Biegedrillknicken eines Hauptträgers mit I-Profil nach EN 1993-1-1

Fachbeitrag

Dieses Beispiel wurde in der Fachliteratur [1] als Beispiel 9.5 sowie in [2] als Beispiel 8.5 behandelt. Für den betrachteten Bühnenhauptträger ist der Biegedrillknicknachweis zu führen. Es handelt sich um ein gleichförmiges Bauteil. Der Stabilitätsnachweis kann daher nach Abschnitt 6.3.3 der DIN EN 1993-1-1 erfolgen. Aufgrund der einachsigen Biegung wäre alternativ auch ein Nachweis über das Allgemeine Verfahren nach Abschnitt 6.3.4 möglich. Ergänzend soll die Ermittlung von Mcr am idealisierten Stabmodell im Rahmen der oben genannten Verfahren mit einem FEM-Modell validiert werden.

System

Profile:
Bühnenhauptträger = IPE 550
Querträger = HE-B 240
Material:
Baustahl S235 nach DIN EN 1993-1-1, Tabelle 3.1

Bild 01- System

Bemessungslasten

LF 1 Eigengewicht:
gd = 1,42 kN/m
LF 2 Nutzlast:
${\mathrm f}_{1,\mathrm d}\;=\;\frac{145,4\;\mathrm{kN}\;\cdot\;2}{4\;\mathrm m}\;=\;72,70\;\mathrm{kN}/\mathrm m$
${\mathrm f}_{2,\mathrm d}\;=\;\frac{198,5\;\mathrm{kN}\;\cdot\;2}{4\;\mathrm m}\;=\;99,25\;\mathrm{kN}/\mathrm m$

Bild 02 - Lasten

Bemessungsschnittgrößen

Bild 03 - Biegemomentenverlauf My für die Lastkombination LK1 = LF1 + LF2

Stabilitätsnachweis ohne Berücksichtigung der Querträger nach [3] Abschnitt 6.3.2

Unter Annahme einer Gabellagerung am Stabanfang und -ende wird in RF-STAHL EC3 im Rahmen des Nachweises nach [3] Abschnitt 6.3.2 ein ideales Biegedrillknickmoment Mcr von 368 kNm ermittelt. Der Nachweis nach Gleichung 6.54 ergibt sich damit zu 1,64. Der Tragsicherheitsnachweis kann somit ohne den stabilisierenden Effekt der Querträger nicht erbracht werden.

Stabilitätsnachweis mit Berücksichtigung der Querträger nach [3] Anhang BB.2.2

Die Regelungen der DIN EN 1993-1-1 Anhang BB.2.2 setzen eine kontinuierliche Drehbettung über die Trägerlänge voraus. Die vorliegende diskrete Drehbettung wird daher in eine kontinuierliche Drehbettung "verschmiert".

Ermittlung der vorhandenen kontinuierlichen Drehbettung:
Die Werte werden aus [2] übernommen und lediglich an die Notation von Anhang BB.2.2 angepasst.
Cθ,R,k = 11.823 kNm (Anteil aus Biegeverformung der Querträger)
Cθ,D,k = 359 kNm (Anteil aus Profilverformung des Hauptträgers, Anschluss am Steg ist berücksichtigt)

Umrechnung in kontinuierliche Drehbettung Cθ mit mittlerem Abstand der Querträger:
${\mathrm x}_\mathrm m\;=\;\frac{2,5\;\mathrm m\;+\;2,7\;\mathrm m}2\;=\;2,6\;\mathrm m$
${\mathrm C}_\mathrm\theta\;=\;\frac1{\left({\displaystyle\frac1{11.823}}\;+\;{\displaystyle\frac1{359}}\right)\;\cdot\;2,6}\;=\;134\;\mathrm{kNm}/\mathrm m$

Ermittlung der erforderlichen Drehbettung:
${\mathrm C}_{\mathrm\theta,\min}\;=\;\frac{{\mathrm M}_{\mathrm{pl},\mathrm k}^2}{{\mathrm{EI}}_\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm K}_\mathrm\theta\;\cdot\;{\mathrm K}_\mathrm\upsilon\;=\;\frac{65.330^2}{21.000\;\cdot\;2.670}\;\cdot\;10\;\cdot\;0,35\;=\;266,4\;\mathrm{kNm}/\mathrm m$
mit
Kυ = 0,35 für die elastische Querschnittsausnutzung
Kθ = 10 nach DIN EN 1993-1-1/NA, Tabelle BB.1

Es ist eine Abminderung von Cθ,min um (MEd / Mel,Rd)² möglich:
${\mathrm C}_{\mathrm\theta,\min}\;=\;266,4\;\ast\;\left(\frac{452,7}{521,3}\right)^2\;=\;200,9\;\mathrm{kNm}/\mathrm m$

Nachweis:
Cθ,vorh = 134 kNm/m < Cθ,min = 200,9 kNm/m

Der Nachweis in Form des Nachweises einer ausreichenden Behinderung der seitlichen Verformung des Hauptträgers nach Anhang BB.2.2 kann nicht erbracht werden.

Stabilitätsnachweis mit Berücksichtigung der Querträger nach [3] Abschnitt 6.3.4

Ermittlung der vorhandenen diskreten Drehbettung:
Die Werte werden aus [2] übernommen und lediglich an die Notation von Anhang BB.2.2 angepasst.
Cθ,R,k = 11.823 kNm (Anteil aus Biegeverformung der Querträger)
Cθ,D,k = 359 kNm (Anteil aus Profilverformung des Hauptträgers, Anschluss am Steg ist berücksichtigt)
${\mathrm C}_\mathrm\theta\;=\;\frac1{{\displaystyle\frac1{11.823}}\;+\;{\displaystyle\frac1{359}}}\;=\;348\;\mathrm{kNm}/\mathrm{rad}$

Mit dieser Drehfeder kann das statische Modell des herausgelösten Stabsatzes für den Nachweis nach Abschnitt 6.3.4 in der Maske 1.7 beschrieben werden.

Bild 04 - Drehfeder in Maske 1.7

Beim Nachweis nach 6.3.4 ermittelt ein Eigenwertlöser in RF-STAHL EC3 den Faktor αcr,op, mit dem die kleinste ideale Verzweigungslast mit Verformungen aus der Tragwerksebene erreicht wird.

Bild 05 - Von RF-STAHL EC3 ermittelter Faktor αcr,op

Den Verzweigungslastfaktor kann man in den Zwischenwerten (siehe Ergebnis-Masken) ablesen und die zugehörige Eigenform in einem separaten Fenster anzeigen. Es ergibt sich somit ein Mcr von 452,65 kNm ∙ 2,203 = 997,2 kNm.

Der Nachweis nach Gleichung 6.63 ergibt sich für die Struktur damit zu 1,01. Für die Berechnung von αcr,op wurde der Lastangriffspunkt gemäß den Detaileinstellungen destabilisierend am Obergurt angesetzt. Unter Beachtung, dass der reale Lastangriffspunkt zwischen Obergurt und Schubmittelpunkt liegt, kann die geringfügige Überschreitung ignoriert und der Nachweis als erbracht betrachtet werden.

Bild 06 - Nachweis in RF-STAHL EC3

Ermittlung von Mcr am FEM-Modell

Mit der Funktion "Stab zerlegen in Flächen" und weiteren zur Verfügung stehenden Modellierungstools lässt sich ein Flächenmodell der Struktur komfortabel und mit minimalem Zeitaufwand erzeugen. Mit Hilfe des Stabtyps "Ergebnisstab" kann das Moment My im Träger ermittelt und grafisch ausgegeben werden. Der nun noch benötigte Verzweigungslastfaktor kann mit RF-STABIL am Gesamtmodell berechnet werden.

Bild 07 - My im Träger (oben) und Verzweigungslastfaktor in RF-STABIL (unten)

Es ergibt sich mit diesem FEM-Modell ein Mcr von 447,20 kNm ∙ 2,85 = 1.274,5 kNm. Dies liegt etwas höher als das Ergebnis am Stabmodell mit entsprechenden diskreten Drehfedern. Eine noch genauere Modellierung der Anschlüsse der Querträger könnte man in Erwägung ziehen.

Literatur

[1] Kuhlmann, U.: Stahlbau-Kalender 2013 - Eurocode 3 - Anwendungsnormen, Stahl im Industrie- und Anlagenbau. Berlin: Ernst & Sohn, 2013
[2] Lindner, J.; Scheer, J.; Schmidt, H.: Stahlbauten - Erläuterungen zu DIN 18800 Teil 1 bis Teil 4. Berlin: Beuth, 1993
[3] Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; EN 1993-1-1:2010-12
[4] Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1993-1-1/NA:2015-08
[5] Schulungshandbuch EC3. Leipzig: Dlubal Software, September 2017

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