Umhüllende Bemessungsschnittgrößen duktiler Stahlbetonwände nach EC 8

Einleitung

Die umhüllenden Bemessungsschnittgrößen berücksichtigen die infolge plastischer Umlagerungen und höherer Schwingungsformen möglichen Schnittgrößenverteilungen entlang der Wandhöhe. Ziel ist es, jene Schnittgrößen anzusetzen, die sich aus der Entwicklung der plastischen Gelenke und der Ausbildung des vorgesehenen duktilen Tragmechanismus ergeben können.
Dadurch wird sichergestellt, dass nichtdissipative Bereiche, also Bereiche, in denen keine gezielte plastische Energieumwandlung vorgesehen ist, und spröde Versagensmechanismen vermieden werden und die Tragstruktur die im Konzept der duktilen Bemessung vorgesehenen Energieabbauprozesse zuverlässig aufnehmen kann.

Weitere Informationen bietet das nachfolgend verlinkte Handbuch-Kapitel.

• Online-Handbücher RFEM 6 | Betonbemessung | Theoriegrundlagen | Bemessung in der Erdbebensituation | Duktile Stahlbetonwände

Ermittlung der Erdbebenbeanspruchung

Die Schnittgrößenermittlung erfolgt in der Regel mit dem linearen Antwortspektrenverfahren ([1], Abschnitt 4.3.3.3), bei dem die Schnittgrößen je Schwingungsform separat berechnet und anschließend nach SRSS oder nach CQC-Regel überlagert werden.

Das Vorgehen kann ausführlich im Beitrag im Antwortspektrenverfahren und vereinfachte Erdbebenanalysen nachvollzogen werden.

Umhüllende Bemessungsschnittgrößen

Für duktile Wände dürfen Biegemoment und Querkraft nicht unmittelbar aus der Antwortspektrenanalyse übernommen werden. Stattdessen konstruiert EC8-1 aus den Analyseergebnissen eine umhüllende Verteilung über die Wandhöhe, die absichern soll, dass sich das plastische Gelenk ausschließlich am Wandfuß bildet und die Wand nicht spröde durch Schub versagt. Für das Biegemoment geschieht dies über ein Zugkraftversatzmaß, für die Querkraft über einen Amplifikationsfaktor, der die Überfestigkeit der Biegebewehrung und den Einfluss höherer Schwingungsformen abdeckt.

Wie die Ermittlung der Umhüllenden abläuft, wird im folgenden Schritt für Schritt beispielhaft für eine Aussteifungswand gezeigt.

Gegenstand der Analyse

Tragwerksbeschreibung

Schubwandmodell mit Geometrie, statischem System und Materialeigenschaften

Betrachtet wird eine vierstöckige Aussteifungswand die der Duktilitätsklasse DCM zugeordnet ist, sodass ε = 1,5 unabhängig von der Schlankheit gilt; mit H_w/l_w = 3,75 wäre die Wand nach dem Schlankheitskriterium ohnehin als schlank einzustufen. Als Werkstoffe kommen Beton C20/25 und Betonstahl B500S(C) zum Einsatz. Betrachtet werden zwei Schnitte – der Wandfuß (x = 0,000 m) und ein Schnitt bei x = 3,375 m – für die exemplarischen aufgebrachten seismischen Lastkombinationen CO2 und CO4.
Das nachfolgende Bild zeigt die Schnittgrößenverläufe für Vz und My, die aus den Lasten hervorgehen.

Schubwandmodell mit Geometrie, statischem System und Materialeigenschaften

Momentenumhüllende im Beispiel

Das Ziel der Momentenumhüllenden ist es, eine ungewollte Plastifizierung im Wandschaft zu verhindern und sicherzustellen, dass das plastische Gelenk ausschließlich am Wandfuß entsteht. Die Konstruktion erfolgt nach [1], 5.4.2.4(5) (DCM) bzw. 5.5.2.4.1(5) (DCH) in Verbindung mit 5.4.2.4(8), Bild 5.4, und wird im Folgenden Schritt für Schritt an der Wand aus der Tragwerksbeschreibung durchgeführt.

Schritt 1: Bemessungsmomente
Ausgangspunkt sind die Momente aus den seismischen Lasten an den beiden Wandenden. Aus der Analyse ergeben sich

• am Wandfuß (x = 0) M'_Ed,0 = 3.137,86 kNm und
• am Wandkopf (x = H_w) M'_Ed,Hw = 246,70 kNm.

Schritt 2: Lineare Umhüllende
Als Nächstes wird die Gerade bestimmt, die das Bemessungsmoment am Wandfuß mit dem Bemessungsmoment am Wandkopf über die gesamte Wandhöhe H_w verbindet. Ihre Steigung beträgt:

• tan φ_M = (M'_Ed,0 − M'_Ed,Hw) / H_w

Mit den Werten der betrachteten Wand:

• tan φ_M = (3.137,86 − 246,70) kNm / 13,50 m = 214,16 kN

Schritt 3: Versatzmaß
Die Momenteneinhüllende ist vertikal um das Versatzmaß a_l zu versetzen, das gemäß [2], 9.2.1.3(2), Gl. (9.2) ermittelt werden kann.

• a_l = (z / 2) · (cot θ_z − cot α)

Dabei ist z der innere Hebelarm, θ_z die Neigung der Betondruckstrebe und α die Neigung der Schubbewehrung zur Bauteilachse. Für die betrachtete Wand ergeben sich aus der Schubbemessung z = 2.556,3 mm, θ_z = 21,80° und α = 90° (vertikale Bügel), womit folgt:

• a_l = (2.556,3 mm / 2) · (cot 21,80° − cot 90°) = 3,195 m

Schritt 4: Bilineare Momentenumhüllende
Wird diese Gerade um a_l in Richtung Wandkopf verschoben, ergibt sich nach [1], 5.4.2.4(8), Bild 5.4 die endgültige, bilineare Momentenumhüllende wie folgt.

\[
M_{Ed}(x) =
\begin{cases}
|M'_{Ed,0}| & \text{für } 0 \le x \le a_l \\[4pt]
|M'_{Ed,0}| - \tan\varphi_M \cdot (x - a_l) & \text{für } a_l < x \le H_w
\end{cases}
\]

Anschaulich bedeutet dies: Über die Strecke 0 ≤ x ≤ a_l bleibt das Bemessungsmoment konstant gleich |M'_Ed,0|; oberhalb von a_l nimmt es mit der Steigung tan φ_M linear bis zum Wandkopf ab.
Für die Beispielwand bedeutet das:
Der Schnitt am Wandfuß (x = 0,000 m) liegt innerhalb von a_l = 3,195 m, sodass dort das volle Bemessungsmoment anzusetzen ist:

• M_Ed = |M'_Ed,0| = 3.137,86 kNm.

Oberhalb lässt sich der Verlauf des Bemessungsmomentes durch die folgende Gradengleichung beschreiben.

• M_Ed = |M'_Ed,0| − tan φ_M · (x − a_l) = 3.137,86 kNm − 214,16 kN · (x − 3,195 m)

Für den Schnitt bei x = 3,375 m, der oberhalb von a_l liegt, ergibt sich:

• M_Ed = 3.137,86 kNm − 214,16 kN · (3,375 m − 3,195 m) = 3.099,31 kNm

Das nachfolgende Bild zeigt den Momentenverlauf, der sich zunächst aus den Lasten ergeben hat (blau), mit den gekennzeichneten Arbeitsschritten und den schließlich resultierenden Verlauf des umhüllenden Bemessungsmomentes (rot).

Schubwandmodell mit Geometrie, statischem System und Materialeigenschaften

Querkraftumhüllende im Beispiel

Die Querkraftbemessung duktiler Wände ist besonders kritisch, da Querkraftversagen spröde und nicht duktil ist – ein vorzeitiges Querkraftversagen würde das vorgesehene dissipative Verhalten am Wandfuß verhindern. EC8-1 schreibt deshalb eine deutliche Erhöhung der rechnerischen Erdbebenquerkräfte vor ([1], 5.4.2.4(7) für DCM bzw. 5.5.2.4.1(7) für DCH), die den Einfluss höherer Schwingungsformen und die Überfestigkeit der Biegebewehrung abdeckt. Auch dieses Vorgehen wird im Folgenden direkt an der Beispielwand durchgerechnet.

Schritt 1: Bemessungsquerkräfte
Aus der Analyse ergeben sich

• am Wandfuß V'_Ed,0 = 686,95 kN und
• am Wandkopf V'_Ed,Hw = 32,86 kN.

Schritt 2: Faktorisierung mit Vergrößerungsbeiwert
Diese Werte werden mit einem Amplifikationsfaktor ε multipliziert:

• V_Ed = ε · V'_Ed.

Dieser Faktor hängt von der Duktilitätsklasse und – bei DCH – zusätzlich von der Wandschlankheit H_w/L_w ab und enthält den Überfestigkeitsfaktor γ_Rd, der die Streuung der tatsächlichen gegenüber der bemessungsmäßigen Fließfestigkeit der Biegebewehrung abdeckt (γ_Rd = 1,0 für DCM, γ_Rd = 1,2 für DCH):

Die betrachtete Wand ist der Duktilitätsklasse DCM zugeordnet, sodass unabhängig von der Schlankheit ε = 1,5 gilt. Damit folgt für den verstärkten Bemessungswert am Wandfuß:

• V_Ed,0 = ε · V'_Ed,0 = 1,5 · 686,95 kN = 1.030,43 kN

Bei gedrungenen Wänden ist die Umhüllende damit bereits vollständig beschrieben, da die Querkraft konstant über die gesamte Wandhöhe bleibt.

Schritt 3: Bemessungsquerkraft bis H_w/3
Bei schlanken Wänden – wie im vorliegenden Beispiel, da H_w/l_w = 3,75 > 2,0 – ist zusätzlich der Verlauf über die Höhe zu konstruieren:

Bis zur Höhe H_w/3 wird die verstärkte Querkraft V_Ed,0 beibehalten.

Schritt 4: Bemessungsquerkraft am Wandkopf

Am Wandkopf wird die Bemessungsquerkraft begrenzt auf ([1], 5.4.2.4(8)):

• V_Ed,Hw = max{ ε · V'_Ed,Hw ; V_Ed,0 / 2 }

Die Begrenzung auf die Hälfte des Wandfußwerts verhindert eine übermäßige, unrealistische Querkraft am Wandkopf, wo keine plastische Gelenkzone vorliegt. Für die Beispielwand ergibt sich:

• V_Ed,Hw = max{ 1,5 · 32,86 kN ; 1.030,43 kN / 2 } = max{ 49,28 kN ; 515,21 kN } = 515,21 kN

Maßgebend ist hier also die Begrenzung auf die Hälfte des Wandfuß-Bemessungswerts, nicht der verstärkte Kopfwert selbst.

Schritt 5: Linearer Verlauf zum Wandkopf
Zwischen der Höhe H_w/3 und dem Wandkopf wird linear interpoliert ([1], 5.4.2.4(8), Bild 5.4):

• V_Ed(x) = (3/2) · (V_Ed,Hw − V_Ed,Hw/3) / H_w · x − (1/2) · (V_Ed,Hw − 3 · V_Ed,Hw/3)

Diese Interpolation wird für die beiden untersuchten Schnitte der Beispielwand jedoch nicht benötigt:
Da H_w/3 = 4,50 m beträgt und sowohl der Wandfuß (0,000 m) als auch der Schnitt bei x = 3,375 m unterhalb dieser Marke liegen, bleibt die Querkraftumhüllende dort konstant gleich dem verstärkten Wandfußwert:

• V_Ed(x) = V_Ed,0 = 1.030,43 kN

Das nachfolgende Bild zeigt den Querkraftverlauf, der sich zunächst aus den Lasten ergeben hat (grün), mit den gekennzeichneten Arbeitsschritten und den schließlich resultierenden Verlauf der umhüllenden Bemessungsquerkraft (blau).

Schubwandmodell mit Geometrie, statischem System und Materialeigenschaften

Zusammenfassung

Die normgerechte Bestimmung der umhüllenden Bemessungsschnittgrößen für Aussteifungswände nach Eurocode 8 wird durch das Add-On Betonbemessung in RFEM 6 effizient und normkonform abgedeckt: Die Umhüllung der Bemessungsmomente und -querkräfte – einschließlich Zugkraftversatz, Faktor γ_Rd und dynamischer Querkraftvergrößerung mit Faktor ε – erfolgt automatisiert auf Basis der hinterlegten Wandparameter und Duktilitätsklasse.