Grundlagen zur Ermittlung und Auswertung von Einflusslinien

Fachbeitrag

Einflusslinien haben durch Einzug der schnellen EDV-Systeme heute an Bedeutung verloren. Trotzdem kann es in der Phase der Vorbemessung, aber auch in der eigentlichen Erstellung der statischen Nachweise von Vorteil sein, Einflusslinien zu nutzen. Das Zusatzmodul RF-INFLUENCE erlaubt die einfache Erzeugung und Auswertung von Einflusslinien und Einflussflächen infolge einer festen Schnittgröße. In diesem Fachbeitrag sollen an einem einfachen Beispiel die Grundlagen zur Ermittlung und Auswertung von Einflusslinien beschrieben werden.

Allgemeines

Querschnittsnachweise haben als Grundlage Schnittgrößen, die in den meisten Fällen für Lasten mit bekanntem und festem Angriffspunkt ermittelt werden. Bei der Bemessung von Kranbahnen oder Straßenbrücken treten allerdings auch bewegliche Verkehrslasten auf. Die Angriffspunkte dieser Lasten sind zeitlich veränderlich.

Für die Bemessung eines Tragwerkes müssen die maximalen und minimalen Schnittgrößen sowie Lagerreaktionen bekannt sein. Zum Finden der maßgebenden Laststellungen können Einflusslinien verwendet werden.

Ermittlung der Einflusslinien

Grundlage ist wie bei der ruhenden Last die Definition eines Schnittes für den man die Schnittgrößen ermitteln möchte. Die Belastung erfolgt mit einer Einheitslast, deren Laststellung variabel ist. In Bild 01 wird vergleichend die Auswertung der Schnittgröße My für eine ruhende Last Fz bei x = 1,25m und der Einflusslinie ηMy für eine wandernde Einheitslast Fz = 1 und der Auswertungsstelle x = 1,25 m dargestellt.

Zur Ermittlung der Einflusslinie lässt man eine Einzellast über das Tragwerk "rollen" und hält für jede Laststellung den Einfluss auf den zu untersuchenden Schnitt als Ordinate η fest. Die Ordinaten können hierbei positiv und negativ sein. Hat die Ordinate den Wert η = 0, so bezeichnet man dies auch als Lastscheide. An dieser Stelle schneidet die Einflusslinie die Grundlinie. Eine an dieser Stelle aufgestellte Last hat somit keinen Einfluss auf die untersuchte Schnittgröße. In Bild 01 ist dies der Fall, sobald die Last sich direkt über einem Auflager befindet.
Verbindet man alle Endpunkte der ermittelten Ordinaten, so erhält man die Einflusslinie.

Bild 01 - Schnittgröße My und Einflusslinie für My für x = 1,25 m

Auswertung der Einflusslinien

In Bild 02 wurde im oberen Zweifeldträger die statisch wirkende Last an x = 3,50 m gesetzt. Die Einflusslinie im unteren Zweifeldträger wird weiterhin für x = 1,25 m ausgewertet. Es soll hier die Begrifflichkeit "Einfluss" verdeutlicht werden. An der Stelle x = 1,25 m ergibt sich ein Moment My = -0,12 kNm, sofern die Last Fz = 1,0 kN bei x = 3,50 m steht.

Betrachtet man nun die Einflusslinie ηMy, so steht hier bei x = 3,50 m eine Ordinate η = -0,12.

Fazit: Eine beliebige Last Fz, die an der Stelle x = 3,50 m steht, erzeugt bei x = 1,25 m ein Moment My = -0,12 ⋅ Fz. (Der Wert -0,12 ist gerundet. Der Reinwert ist -0,11507.)

Bild 02 - Schnittgröße My für P = 1 bei x = 3,50 m und Einflusslinie My für x = 1,25 m

An einem weiteren einfachen Beispiel soll in Bild 03 die Auswertung der Einflusslinie für die Lagerkraft im linken Auflager für einen Lastenzug aus zwei Einzellasten beschrieben werden. Die Einheitslast Fz = 1 erzeugt im Auflager eine Kraft von 1,0 kN. Die Ordinate η ist somit 1,0. Eine beliebige Last P erzeugt also im Auflager die Kraft P ⋅ η. Sind mehrere Lasten vorhanden, so erzeugt jede einzelne Last Pi im Auflager eine Kraft Pi ⋅ ηi.

Die Auflagerkraft ergibt sich dann zu:

$\mathrm A\;=\;\sum_{\mathrm i\;=\;1}^{\mathrm i\;=\;\mathrm n}{\mathrm P}_\mathrm i\;{\mathrm\eta}_\mathrm i$

Beispiel aus Bild 03:

$\mathrm A\;=\;10\;\mathrm{kN}\;\cdot\;1,0\;+\;20\;\cdot\;0,6345\;=\;22,69\;\mathrm{kN}$

Zur Ermittlung einer maximalen Auflagerlast muss der Lastenzug in den positiven Bereich der Einflusslinie gestellt werden. Soll das Minimum ermittelt werden, muss man den Lastenzug dementsprechend in den negativen Bereich stellen.

Prinizipiell gilt: Um einen Extremwert zu finden, stellt man die größte Last direkt über die Spitze der Einflusslinie. Die grafische Darstellung der Einflusslinie über RF-INFLUENCE ist hier hilfreich.

Bild 03 - Auflagerreaktionen für Lastzug und Einflusslinie für linkes Auflager

Zusammenfassung

Einflusslinien werden verwendet, um Extremwerte von Auflagerkräften und Schnittgrößen beweglicher Belastungen zu finden.

Die Form der Einflusslinie lässt Rückschlüsse auf die maßgebende Belastung zu, um am untersuchten Schnitt für die entsprechende Schnittgröße einen Grenzwert zu finden.

Die Einflusslinie wird zwar über die gesamte Länge des zu untersuchenden Bauteils angezeigt, aber alle angegebenen Ordinaten η beschreiben den Einfluss auf eine statische Größe an nur einer Stelle des Trägers.

RF-INFLUENCE ist das Werkzeug, um Einflusslinien von Stäben und Einflussflächen von Flächen für Schnittgrößen, Auflagerkräfte und Verformungen zu bestimmen.

Schlüsselwörter

einflusslinie extremwert

Literatur

[1]   Bochman, F.: Statik im Bauwesen - Band 3: Statisch unbestimmte ebene Systeme, 11. Auflage. Berlin: Verlag für Bauwesen, 1995

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