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29. März 2021

Vereinfachter Schwingungsnachweis für EC 5

Mit dem Zusatzmodul RF-/HOLZ Pro ist es möglich, für die Bemessung nach EN 1995-1-1 den aus der DIN 1052 bekannten Schwingungsnachweis zu führen. Dieser besagt, dass unter ständiger und quasi-ständiger Einwirkung die Durchbiegung am ideellen Einfeldträger einen Grenzwert (nach DIN 1052 6 mm) nicht überschreiten darf. Wenn man den Zusammenhang zwischen Eigenfrequenz und Durchbiegung für einen mit konstanter Streckenlast belasteten, gelenkigen Einfeldträger berücksichtigt, so resultiert aus den 6 mm eine Mindesteigenfrequenz von zirka 7,2 Hz.

f_{e} = \frac{π}{2 \cdot l^{2}} \cdot \sqrt{\frac{EI}{m}} \Rightarrow \frac{EI}{m \cdot l^{4}} = \frac{f_{e}^{2} \cdot 4}{π^{2}}

f_e	Eigenfrequenz
l	Länge des Trägers
EI	Biegesteifigkeit des Trägers
m	Modale Masse

Eigenfrequenz eines Einfeldträgers mit konstanter Last

w = \frac{5 \cdot m \cdot g \cdot l^{4}}{384 \cdot EI} \Rightarrow \frac{EI}{m \cdot l^{4}} = \frac{5 \cdot g}{384 \cdot w}

w	Durchbiegung
l	Länge des Trägers
m	Modale Masse
g	Erdbeschleunigung

Durchbiegung eines Einfeldträgers mit konstanter Last

Werden beide Gleichungen gleichgesetzt, ergibt sich bei einer Verformung von 6mm die Eigenfrequenz von 7,2 Hz.

\frac{f_{e}^{2} \cdot 4}{π^{2}} = \frac{5 \cdot g}{384 \cdot w}

f_{e, \min, DIN} = \frac{5}{\sqrt{0.8 \cdot w}} = \frac{5}{\sqrt{0.8 \cdot 0, 6}} = 7, 2 Hz

f_e,min,DIN	Mindest-Eigenfrequenz gemäß DIN 1052
w	Durchbiegung
g	Erdbeschleunigung

Mindest-Eigenfrequenz gemäß DIN 1052

Berücksichtigt man die Tatsache, dass in den meisten Nationalen Anwendungsdokumenten des EC 5 eine Mindesteigenfrequenz von 8,00 Hz zu berücksichtigen ist, so ergibt sich für vorhin genanntes System eine maximale Durchbiegung von etwa 5 mm.

f_{e, \min, EC 5} = \frac{5}{\sqrt{0.8 \cdot w}} = \frac{5}{\sqrt{0.8 \cdot 0, 5}} = 8 Hz

f_e,min,EC5	Mindest-Eigenfrequenz gemäß EN 1995-1-1
w	Durchbiegung

Mindest-Eigenfrequenz gemäß EN 1995-1-1

Weicht das statische System von einem gelenkigen Einfeldträger ab (zum Beispiel Durchlaufträger, Kragarme, Einspannungen), so ist dies bei der Durchbiegungsbegrenzung entsprechend zu berücksichtigen.

Beispiel:

Dreifeldträger

Untersucht wird ein Dreifeldträger in einem Wohnhaus. Um ein Unbehagen, welches durch Personen verursacht wird, zu vermeiden soll das System eine Mindesteigenfrequenz von 8 Hz aufweisen. Um diese in RF-/HOLZ Pro zu berücksichtigen, kann mit Hilfe der Formel für Dreifeldträger (siehe PDF-Dokument unten) die maximal erlaubte Durchbiegung des Mittelfeldes ermittelt werden.

w_{\max, 8 Hz} \approx - k_{f}^{2} \cdot \frac{63 \cdot l^{2} \cdot (12 \cdot l_{k}^{3} - 10 \cdot l_{k} \cdot l^{2} - 3 \cdot l^{3})}{f_{e, 8 Hz}^{2} \cdot l_{k}^{4} \cdot (2 \cdot l_{k} + 3 \cdot l)} = - 1, 00 mm

w_max,8Hz	Grenzdurchbiegung um 8 Hz zu erreichen
k_f	Korrekturfaktor (siehe PDF Datei)
l	Länge des mittleren Feldes
l_k	Länge der äußeren Felder
f_e,8Hz	Mindest-Eigenfrequenz

Grenzdurchbiegung

In diesem Fall darf sich das mittlere Feld um -1 mm verformen, um das Frequenzkriterium einzuhalten. Die tatsächliche Durchbiegung unter ständiger Last (2,1 kN/m) ergibt sich zu -0,683 mm. Somit ist der Nachweis der Eigenfrequenz eingehalten und die Eigenfrequenz des Trägers größer als 8 Hz. Eine Kontrollrechnung ergibt eine Eigenfrequenz von 9,76 Hz.

f_{e} \approx - k_{f} \cdot \sqrt{\frac{63 \cdot l^{2} \cdot (12 \cdot l_{k}^{3} - 10 \cdot l_{k} \cdot l^{2} - 3 \cdot l^{3})}{w_{0, 0683 cm} \cdot l_{k}^{4} \cdot (2 \cdot l_{k} + 3 \cdot l)}} = 9, 76 Hz

Eigenfrequenz

Die genauere Berechnung mit dem Zusatzmodul RF-/DYNAM Pro – Eigenschwingungen ergibt eine Eigenfrequenz von 9,86 Hz. Die Vorgehensweise kann dem Video entnommen werden.

Ergänzend ist zu sagen, dass beim Schwingungsnachweis von Wohnungsdecken weitere Nachweise (Steifigkeitskriterium, Schwinggeschwindigkeit, Schwingbeschleunigung zu führen sind. Hinweise sind in z. B. in [1] oder [2] zu finden.

Autor

Herr Rehm engagiert sich in der Entwicklung im Bereich Holzbau und im Kundensupport.

Links

Holzbau-Statik-Software

Referenzen

Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1:2010-12
Winter, S.; Hamm, P.; Richter, A.: Schwingungs- und Dämpfungsverhalten von Holz- und Holz-Beton-Verbunddecken. Schlussbericht Juli 2010. München: TU München, Lehrstuhl für Holzbau und Baukonstruktion, 2010

Downloads

Begrenzung der Durchbiegung (PDF)

7,04 MB

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