertie polaire I_p,SC se rapporte au centre de cisaillement.

I_{p, S C} = I_{p} + A \cdot (u_{S C}^{2} + v_{S C}^{2})

I_u, I_v	Moment d'inertie autour de l'axe u ou v
A	Aire de section
u_SC, v_SC	Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction u ou v

Moment d'inertie polaire de la surface par rapport au centre de cisaillement I_p,SC

Inclinaison des axes principaux

L'angle α décrit la rotation du système d'axes principaux u, v par rapport au système de coordonnées local y, z.

α = \frac{1}{2} \cdot arctan (\frac{-2 \cdot I_{y z}}{I_{y} - I_{z}})

I_yz	Moment centrifuge autour des axes y,z
I_y, I_z	Moment d'inertie autour de l'axe y ou de l'axe z

Inclinaison des axes principaux α

Rayons d'inertie

Le rayon d'inertie décrit la répartition de l'aire de section par rapport à un axe de référence. Il résulte de la racine carrée du quotient du moment d'inertie correspondant et de l'aire de section.

i_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{A}}

I_y	Moment d'inertie autour de l'axe Y
A	Aire de section

Rayon d'inertie autour de l'axe Y i_y

i_{z} = \sqrt{\frac{I_{z}}{A}}

I_z	Moment d'inertie autour de l'axe Z
A	Aire de section

Rayon d'inertie autour de l'axe Z i_z

i_{y z} = \sqrt{\frac{I_{y z}}{A}}

I_yz	Moment centrifuge par rapport aux axes y,z
A	Aire de section

Rayon d'inertie autour des axes Y, Z i_yz

i_{u} = \sqrt{\frac{I_{u}}{A}}

I_u	Moment d'inertie autour de l'axe u
A	Aire de section

Rayon d'inertie autour de l'axe u i_u

i_{v} = \sqrt{\frac{I_{v}}{A}}

I_v	moment d'inertie autour de l'axe v
A	Aire de section

Rayon d'inertie autour de l'axe v i_v

i_{p} = \sqrt{\frac{I_{p}}{A}}

I_p	Moment d'inertie polaire
A	Aire de section

Rayon de giration polaire i_p

i_{p, S C} = \sqrt{\frac{I_{p, S C}}{A}}

I_p,SC	Moment d'inertie polaire de la surface par rapport au centre de cisaillement
A	Aire de section

Rayon d'inertie polaire référencé au centre de cisaillement i_p,SC

Module de section élastique

Les modules de section élastiques W_y,min, W_y,max, W_z,min, W_z,max, W_y et W_z se rapportent au système de coordonnées local y, z. L'origine du système de coordonnées local se situe au centre de gravité élastique. Ses axes sont parallèles aux axes globaux Y et Z.

W_{y, min} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{z} \cdot z_{min} - I_{y z} \cdot y (z_{min})}

I_y, I_z	Moment d'inertie autour de l'axe y ou z
I_yz	Moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes y,z
z_min	Ordonnée minimale dans la direction z locale
y(z_min)	Coordonnée y du même point de la section correspondant à l'ordonnée z_min

Moment de résistance élastique autour de l'Axe Y W_y,min

W_{y, m a x} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{z} \cdot z_{m a x} - I_{y z} \cdot y (z_{m a x})}

I_y, I_z	Moment d'inertie autour de l'axe y ou z
I_yz	Moment centrifuge par rapport aux axes y,z
z_max	Ordonnée maximale dans la direction z locale
y(z_max)	Coordonnée y du même point de la section correspondant à l'ordonnée z_max

Moment résistant élastique autour de l'Axe Y W_y,max

W_{z, min} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{y} \cdot y_{min} - I_{y z} \cdot z (y_{min})}

I_y, Iz	Moment d'inertie par rapport à l'axe y ou z
I_yz	Moment centrifuge autour des axes y,z
y_min	Ordonnée minimale dans la direction y locale
z(y_min)	Coordonnée z du même point de la section associée à l'ordonnée y_min

Moment de résistance élastique autour de l'axe Z W_z,min

W_{z, m a x} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{y} \cdot y_{m a x} - I_{y z} \cdot z (y_{m a x})}

I_y, I_z	Moment d'inertie autour de l'axe Y ou Z
I_yz	Moment centrifuge par rapport aux axes y, z
y_max	Ordonnée maximale dans la direction y locale
z(y_max)	Coordonnée z du même point de la section appartenant à l'ordonnée y_max

Moment de résistance élastique autour de l'axe Z W_z,max

W_{y} = m i n (|W_{y, m i n}|, |W_{y, m a x}|)

W_y,min	plus grand module de section élastique négatif autour de l'Axe Y
W_y,max	Plus petit moment de résistance élastique positif autour de l'axe Y

Module de section élastique autour de l'Axe Y W_y

W_{z} = m i n (|W_{z, m i n}|, |W_{z, m a x}|)

W_z,min	plus grand moment de résistance élastique négatif autour de l'axe Z
W_z,max	plus petit module de flexion élastique autour de l'axe Z

Module de résistance élastique autour de l'axe Z W_z

Les modules de section élastiques W_u,min, W_u,max, W_v,min, W_v,max, W_u et W_v se rapportent aux axes principaux u et v.

W_{u, m i n} = \frac{I_{u}}{v_{m i n}}

I_u	Moment d'inertie autour de l'axe u
v_min	Ordonnée minimale dans la direction v

Module élastique de résistance autour de l'axe u W_u,min

W_{u, m a x} = \frac{I_{u}}{v_{m a x}}

I_u	Moment d'inertie par rapport à l'axe u
v_max	Ordonnée maximale dans la direction v

Moment résistant élastique autour de l'axe u W_u,max

W_{v, m i n} = \frac{I_{v}}{u_{m i n}}

I_v	Moment d'inertie autour de l'axe v
u_min	Ordonnée minimale dans la direction u

Module élastique de résistance autour de l'axe v W_v,min

W_{v, m a x} = \frac{I_{v}}{u_{m a x}}

I_v	Moment d'inertie autour de l'axe v
u_max	Ordonnée maximale dans la direction v

Module de résistance élastique autour de l'axe v W_v,max

W_{u} = m i n (|W_{u, m i n}|, |W_{u, m a x}|)

W_u,min	plus grand module de résistance élastique négatif autour de l'axe u
W_u,max	plus petit module de résistance élastique autour de l'axe u

Moment de résistance élastique autour de l'axe u W_u

W_{v} = m i n (|W_{v, m i n}|, |W_{v, m a x}|)

W_v,min	plus grand moment résistant élastique négatif autour de l'axe v
W_v,max	plus petit moment résistant élastique positif autour de l'axe v

Moment de résistance élastique autour de l'axe v W_v

Aires de cisaillement

Les aires de cisaillement sont déterminées à partir de la solution par éléments finis du problème de torsion de Saint-Venant. À partir de trois états unitaires calculés de la fonction de déplanation, la matrice de rigidité au cisaillement et à la torsion D est établie. Cette matrice relie la rotation de la section ainsi que les affaiblissements moyens au cisaillement au moment de torsion primaire et aux efforts tranchants :

\{\begin{matrix} M_{x p} \\ V_{y} \\ V_{z} \end{matrix}\} = D \{\begin{matrix} ϑ \\ γ_{y} \\ γ_{z} \end{matrix}\}, ϑ = \frac{d θ}{d x}

M_xp	Moment de torsion primaire
V_y, V_z	Efforts tranchants dans la direction de l'axe y ou de l'axe z
θ	Angle de torsion de la section
ϑ	Torsion par unité de longueur
γ_y, γ_z	Déformations de cisaillement moyennes

Relation entre rigidité de cisaillement et torsion

Aires de cisaillement dans le système de coordonnées local y, z

À partir des entrées diagonales D₂₂ et D₃₃ de la matrice de rigidité D, on obtient les aires de cisaillement dans le système de coordonnées local :

A_{y} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot D_{22}

G_ref	Module de cisaillement du matériau de référence
D₂₂	Coefficient de rigidité de la matrice de rigidité de cisaillement-torsion D

Aire de cisaillement en direction y

A_{z} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot D_{33}

G_ref	Module de cisaillement du matériau de référence
D₃₃	Coefficient de rigidité de la matrice de rigidité en torsion et cisaillement D

Aire de cisaillement dans la direction Z

Aires de cisaillement dans le système d'axes principaux u, v

Dans les axes principaux u, v, la composante de cisaillement transversal de la matrice de rigidité se transforme selon la relation suivante :

A_{s} = S \cdot D_{2 : 3, 2 : 3} \cdot S^{⊤}

S	Matrice de rotation
D	Matrice diagonale

Matrice des axes principaux A_s

La matrice de rotation S est définie par l'inclinaison des axes principaux α :

S = [\begin{matrix} \cos α & \sin α \\ - \sin α & \cos α \end{matrix}]

α	Inclinaison des axes principaux

Matrice de rotation S

À partir des éléments diagonaux A_s,11 et A_s,22 de la matrice transformée As, les aires de cisaillement dans le système d'axes principaux sont finalement calculées :

A_{u} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot A_{s, 11}

G_ref	Module de cisaillement du matériau de référence
A_s,11	Élément diagonal de la matrice des axes principaux A_s

Aire de cisaillement dans la direction u A_u

A_{v} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot A_{s, 22}

G_ref	Module de cisaillement du matériau de référence
A_s,22	Élément diagonal de la matrice des axes principaux A_s

Aire de cisaillement dans la direction v A_v

Position du centre de cisaillement

Le centre de cisaillement est le point du plan de la section par lequel la ligne d'action d'un effort tranchant doit passer pour qu'aucune rotation supplémentaire de la barre ne se produise. Inversement, un moment de torsion pur appliqué au centre de cisaillement entraîne une rotation sans flexion supplémentaire par effort tranchant. Par rapport au centre de cisaillement, le moment résultant des contraintes de cisaillement dues à l'effort tranchant est égal à zéro. Lorsque la matrice de rigidité cisaillement-torsion D établie dans la section précédente est rapportée au centre de cisaillement, les termes de couplage entre l'effort tranchant et la torsion disparaissent grâce à cette découplage mécanique :

D₁₂=D₂₁=0 et D₁₃=D₃₁=0

Coordonnées du centre de cisaillement dans le système de coordonnées local y, z

Les coordonnées du centre de cisaillement y_SC et z_SC sont déterminées de manière à ce que cette condition soit remplie. Les coordonnées calculées se rapportent au centre de gravité élastique de la section.

Coordonnées du centre de cisaillement dans le système d'axes principaux u, v

La transformation des coordonnées déterminées du système local y,z vers le système d'axes principaux u, v s'effectue géométriquement par l'inclinaison des axes principaux α à l'aide des équations de transformation suivantes :

u_{S C} = y_{S C} \cdot \cos (α) + z_{S C} \cdot \sin (α)

y_SC, z_SC	Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction y ou z
α	Inclinaison des axes principaux

Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction u u_SC

v_{S C} = - y_{S C} \cdot \sin (α) + z_{S C} \cdot \cos (α)

y_SC, z_SC	Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction y ou z
α	Pente des axes principaux

Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction v v_SC

Les coordonnées calculées se rapportent au centre de gravité élastique de la section.

Inertie de torsion

L'inertie de torsion I_t décrit la résistance géométrique de la section contre une rotation pure (torsion). L'inertie de torsion est déterminée à partir de la solution par éléments finis du problème de torsion de Saint-Venant. Le calcul de l'inertie de torsion s'effectue en tenant compte de la déplanation de la section (gauchissement) par la relation intégrale suivante :

I_{t} = I_{p} - \int_{A} ((Z - e_{z}) \cdot ω_{, y} - (Y - e_{y}) \cdot ω_{, z}) d A

I_p	Moment d'inertie polaire de la surface
ω_,y, ω_,z	Dérivées partielles de la fonction de gauchissement par rapport aux coordonnées locales y et z
Y, Z	Coordonnées du point de surface par rapport au point d'origine
A	Aire de section
e_y, e_z	Coordonnées du centre de gravité élastique par rapport au point d'origine

Inertie de torsion I_t

Module de section de torsion

Le module de section de torsion se calcule à partir du quotient du moment de torsion unitaire primaire M_xp=1 et de la contrainte de cisaillement de torsion maximale résultante due à la torsion libre :

W_{t} = \frac{M_{x p}}{max τ (M_{x p})}

M_xp	Moment de torsion primaire
maxτ(M_xp)	Contrainte de cisaillement maximale due au moment de torsion primaire

Module de section de torsion W_t

Pour le calcul, le maximum des valeurs de contraintes non lissées aux nœuds des éléments finis est utilisé. Dans l'affichage graphique des résultats, les contraintes sont lissées par défaut en moyennant les valeurs des éléments voisins aux nœuds communs. Des pics de contraintes locaux peuvent ainsi être réduits.

La contrainte maximale issue de l'affichage graphique des résultats peut donc différer de la contrainte déterminante pour le calcul de W_t. Un calcul inverse basé sur le maximum de contrainte affiché ne doit donc pas nécessairement donner la valeur affichée pour W_t.

Résistance au gauchissement par rapport au centre de cisaillement

La résistance au gauchissement décrit la résistance de la section contre les déformations de gauchissement. Le paramètre caractéristique de la section se calcule par l'intégrale suivante de la fonction de déplanation ω quadratique et pondérée par le matériau, par rapport au centre de cisaillement :

I_{ω} = \frac{1}{E_{ref}} \cdot \int_{A} E \cdot {ω_{S C}}^{2} d A

E_ref	Modules d’élasticité du matériau de référence
ω_SC	Ordonnée de gauchissement au point de surface par rapport au centre de cisaillement
A	Aire de section

Résistance au gauchissement rapportée au centre de cisaillement I_ω

Rayon d'inertie de gauchissement par rapport au centre de cisaillement

Le rayon d'inertie de gauchissement se calcule à partir de la résistance au gauchissement et du moment d'inertie polaire. Il est rapporté au centre de cisaillement.

i_{ω} = \sqrt{\frac{I_{ω}}{I_{p, S C}}}

I_ω	Résistance au gauchissement rapportée au centre de cisaillement
I_p,SC	Moment d'inertie polaire de la surface par rapport au centre de cisaillement

Rayon d'inertie de gauchissement rapporté au centre de cisaillement i_ω

Module de section de gauchissement par rapport au centre de cisaillement

Le module de section de gauchissement se calcule comme le quotient de la résistance au gauchissement rapportée au centre de cisaillement et de la valeur maximale de l'ordonnée de gauchissement correspondante.

W_{ω} = \frac{I_{ω}}{m a x ω}

I_ω	Résistance au gauchissement par rapport au centre de cisaillement
max ω	Ordonnée de gauchissement maximale par rapport au centre de cisaillement

Module de section de gauchissement rapporté au centre de cisaillement W_ω

Paramètre d'asymétrie de la section

Le paramètre d'asymétrie de la section prend en compte l'influence d'une géométrie de section monosymétrique ou dissymétrique sur le moment critique de déversement élastique et donc sur le comportement de déversement.

Paramètre d'asymétrie de la section par rapport au centre de gravité élastique

r_{y} = \frac{1}{I_{y} \cdot E_{r e f}} \int_{A} E \cdot (Z - e_{z}) \cdot ({(Y - e_{y})}^{2} + {(Z - e_{z})}^{2}) d A

E_ref	Module d'élasticité du matériau de référence
I_y	Moment d'inertie autour de l'axe y
A	Aire de section
E	Modules d’élasticité au point de surface
Y, Z	Coordonnées du point de surface par rapport au point d'origine
e_y, e_z	Coordonnées du centre de gravité élastique par rapport au point d'origine

Paramètre d'asymétrie de la section transversale par rapport au centre de gravité élastique r_y

r_{z} = \frac{1}{I_{z} \cdot E_{r e f}} \int_{A} E \cdot (y - e_{y}) \cdot ({(Y - e_{y})}^{2} + {(Z - e_{z})}^{2}) d A

E_ref	Modules d’élasticité du matériau de référence
I_y	Moment d'inertie autour de l'Axe Y
A	Aire de section
E	Modules d’élasticité au point de surface
Y, Z	Coordonnées du point de surface par rapport au point d'origine
e_y, e_z	Coordonnées du centre de gravité élastique par rapport au point d'origine

Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de gravité élastique r_z

r_{u} = \frac{1}{I_{u}} \cdot (r_{y} \cdot I_{y} \cdot cos α - r_{z} \cdot I_{z} \cdot sin α)

I_u	Moment d'inertie autour de l'axe u
r_y, r_z	Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de gravité élastique
I_y, I_z	Moment d'inertie par rapport à l'axe y ou axe z
α	Inclinaison des axes principaux

Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de gravité élastique r_u

r_{v} = \frac{1}{I_{v}} \cdot (r_{y} \cdot I_{y} \cdot sin α + r_{z} \cdot I_{z} \cdot cos α)

I_v	Moment d'inertie autour de l'axe v
r_y, r_z	Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de gravité élastique
I_y, I_z	Moment d'inertie autour de l'axe y ou z
α	Pente des axes principaux

Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de gravité élastique r_v

Paramètre d'asymétrie de la section par rapport au centre de cisaillement

r_{y, S C} = r_{z} - 2 \cdot y_{S C}

r_z	Paramètre d'asymétrie de la section transversale rapporté au centre de gravité élastique
y_SC	Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction y

Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de cisaillement r_y,SC

r_{z, S C} = r_{y} - 2 \cdot z_{S C}

r_y	Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de gravité élastique
z_SC	Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction z

Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de cisaillement r_z,SC

r_{u, S C} = r_{v} - 2 \cdot u_{S C}

r_v	Paramètre d'asymétrie de la section par rapport au centre de gravité élastique
u_SC	Coordonnée du centre de torsion par rapport au centre de gravité élastique dans la direction u

Paramètre d'asymétrie de la section relativement au centre de cisaillement r_u,SC

r_{v, S C} = r_{u} - 2 \cdot v_{S C}

r_u	Paramètre d'asymétrie de la section rapporté au centre de gravité élastique
v_SC	Coordonnée du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité élastique dans la direction v

Paramètre d'asymétrie de la section transversale par rapport au centre de cisaillement r_v,SC

Valeur auxiliaire pour la rotation de gauchissement par rapport au centre de cisaillement

La valeur auxiliaire pour la rotation de gauchissement est une grandeur auxiliaire décrivant la répartition du gauchissement d'une section par rapport au centre de cisaillement.

r_{ω, S C} = \frac{1}{I_{ω} \cdot E_{r e f}} \cdot \int_{A} E \cdot ω_{S C} \cdot [{(Y - e_{y} - y_{S C})}^{2} + {(Z - e_{z} - z_{S C})}^{2}] d A

I_ω	Résistance au gauchissement rapportée au centre de cisaillement
E_ref	Modules d’élasticité du matériau de référence
E	Modules d’élasticité au point de surface
ω_SC	Ordonnée de gauchissement au point de surface par rapport au centre de cisaillement
Y, Z	Coordonnées du point de surface par rapport au point d'origine
e_y, e_z	Coordonnées du centre élastique par rapport au point zéro
y_SC, z_SC	Coordonnées du centre de torsion par rapport au centre de gravité élastique
A	Aire de section

Valeur auxiliaire pour la rotation de gauchissement rapportée au centre de cisaillement r_ωSC

Modules de section plastiques

Pour la détermination des modules de section plastiques, les valeurs absolues des moments statiques de la zone en traction et de la zone comprimée, rapportés à l'axe neutre plastique, sont additionnées.

W_{p l, y} = | S_{t, y} | + | S_{c, y} |

S_t,y	Moment statique de la zone en traction par rapport à l'axe neutre plastique
S_c,y	Moment statique de la zone comprimée par rapport à l'axe neutre plastique.

Module de section plastique autour de l'Axe Y W_pl,y

W_{p l, z} = | S_{t, z} | + | S_{c, z} |

S_t,z	Moment statique de la zone en traction par rapport à l'axe neutre plastique
S_c,z	Moment statique de la zone comprimée par rapport à l'axe neutre plastique.

Module de section plastique autour de l'axe Z W_pl,z

W_{p l, u} = | S_{t, u} | + | S_{c, u} |

S_t,u	Moment statique de la zone en traction par rapport à l'axe neutre plastique
S_c,u	Moment statique de la zone comprimée par rapport à l'axe neutre plastique.

Module de section plastique autour de l'axe u W_pl,u

W_{p l, v} = | S_{t, v} | + | S_{c, v} |

S_t,v	Moment statique de la zone en traction par rapport à l'axe neutre plastique
S_c,v	Moment statique de la zone comprimée par rapport à l'axe neutre plastique.

Module de section plastique autour de l'axe v W_pl,v

Coefficient plastique de forme

Le coefficient plastique de forme décrit la réserve plastique de la section par rapport aux états limites ultimes élastiques.

α_{p l, y} = \frac{W_{p l, y}}{W_{e l, y}}

W_pl,y	Module de section plastique autour de l'Axe Y
W_el,y	Moment résistant élastique par rapport à l'axe Y

Coefficient de forme plastique autour de l'Axe Y α_pl,y

α_{p l, z} = \frac{W_{p l, z}}{W_{e l, z}}

W_pl,z	Module de section plastique autour de l'axe Z
W_el,z	Module de résistance élastique autour de l'axe Z

Coefficient de forme plastique autour de l'axe Z α_pl,z

α_{p l, u} = \frac{W_{p l, u}}{W_{e l, u}}

W_pl,u	Module de section plastique autour de l'axe u
W_el,u	Moment de résistance élastique autour de l'axe u

Coefficient plastique de forme autour de l'axe u α_pl,u

α_{p l, v} = \frac{W_{p l, v}}{W_{e l, v}}

W_pl,v	Module de section plastique autour de l'axe v
W_el,v	Module de résistance élastique autour de l'axe v

Coefficient de forme plastique autour de l'axe v α_pl,v

Position de l'axe neutre plastique

La position de l'axe neutre plastique est déterminée par l'équilibre des forces axial. Dans l'état théorique totalement plastique, les forces résultantes de traction et de compression doivent être de même valeur absolue. Elles résultent de l'intégration des limites d'élasticité respectives sur les aires de section correspondantes.

\int_{A_{t}} f_{y t} d A = \int_{A_{c}} f_{y c} d A

A_t	Aire de section sous traction
A_c	Aire de section sous compression
f_yt	Limite d'élasticité en traction
f_yc	Limite d'élasticité conventionnelle
A	Aire de section

Position de l'axe neutre plastique

Position de l'axe neutre plastique dans le système de coordonnées local y, z

Les coordonnées y_pl et z_pl décrivent la position des axes neutres plastiques par rapport au centre de gravité élastique de la section dans le système de coordonnées local y, z. La coordonnée y_pl indique la position de l'axe neutre plastique parallèle à l'axe local z. La coordonnée z_pl indique la position de l'axe neutre plastique parallèle à l'axe local y.

Position de l'axe neutre plastique dans le système d'axes principaux u, v

Les coordonnées u_pl et v_pl décrivent la position des axes neutres plastiques par rapport au centre de gravité élastique de la section dans le système d'axes principaux u, v. L'axe neutre plastique parallèle à l'axe principal v passe par la coordonnée u_pl. L'axe neutre plastique parallèle à l'axe principal u passe par la coordonnée v_pl.

Poids

Le poids décrit le poids de la section par unité de longueur. Il résulte de l'intégration du poids spécifique sur l'aire de section :

G = \int_{A} γ d A

γ	Poids spécifique
A	Aire de section

Poids G

Position du centre de gravité

Les coordonnées du centre de gravité sont indiquées par rapport au centre de gravité élastique de la section. Elles résultent des moments statiques pondérés par la densité du matériau respectif, divisés par la masse totale par unité de longueur :

y_{C G} = \frac{\int_{A} γ \cdot y d A}{\int_{A} γ d A}

γ	Poids spécifique du matériau de l'élément de surface respectif
y, z	Coordonnée y de l'élément de surface par rapport au centre de gravité élastique
A	Aire de section

Coordonnée du centre de gravité par rapport au centre de gravité élastique dans la direction y y_CG

z_{C G} = \frac{\int_{A} γ \cdot z d A}{\int_{A} γ d A}

γ	Poids spécifique du matériau de l'élément de surface respectif
y	Coordonnée z de l'élément de surface par rapport au centre de gravité élastique
A	Aire de section

Coordonnée du centre de gravité par rapport au centre de gravité élastique dans la direction Z z_CG

Surface par unité de longueur

La surface par unité de longueur décrit le périmètre extérieur de la section exposé à une action thermique directe de l'extérieur.

Solide

Le solide décrit le volume de la section par rapport à une unité de longueur. Pour une unité de longueur, il correspond à la surface de l'aire de section géométrique A_geom.

Facteur de profil

Le facteur de profil décrit le rapport de la surface de l'élément exposée au feu au volume de l'élément par unité de longueur. Le calcul s'effectue par le quotient de la surface par unité de longueur et du solide : A_m / V.

Chapitre parent

Analyse aux éléments finis