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13. September 2024

VE0065 | Zweischichtiger dickwandiger Behälter

Beschreibung

Ein zweischichtiger, dickwandiger Behälter wird durch Innen- und Außendruck belastet. Der Behälter ist offen, daher tritt keine axiale Spannung (Längsspannung) auf. Das Problem wird als Viertelmodell abgebildet. Bestimmen Sie die radiale Verformung des Innen- und Außenradius u_r(r₁), u_r(r₂), sowie den Druck (Radialspannung) im mittleren Radius p_m. Das Eigengewicht wird vernachlässigt.

Material	Innenbehälter	Elastizitätsmodul	E₁	1.000	MPa
	Innenbehälter	Querdehnzahl	ν	0.250	-
	Außenbehälter	Elastizitätsmodul	E₂	0.500	MPa
	Außenbehälter	Querdehnzahl	ν	0.250	-
Geometrie		Innenradius	r₁	200.000	mm
		Mittlerer Radius	r_m	250.000	mm
		Außenradius	r₂	300.000	mm
Belastung		Innendruck	p₁	60.000	kPa
Belastung		Außendruck	p₂	10.000	kPa

Zweischichtiger, dickwandiger Behälter

Analytische Lösung

Die analytische Lösung des vorliegenden Problems erfolgt analog zur analytischen Lösung von VE0064 – Dickwandiger Behälter. Die radiale Verformung des mittleren Radius sowohl des Innen- als auch des Außenbehälters kann mithilfe der folgenden Gleichungen berechnet werden.

VE0064 | Dickwandiger Behälter

u_{r} (r_{m}) = \frac{r_{m}}{E_{1}} [K_{1} + \frac{C_{1}}{r_{m}^{2}} - ν (K_{1} - \frac{C_{1}}{r_{m}^{2}})]

u_{r} (r_{m}) = \frac{r_{m}}{E_{2}} [K_{2} + \frac{C_{2}}{r_{m}^{2}} - ν (K_{2} - \frac{C_{2}}{r_{m}^{2}})]

Radiale Durchbiegung des mittleren Radius des inneren und äußeren Behälters

Die Konstanten K₁, C₁, K₂ und C₂ werden anschließend für jeden Behälter aus den entsprechenden Radien und Randdrücken berechnet. Mithilfe dieser Gleichungen kann der Druck in der Kontaktfläche p_m

bestimmt werden.

p_{m} = \frac{2 (E_{1} p_{2} r_{2}^{2} (r_{1}^{2} - r_{m}^{2}) + E_{2} p_{1} r_{1}^{2} (r_{m}^{2} - r_{2}^{2}))}{E_{2} (r_{2}^{2} - r_{m}^{2}) ((1 + ν) r_{1}^{2} + (1 - ν) r_{m}^{2}) + E_{1} (r_{m}^{2} - r_{1}^{2}) ((1 + ν) r_{2}^{2} + (1 - ν) r_{m}^{2})}

Druck in Fuge

Daraus wiederum können die Radialverschiebungen u_r(r₁), u_r(r₂) berechnet werden.

u_{r} (r_{1}) = \frac{r_{1}}{E_{1}} (K_{1} + \frac{C_{1}}{r_{1}^{2}} - ν (K_{1} - \frac{C_{1}}{r_{1}^{2}}))

u_{r} (r_{2}) = \frac{r_{2}}{E_{2}} (K_{2} + \frac{C_{2}}{r_{2}^{2}} - ν (K_{2} - \frac{C_{2}}{r_{2}^{2}}))

Radialverschiebung des Innen- und Außenradius

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.06 und RFEM 6.06
Die Elementgröße ist l_FE = 2.000 mm
Es wird ein isotropes linear-elastisches Materialmodell verwendet.

Ergebnisse

RFEM 6-Ergebnisse – Gesamtdurchbiegung

Größe	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RFEM 5	Verhältnis
p_m [kPa]	21.655	21.663	1.000	21.648	1.000
u_r(r₁) [mm]	33.605	33.602	1.000	33.605	1.000
u_r(r₂) [mm]	27.287	27.283	1.000	27.287	1.000

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Verifikationsbeispiel 000065 | 1

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