Berechnung und Bewehrung von wandartigen Trägern mit RFEM6

1. Eingabedaten

1.1 Geometrie

Trägerlänge: l = 5.50 m
Höhe des Trägers h = 3.50 m
Breite des Trägers b = 0.30 m
Abmessungen der Stütze b = 0.50 m
Stützweite: l = 5.50 m

1.2 Belastung

Ständige Last (g_k):
\(
g_{\mathrm{k}} = 0,3 \cdot 3,5 \cdot 25 = 26,25 \; \mathrm{kN/m}
\)

Veränderliche Last (q_k):
\(
q_{\mathrm{k}} = 150 kN/m
\)

1.3 Materialien

• Beton: C20/25:

f_ck: 20 N/mm²
f_cd: 11.33 N/mm²

• Betonstahl: B500S(A)

f_yk = 500.0 N/mm²
f_yd = 434.8 N/mm²

2.Entwurf eines Stabwerkmodells

Der Kraftfluss im Bauteil ist wichtig für den Entwurf von Stabwerkmodellen. In Tragwerken aus ungerissenem Beton wird der Kraftfluss durch Resultierende dargestellt, die gerade Spannungsfelder bilden. Dies führt zu einem Fachwerk aus Druck- und Zugspannungen, bei dem an den Knotenpunkten die Richtung der Kräfte geändert wird. Diese Annahme basiert auf einem homogen-elastischen Materialverhalten. Da Beton jedoch eine geringere Zugfestigkeit als Druckfestigkeit aufweist, entstehen bei kleinen Belastungen Risse. Sobald Zugspannungen auftreten, würden die idealisierten Zugstäbe bei Rissen versagen und das Fachwerk seine Tragfähigkeit verlieren. Um die Tragfähigkeit zu sichern, muss an den entsprechenden Stellen Bewehrung eingelegt werden, die die Zugkräfte aufnehmen kann.
Für die Modellierung des Stabwerks werden Linienlasten vereinfacht als Einzellasten dargestellt, da in einem Fachwerkmodell nur Einzellasten berücksichtigt werden können:

3. Berechnung nach DAfStb Heft 631

3.1 Näherungsverfahren nach DAfStb Heft 631

Für die Anwendung des Näherungsverfahrens nach DAfStb Heft 631 [1] wird das Biegemoment für den wandartigen Einfeldträger gemäß der Balkenstatik berechnet:
\(
M_{\mathrm{F}} = \frac{(g_{\mathrm{ed}} + q_{\mathrm{ed}}) \cdot l^2}{8} = \frac{260,0 \cdot 5,0^2}{8} = 812,5 \; \mathrm{kNm}
\)

Der innere Hebelarm \( z_{\mathrm{f}} \) kann für Einfeldträger mit einem Verhältnis von 1/3 < \( \frac{h}{l} = \frac{3,5}{5,0} = 0,7 \) > 1,0 wie folgt berechnet:

\(
z_{\mathrm{f}} = 0,3 \cdot \left(3,5 - \frac{3,5}{5}\right) = 2,42 \; \mathrm{m}
\)

Da der Wert von \( z_{\mathrm{f}} \) geringer als der theoretische Wert nach Balkenstatik \( z \approx 0,9 \cdot h \) (mit \( z \approx 2,80 \; \mathrm{m} \)) ist, wird der Wert von \( z_{\mathrm{f}} \) für die Berechnung verwendet.

Die resultierende Längszugkraft \( F_{\mathrm{s,F}} \) wird mit dem Biegemoment und dem Hebelarm berechnet:

\(
F_{\mathrm{s,F}} = \frac{M_{\mathrm{F}}}{z_{\mathrm{f}}} = \frac{812,5}{2,42} = 335,7 \; \mathrm{kN}
\)

Zur Berechnung der erforderlichen Bewehrung wird die resultierende Längszugkraft \( F_{\mathrm{s,F}} \) durch die Festigkeit der Bewehrung \( f_{\mathrm{yd}} \) geteilt:
\(
A_{\mathrm{s,erf}} = \frac{F_{\mathrm{s,F}}}{f_{\mathrm{yd}}} = \frac{335,7 \; \mathrm{kN}}{43,5 \; \mathrm{kN/cm}^2} = 7,7 \; \mathrm{cm}^2
\)

3.2 Scheibentheorie nach DAfStb Heft 631

Im Gegensatz zum Näherungsverfahren gemäß DAfStb Heft 631 erfolgt bei der Berechnung der resultierenden Zugkraft unter Anwendung der Scheibentheorie nicht die Bestimmung des inneren Hebelarms. Stattdessen wird die resultierende Zugkraft direkt aus dem statischen System und der Belastung abgeleitet. Zur Bestimmung dieser Kräfte werden für Einfeldträger verschiedene Tabellen herangezogen, die in der folgenden Abbildung dargestellt sind:

Die Berechnung erfolgt nach den folgenden Parametern:

• Statisches System: Einfeldträger → Tabelle 4.2 Heft 631
• Belastung: Gleichstreckenlast
• Verhältnis \( \frac{h}{l} \): \(\frac{h}{l} = \frac{3,5}{5,0} = 0,7\)

• Verhältnis \( \frac{c}{l} \): \(\frac{c}{l} = \frac{0,5}{5,0} = 0,1\)

Ablesung aus Tabelle 4.12:
\(
\frac{F_{\mathrm{s,F}}}{F_{\mathrm{E}}} = \frac{F_{\mathrm{s,F}}}{(g_{\mathrm{Ed}} + q_{\mathrm{Ed}}) \cdot l} = 0,27
\)

\(
F_{\mathrm{S,F}} = 0,27 \cdot 260 \cdot 5,0 = 351 \; \mathrm{kN} \quad (\text{Vergleiche Näherungsverfahren: } F_{\mathrm{S,F}} = 336 \; \mathrm{kN})
\)

\(
A_{\mathrm{s,erf}} = \frac{F_{\mathrm{s,F}}}{f_{\mathrm{yd}}} = \frac{351 \; \mathrm{kN}}{43,5 \; \mathrm{kN/cm}^2} = 8,07 \; \mathrm{cm}^2
\)

4. Berechnung mit RFEM6

4.1 Berechnung mit dem Add-On Betonbemessung

Diese Methode sollte insbesondere dann angewendet werden, wenn das Verhältnis h/l > 0,5 vorliegt. Nachdem die notwendige Bewehrung mit dem Add-On ermittelt wurde, erfolgt das Einfügen eines vertikalen Schnitts an den relevanten Stellen im Modell (Hier in der Mitte der Wand).

• Bewertung mithilfe von Ergebnisschnitten:

Für die Biegebewehrung kann im Dialogfenster des Schnittes die Option konstante Glättung zur Interpretation der Ergebnisse aktiviert werden. Die Summen der horizontalen Bewehrungen sind zu bilden:

\(A_{\mathrm{s,erf}} = 3,72 + 3,72 = 6,72 \; \mathrm{cm}^2\)

Erforderliche Bewehrung [cm2]
Betonbemessung Add-On	Näherungsverfahren	Scheibentheorie
7.44	7.70	8.07

4.2 Nichtlineare Bemessung

Für die nichtlineare Berechnung wird das Modell wie folgt vereinfacht:

4.2.3 Nichtlineares Betonmaterialmodell

Für den Beton C20/25 wird ein Materialmodell des Typs Anisotrop Beschädigung erstellt. In der Diagrammdefinition ist die Option Parametrische Eingaben gewählt. Als Druckfestigkeit wird die Bemessungsfestigkeit f_cd = f_ck / γ_c angesetzt. Der Diagrammtyp im Druckbereich ist als Parabel-Rechteck festgelegt. Das Materialmodell berücksichtigt keine Zugfestigkeit. (Aus numerischen Gründen wird eine geringe Zugfestigkeit berücksichtigt.)

4.2.4 Betonstahl Materialmodell und Bewehrungsanordnung

Für die Abbildung der Bewehrung im nichtlinearen Modell werden zwei unterschiedliche Modellierungsansätze verwendet:

• Bewehrung als Flächeneigenschaft: Die Bewehrung (Matte Q636A) wird als Flächeneigenschaft definiert und in der Berechnung über Strukturmodifikationen berücksichtigt:

Für den Betonstahl wird das Materialmodell Isotrop Plastisch verwendet. Alternativ ist auch ein linear-elastisches Materialmodell zulässig, da in diesem Beispiel die Streckgrenze der Bewehrung nicht erreicht wird.

• Bewehrung als explizite Stabbewehrung:

Alternativ kann die Bewehrung innerhalb der Flächendicke durch Stäbe des Typs „Bewehrungsstab“ dargestellt werden. Die Q636A-Matte wird hierzu in einzelne Rundstähle aufgelöst.
Die Matte setzt sich aus Längsstäben mit 9 mm Durchmesser und Querstäben mit 10 mm Durchmesser zusammen; entsprechend werden zwei Rundstahlquerschnitte definiert

Die Längsstäbe werden mit einem Stababstand von 0,100 m und die Querstäbe mit 0,125 m angeordnet. Die erforderliche Betondeckung von 30 mm wird sowohl oben als auch unten eingehalten.

Da aus den Ergebnissen ersichtlich ist, dass die Streckgrenze nicht überschritten wird, kann hier das linear-elastische Materialmodell der Bewehrung weiterverwendet werden.

4.2.4 Ergebnisse

• Modell mit Bewehrung als Flächeneigenschaft:

Die in der Bewehrung auftretende Spannung bleibt unter f_yd = 435 N/mm², womit der Tragfähigkeitsnachweis der Wand erfüllt ist.

• Modell mit Bewehrung als Bewehrungsstäbe:

Mit dem Add-On Spannungs-Dehnungs-Berechnung wurde der Tragfähigkeitsnachweis geführt. Alle Stäbe wurden auf eine Überschreitung von f_yd überprüft, wobei sich eine maximale Ausnutzung von 0,539 ergibt.