Berechnungsbeispiel eines biegesteifen Stirnplattenanschlusses nach EN 1993-1-8

Fachbeitrag

In diesem Beispiel soll nur die Tragfähigkeit der Stirnplatte nach EN 1993-1-8 [1] ermittelt werden, auf die übrigen Komponenten wird hierbei nicht eingegangen. Für die Kontrolle der Ergebnisse wurden die Abmessungen des Anschlusses IH 3.1 B 30 24 der Typisierten Anschlüsse [2] verwendet. Als Material wird S 235 verwendet und Schrauben mit der Festigkeit 10.9.

Bild 01 - Berechnungsbeispiel

Ermittlung der effektiven Längen

Zunächst müssen die effektiven Längen der Stummelflansche gemäß Tabelle 6.6 ermittelt werden. Die unterste Schraubenreihe trägt infolge des sehr geringen Hebelarmes zum Druckflansch kaum etwas bei und wird daher vernachlässigt. Da die beiden oberen Schraubenreihen durch den Trägerzugflansch geteilt sind, müssen hierbei nur die Schraubenreihen einzeln betrachtet werden. Ein Gruppenversagen der Schraubenreihen kann daher nicht auftreten. Für die Berechnung der effektiven Längen benötigt man die Parameter e, m, ex, mx, m2, bp, w.

Bild 02 - Parameter für effektive Längen (Quelle: [1])

In diesem Beispiel ergeben sich folgende Werte:
$\begin{array}{l}\mathrm e\;=\;75\;\mathrm{mm}\\\mathrm m\;=\;\frac{300\;-\;13,5}2\;-\;0,8\;\cdot\;\sqrt2\;=\;62,6\;\mathrm{mm}\\{\mathrm e}_\mathrm x\;=\;35\;\mathrm{mm}\\{\mathrm m}_\mathrm x\;=\;50\;-\;0,8\;\cdot\;9\;\cdot\;\sqrt2\;=\;39,8\;\mathrm{mm}\\{\mathrm m}_2\;=\;125\;-\;50\;-\;24\;-\;0,8\;\cdot\;9\;\cdot\;\sqrt2\;=\;40,8\;\mathrm{mm}\\{\mathrm b}_\mathrm p\;=\;300\;\mathrm{mm}\\\mathrm w\;=\;150\;\mathrm{mm}\end{array}$

Bei den wirksamen Längen wird zwischen kreisförmigem und nicht-kreisförmigem Fließlinienmuster unterschieden. Für das lineare Fließlinienmuster wird der Wert α aus Bild 6.11 benötigt. Als Eingangswerte dafür werden die Verhältnisse der Hebelarme zum Trägersteg (λ1) beziehungsweise zum Trägerflansch (λ2) zur Gesamtbreite des T-Stummelflansches benötigt. Die Werte für α zwischen zwei Diagrammen in Bild 6.11 dürfen linear interpoliert werden.

$\begin{array}{l}{\mathrm\lambda}_1\;=\;\frac{62,6}{62,6\;+\;75}\;=\;0,45\\{\mathrm\lambda}_2\;=\;\frac{40,8}{62,6\;+\;75}\;=\;0,30\\\mathrm\alpha\;\approx\;6,65\end{array}$

Bild 03 - Ermittlung α-Wert (Quelle: [1])

Mit diesen Eingangswerten ermitteln sich die effektiven Längen nach Tabelle 6.6 wie folgt.

Kreisförmiges Fließlinienmuster für die äußere Schraubenreihe:
${\mathrm l}_{\mathrm{eff},\mathrm{cp},\mathrm a}\;=\;\min\;\begin{Bmatrix}2\;\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;39,8\\\mathrm\pi\;\cdot\;39,8\;+\;150\\\mathrm\pi\;\cdot\;39,8\;+\;2\;\cdot\;75\end{Bmatrix}\;=\;250,1\;\mathrm{mm}$

Kreisförmiges Fließlinienmuster für die innere Schraubenreihe:
leff,cp,i = 2 ∙ π ∙ 62,6 = 393,3 mm

Nicht kreisförmiges Fließlinienmuster für die äußere Schraubenreihe:
${\mathrm l}_{\mathrm{eff},\mathrm{nc},\mathrm a}\;=\;\min\;\begin{Bmatrix}4\;\cdot\;39,8\;+\;1,25\;\cdot\;35\\75\;+\;2\;\cdot\;39,8\;+\;0,625\;\cdot\;35\\0,5\;\cdot\;300\\0,5\;\cdot\;150\;+\;2\;\cdot\;39,8\;+\;0,625\;\cdot\;35\end{Bmatrix}\;=\;150,0\;\mathrm{mm}$

Nicht kreisförmiges Fließlinienmuster für die innere Schraubenreihe:
leff,nc,i = 6,65 ∙ 62,6 = 416,3 mm

Für die Ermittlung der Tragfähigkeit im Versagensmodus 1, also bei reinem Flanschfließen, wird die geringere Länge beider Fließlinienmuster angesetzt. Bei der Ermittlung der Tragfähigkeit im Versagensmodus 2, also Schraubenversagen mit gleichzeitigem Flanschfließen, kann nur ein nicht kreisförmiges Fließlinienmuster auftreten.

Somit ergeben sich folgende effektiven Längen.

Äußere Schraubenreihe:
leff,1,a = 150 mm
leff,2,a = 150 mm

Innere Schraubenreihe:
leff1,i = 393,3 mm
leff2,i = 416,3 mm

Überprüfung, ob Abstützkräfte auftreten können

Bevor die Tragfähigkeit der Stirnplatte im Versagensmodus 1 ermittelt wird, muss überprüft werden, ob sich Abstützkräfte einstellen können. Da sich damit wesentlich höhere Tragfähigkeiten erzielen lassen, sollten die Abmessungen und die Dicke des Klemmpakets stets so gewählt beziehungsweise verändert werden, dass die Gleichung Lb < Lb* erfüllt wird. Dabei ist Lb die Dehnlänge der Schraube, angesetzt mit der gesamten Klemmlänge (Gesamtdicke des Blechpakets und der Unterlegscheiben), plus der halben Kopfhöhe und der halben Mutternhöhe.

${\mathrm L}_\mathrm b\ast\;=\;\frac{8,8\;\cdot\;\mathrm m^3\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm s}{{\mathrm l}_{\mathrm{eff}1}\;\cdot\;{\mathrm t}_\mathrm f³}$

Die Klemmlänge ergibt sich in diesem Beispiel unter der Annahme, dass ein symmetrischer Trägerstoß angewandt wird, zu:
Lb = 2 ∙ 25 + 2 ∙ 4 + 0,5 ∙ 19 + 0,5 ∙ 15 = 75 mm

Lb* muss separat für die äußere und innere Schraubenreihe ermittelt werden.

Äußere Schraubenreihe:
${\mathrm L}_\mathrm b\ast\;=\;\frac{8,8\;\cdot\;39,8^3\;\cdot\;353}{150\;\cdot\;25³}\;=\;83,6\;\mathrm{mm}$

Innere Schraubenreihe:
${\mathrm L}_\mathrm b\ast\;=\;\frac{8,8\;\cdot\;62,6^3\;\cdot\;353}{393,3\;\cdot\;25³}\;=\;124\;\mathrm{mm}$

In beiden Schraubenreihen können somit Abstützkräfte auftreten.

Tragfähigkeit der T-Stummelflansche

Für den Versagensmodus "Vollständiges Fließen des Flansches" wird in diesem Beispiel das Verfahren 1 der EN 1993-1-8 angewandt. Dabei wird die Zugtragfähigkeit beider T-Stummelflansche wie folgt ermittelt.

$\begin{array}{l}{\mathrm F}_{\mathrm T,1,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{4\;\cdot\;{\mathrm M}_{\mathrm{pl},1,\mathrm{Rd}}}{\mathrm m}\\\mathrm{mit}\\{\mathrm M}_{\mathrm{pl},1,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{0,25\;\cdot\;{\mathrm l}_{\mathrm{eff},1}\;\cdot\;{\mathrm t}_\mathrm f²\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M0}}\\\mathrm m\;=\;39,8\;\mathrm{mm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{äußere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\\mathrm m\;=\;62,6\;\mathrm{mm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{innere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\\\{\mathrm M}_{\mathrm{pl},1,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{0,25\;\cdot\;15,0\;\cdot\;2,52\;\cdot\;23,5}{1,0}\;=\;550,78\;\mathrm{kNcm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{äußere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\{\mathrm M}_{\mathrm{pl},1,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{0,25\;\cdot\;39,33\;\cdot\;2,52\;\cdot\;23,5}{1,0}\;=\;1.444,15\;\mathrm{kNcm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{innere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\{\mathrm F}_{\mathrm T,1,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{4\;\cdot\;550,78}{3,98}\;=\;553,55\;\mathrm{kN}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{äußere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\{\mathrm F}_{\mathrm T,1,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{4\;\cdot\;1.444,15}{6,26}\;=\;922,78\;\mathrm{kN}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{innere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\end{array}$

Versagensmodus "Schraubenversagen mit gleichzeitigem Flanschfließen":

$\begin{array}{l}{\mathrm F}_{\mathrm T,2,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{2\;\cdot\;{\mathrm M}_{\mathrm{pl},2,\mathrm{Rd}}\;+\;\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm{ΣF}}_{\mathrm t,\mathrm{Rd}}}{\mathrm m\;+\;\mathrm n}\\\mathrm{mit}\\{\mathrm M}_{\mathrm{pl},2,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{0,25\;\cdot\;{\mathrm l}_{\mathrm{eff},2}\;\cdot\;{\mathrm t}_\mathrm f²\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm y}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M0}}\\{\mathrm{ΣF}}_{\mathrm t,\mathrm{Rd}}\;=\;\mathrm{ΣZugtragfähigkeiten}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Schrauben}\\\mathrm n\;=\;{\mathrm e}_\min\;<\;1,25\;\cdot\;\mathrm m\\{\mathrm e}_\min\;=\;35\;\mathrm{mm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{äußere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\{\mathrm e}_\min\;=\;75\;\mathrm{mm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{innere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\\mathrm m\;=\;39,8\;\mathrm{mm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{äußere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\\mathrm m\;=\;62,6\;\mathrm{mm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{innere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\\\{\mathrm{ΣF}}_{\mathrm t,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{2\;\cdot\;{\mathrm k}_2\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm{ub}\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm S}{{\mathrm\gamma}_{\mathrm M2}}\;=\;\frac{2\;\cdot\;0,9\;\cdot\;100\;\cdot\;3,53}{1,25}\;=\;508,32\;\mathrm{kN}\\\mathrm{Die}\;\mathrm{Durchstanzkraft}\;\mathrm{wurde}\;\mathrm{überprüft},\;\mathrm{ist}\;\mathrm{aber}\;\mathrm{nicht}\;\mathrm{maßgebend}.\\\\{\mathrm M}_{\mathrm{pl},2,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{0,25\;\cdot\;15,0\;\cdot\;2,52\;\cdot\;23,5}{1,0}\;=\;550,78\;\mathrm{kNcm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{äußere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\{\mathrm M}_{\mathrm{pl},2,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{0,25\;\cdot\;41,63\;\cdot\;2,52\;\cdot\;23,5}{1,0}\;=\;1.528,60\;\mathrm{kNcm}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{innere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\{\mathrm F}_{\mathrm T,2,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{2\;\cdot\;550,78\;+\;3,5\;\cdot\;508,32}{3,98\;+\;3,5}\;=\;385,12\;\mathrm{kN}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{äußere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\\{\mathrm F}_{\mathrm T,2,\mathrm{Rd}}\;=\;\frac{2\;\cdot\;1.528,60\;+\;7,5\;\cdot\;508,32}{6,26\;+\;7,5}\;=\;499,24\;\mathrm{kN}\;\mathrm{für}\;\mathrm{die}\;\mathrm{innere}\;\mathrm{Schraubenreihe}\end{array}$

Maßgebende Tragfähigkeit der T-Stummelflansche

Für beide Schraubenreihen wird der Versagensmodus 2 maßgebend.

Äußere Schraubenreihe: 385,12 kN

Innere Schraubenreihe: 499,24 kN

Momententragfähigkeit des Anschlusses

Die ermittelten Tragfähigkeiten der einzelnen Schraubenreihen müssen nun nur noch mit dem jeweiligen Helbelarm zum Druckpunkt multipliziert werden.

Die Hebelarme betragen
438 mm für die äußere Schraubenreihe,
313 mm für die innere Schraubenreihe.

Somit ergibt sich die Tragfähigkeit des Anschlusses zu
MRd = 385,12 ∙ 0,438 + 499,24 ∙ 0,313 = 324,95 kNm.

Bild 04 - Tragfähigkeiten der Schraubenreihen und zugehörige Hebelarme

Vergleich der Ergebnisse

Berechnet man diesen Anschluss als biegesteife Rahmenecke in RF-/RAHMECK Pro, so erhält man dort eine Tragfähigkeit der Stirnplatte von 319,79 kNm. Laut den Typisierten Anschlüssen [2] beträgt die Tragfähigkeit 331,3 kNm, was relativ genau mit der Handrechnung übereinstimmt.

Bild 05 - Tragfähigkeit in RF-/RAHMECK Pro

Literatur

[1] Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-8: Bemessung von Anschlüssen; EN 1993-1-8:2005 + AC:2009
[2] Weynand, K.; Oerder, R.: Typisierte Anschlüsse im Stahlhochbau nach DIN EN 1993-1-8. Düsseldorf: Stahlbau, 2013

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