Berechnung des kritischen Lastfaktors für die lineare Beulanalyse

Fachbeitrag

Grundlage für den Beulnachweis nach der Methode der effektiven Breiten beziehungsweise der Methode der reduzierten Spannungen ist die Ermittlung der Verzweigungslast des Systems, nachfolgend LBA (lineare Beulanalyse) genannt. Der folgende Beitrag soll die Vorgehensweise zur analytischen Berechnung des Verzweigungslastfaktors erläutern sowie die Nutzung der FE-Methode.

Spannungsbezogene Verzweigungslastfaktoren

Für eine rein analytische Ermittlung des kritischen Lastfaktors eines Beulfeldes wird in [1] folgende Gleichung (Kap. 10, Gl. 10.6) angegeben:
$$\frac1{\alpha_{cr}}\;=\;\frac{1\;+\;\psi_x}{4\;\cdot\;\alpha_{cr,x}}\;+\;\frac{1\;+\;\psi_z}{4\;\cdot\;\alpha_{cr,z}}\;+\;\left[\left(\frac{1\;+\;\psi_x}{4\;\cdot\;\alpha_{cr,x}}\;+\;\frac{1\;+\;\psi_z}{4\;\cdot\;\alpha_{cr,z}}\right)^2\;+\;\frac{1\;-\;\psi_x}{2\;\cdot\;\alpha_{cr,x}^2}\;+\;\frac{1\;-\;\psi_z}{2\;\cdot\;\alpha_{cr,z}^2}\;+\;\frac1{\alpha_{cr,\tau}^2}\right]^{1/2}$$

Daraus ist erkennbar, dass neben den Spannungsverhältnissen auch die Verzweigungslastfaktoren getrennt für die einzelnen Spannungskomponenten ermittelt oder bekannt sein müssen. Diese kritischen Lastfaktoren können über eine Rückrechnung aus den kritischen Plattenbeulspannungen ermittelt werden. Auf die Ermittlung dieser wurde bereits in diesem Fachbeitrag eingegangen.

Für die einzelnen Spannungskomponenten ergeben sich dadurch nun folgende Beziehungen:
$$\begin{array}{l}\alpha_{cr,x}\;=\;\frac{\sigma_{cr,p,x}}{\sigma_{x,Ed}}\\\alpha_{cr,z}\;=\;\frac{\sigma_{cr,p,z}}{\sigma_{z,Ed}}\\\alpha_{cr,\tau}\;=\;\frac{\tau_{cr,p}}{\tau_{Ed}}\end{array}$$

Dieses Vorgehen eignet sich besonders für unversteifte beziehungsweise längsversteifte Beulfelder, für die entsprechende Beulwerte aus [2] oder [3] entnommen werden können.

Hilfsmittel FEM-Berechnung

Sofern ein stark versteiftes Beulfeld mit Längs- und Quersteifen vorliegt, sollte die Ermittlung der Verzweigungslast am Gesamtsystem mittels FEM-Berechnung vorgenommen werden. Als Grundlage sollte hier ein Flächenmodell angestrebt werden und sämtliche Randbedingen (zum Beispiel Lagerung der Ränder, geometrische Lage und Belastung der Steifen sowie die Randspannungen) berücksichtigt werden. Für die Ermittlung nach LBA wird elastisches Materialverhalten angesetzt. Das folgende Beispiel zeigt die Modellierung eines längsversteiften Beulfeldes in RFEM.

Bild 01 - FE-Modell eines längsversteiften Beulfeldes

Für die Ermittlung des Verzweigungslastfaktors kommt das Zusatzmodul RF-STABIL zum Einsatz. Bei der Wahl der Eigenform ist auf ein globales Systemversagen zu achten.

Bild 02 - Ergebnisse der Eigenformen

Die 1. Eigenform in diesem Beispiel zeigt globales Beulen und ist daher als maßgebend anzusehen. In einigen Fällen können aber höhere Eigenformen bemessungsrelevant werden. Somit kann der Verzweigungslastfaktor sowohl für sämtliche Spannungskomponenten als auch getrennt (nur eine Spannungskomponente je Lastfall) berechnet werden.

Einen vollständigen Beulnachweis nach der Methode der reduzierten Spannungen inklusive automatischer Eigenwertermittlung je Spannungskomponente bietet ebenfalls das Programm FE-BEUL.

Kritischer Lastfaktor im Beulnachweis

Es ergibt sich nun die Möglichkeit, entweder die einzelnen kritischen Lastfaktoren zu ermitteln und anschließend den gesamten Verzweigungslastfaktor mittels Gl. 10.6 aus [1] analytisch zu berechnen oder diesen direkt aus der FEM-Berechnung zu nutzen. In einigen Fällen ist die analytische Lösung als konservativ anzusehen. Daher bietet FE-BEUL optional folgende Auswahl.

Bild 03 - Kritischen Lastfaktor analytisch berechnen oder aus FEM-Berechnung verwenden

Literatur

[1]  Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-5: Plattenförmige Bauteile; EN 1993-1-5:2006 + AC:2009
[2]  Klöppel, K.; Scheer, J.: Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten, Band 1. Berlin: Wilhelm Ernst & Sohn, 1960
[3]  Klöppel, K.; Möller, J.: Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten, Band 2. Berlin: Wilhelm Ernst & Sohn, 1968

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