Nichtlineares Zeitverlaufsverfahren am Beispiel einer Maststruktur mit vorgespannten Seilen

Fachbeitrag

In einem System können zahlreiche Nichtlinearitäten vorhanden sein. Um diese in einer Dynamischen Analyse realitätsnah abzubilden wurde das Zusatzmodul RF-DYNAM Pro - Nichtlinearer Zeitverlauf entwickelt. Zur Anwendung des Zusatzmoduls wird im Folgenden die Vorgehensweise anhand eines Beispiels beschrieben.

System und Voruntersuchungen

Bei dem System handelt es sich um einen Mast, bestehend aus einem Rohrquerschnitt RO 355,6 x 10 mit der Stahlfestigkeit S235. Der Mast ist in der Hälfte durch zwei vorgespannte Seile abgestützt und am Fuß eingespannt. Die Vorspannung in den Seilen beträgt 100 kN.

Bild 01 - System

Bevor das Zeitverlaufsverfahren gestartet werden kann, wird eine Modalanalyse zur Untersuchung des dynamischen Verhaltens durchgeführt. Da eine Modalanalyse stets linear ist, kann die Wirkung von Seilen nicht berücksichtigt werden. Diese werden durch lineare Fachwerkstäbe ersetzt. Im Zusatzmodul RF-DYNAM Pro stehen jedoch Möglichkeiten zur Verfügung, das Verhalten von Seilen realitätsgetreuer abzubilden. Dazu wird die Funktion "Steifigkeitsänderungen" im Register "Eigenschwingungsfälle" verwendet. Mithilfe dieser Option kann die geometrische Steifigkeitsmatrix für die Ermittlung der Eigenwerte geändert werden. Für dieses Beispiel besteht demzufolge die Möglichkeit, die Vorspannung der Seile zu berücksichtigen, indem der betreffende Lastfall eingelesen wird.

Die Berücksichtigung der Vorspannung führt zu deutlich größeren Eigenfrequenzen im Vergleich zu einer Analyse ohne die Berücksichtigung der Vorspannung und damit zu einem realitätsnahen Abbild des Schwingungsverhaltens der Struktur. Die Kenntnis über die Eigenfrequenzen ist wichtig für die Umrechnung der Dämpfung, aber auch um das Verhalten der Struktur zu verstehen. Die Werte für die beiden maßgebenden Eigenformen sind wie folgt:

Eigenform Nr.Eigenkreisfrequenz ω [rad/s]Eigenfrequenz f [Hz]Effektiver Modalmassenfaktor [-]
112,9262,0570,281
681,31012,9410,345

Eingaben in RF-DYNAM Pro - Nichtlinearer Zeitverlauf

Bei der zu untersuchenden Situation handelt es sich um die Einwirkung einer horizontalen Windlast mit einer Größe von 10 kN, welche am oberen Ende des Mastes als Einzellast angreift. Die Bewegung des Windes wird in diesem Beispiel stark vereinfacht und mithilfe eines transienten Zeitdiagramms dargestellt.

Bild 02 - Zeitdiagramm in RF-DYNAM Pro

Durch die Berücksichtigung von allen Nichtlinearitäten im Zusatzmodul "Nichtlinearer Zeitverlauf" werden die Besonderheiten des Seilstabs berücksichtigt. Dies schließt den Ausfall der Seile bei Druck ein sowie die Einflussnahme der Vorspannung.

In diesem Fall wird die "Nichtlineare implizite Newmark-Analyse" gewählt. Für diesen Löser ist ein ausreichend kleiner Zeitschritt notwendig, um exakte Ergebnisse zu erzielen. Dafür kann eine Zeitschrittkonvergenzstudie durchgeführt werden. Für dieses Beispiel wurde ein Zeitschritt von 0,001 s gewählt. Kleinere Zeitschritte führen zu keinen genaueren Ergebnissen.

Des Weiteren wird die Vorspannung der Seile als "Bedingung" eingelesen. Diese soll als stationärer Zustand wirken, was bedeutet, dass die Vorspannung über den gesamten Zeitverlauf erhalten bleibt.

Als Dämpfung wird ein Lehrsches Dämpfungsmaß von 0,02 angenommen. Da für die implizite Newmark-Analyse die Vorgabe der Rayleigh-Dämpfung erforderlich ist, muss die Lehrsche Dämpfung umgewandelt werden. Dies geschieht programmintern mit Vorgabe der Eigenkreisfrequenzen der beiden dominanten Eigenformen. Dazu kommt folgende Formel zur Anwendung:

${\mathrm D}_{\mathrm i}\;=\;\frac{\mathrm\alpha}{2\;\cdot\;{\mathrm\omega}_{\mathrm i}}\;+\;\frac{\mathrm\beta\;\cdot\;{\mathrm\omega}_{\mathrm i}}2$

Auswertung der Ergebnisse

Für die Auswertung der Ergebnisse stehen zahlreiche Funktionen zur Verfügung. Zum Einen kann die Bewegung des Systems grafisch angezeigt werden, entweder für jeden gespeicherten Zeitschritt, für die Dynamische Umhüllende oder als Animation im Verlauf über die Zeit. Des Weiteren ist die Auswertung über das Zeitverlaufsdiagramm möglich, in welchem jeder beliebige Knoten oder Stab gewählt werden kann und so die Ergebnisse über die Zeit ersichtlich werden.

Für den Mast sind die Verformungen und Beschleunigungen am obersten Knoten maßgebend. Aus den Beschleunigungen kann zusätzlich der quadratische Mittelwert ermittelt werden. Diese Ergebnisse können mit den einzuhaltenden Werten verglichen werden.

Bild 03 - Auswertung im Zeitverlaufsdiagramm: Beschleunigungen

Bild 04 - Auswertung im Zeitverlaufsdiagramm: Verschiebungen

An der Normalkraft in den Seilen wird die Wirkung der Vorspannung ersichtlich. Die Normalkraft startet bei einem Wert von 87,7 kN. Dadurch bleiben beide Seile zu jeder Zeit im Zugbereich und fallen nicht aus.

Bild 05 - Auswertung im Zeitverlaufsdiagramm: Normalkräfte in den Seilen

Eine andere Möglichkeit ist der Export der Ergebnisse in Lastfälle (die Ergebnisse einzelner Zeitschritte werden exportiert) oder Ergebniskombinationen (die Ergebnisse der Dynamischen Umhüllenden werden exportiert). Mittels dieser Ergebnisse können weitere Nachweise in den Bemessungsmodulen durchgeführt werden.

Schlüsselwörter

Zeitverlauf Nichtlinear Seil Dynamik

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