2.4.2 Dehnung und Krümmung

Dehnung und Krümmung

Dieses Kapitel beschreibt die Ermittlung signifikanter Kenngrößen auf Querschnittsebene. Dabei wird die Beschreibung auf einen einfachen Rechteckquerschnitt unter einachsiger Biegung reduziert. Dies bietet den Vorteil einer geschlossenen Angabe der Momenten-Krümmungs-(Normalkraft)-Beziehung, die die beanspruchungsabhängige Steifigkeitsentwicklung am deutlichsten widerspiegelt. Dies bedeutet, dass der Momenten-Krümmungs-Verlauf abhängig ist von der Normalkraftbeanspruchung des Querschnitts.

Die beiden Kapitel 2.4.7.1 und Kapitel 2.4.8 gehen auf die Materialkennwerte näher ein, die für die Grenzzustände der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit angesetzt werden.

Es bestehen folgende grundlegende Zusammenhänge zwischen Dehnung und Krümmung :

Anhand der oben dargestellten Zusammenhänge ergeben sich folgende Beziehungen.

$$\begin{gathered} d_{\phi } \approx \tan \left(d\phi \right) = \frac{ds}{r} \\ {d}_{\phi } \approx \tan \left(d\phi \right) = \frac{{\epsilon }_s · ds - {\epsilon }_{cc} ·ds}{d} = \frac{{\epsilon }_s - {\epsilon }_{cc}}{d} ds \end{gathered}$$

Durch Gleichsetzen ergibt sich

$\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{{\epsilon }_s - {\epsilon }_{cc}}{d}$

mit

• ε_cc : negativ bei Stauchung des Betons

Für den ungerissenen Zustand I ergibt sich unter Zugrundelegung linear elastischen Werkstoffverhaltens der Zusammenhang zwischen Moment und Krümmung wie folgt.

$\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{M}{E · I}$

Im gerissenen Zustand (Zustand II ) geht die direkte Affinität zwischen dem Verlauf der Momenten- und Krümmungslinie verloren. Der Wert E ⋅ I (die Sekantenbiegesteifigkeit) ist belastungsabhängig und somit nicht mehr konstant im Bereich gleicher geometrischer Randbedingungen.

Das folgende Bild verdeutlicht den grundlegenden Unterschied zwischen Sekanten- und Tangentensteifigkeit.

Bei der Berechnung der Verformungen hängt die Herangehensweise stark vom verwendeten Verfahren ab. Quast weist in [5] auf die Vorteile der Nutzung des Übertragungsmatrizenverfahrens unter Ansatz der tangentialen Biegesteifigkeiten (bei bereichsweiser Linearisierung (1/r)₀ + M/B_II) hin. Dies ist im Hinblick auf das erwähnte Verfahren oder für „Handrechnungen“ zur Ermittlung der Verformungen oder Gelenkrotationen mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit sicher zweckmäßig.

Bei der Nutzung der FEM empfiehlt sich die Berechnung auf Grundlage konstanter Ersatzsteifigkeiten. Um den nichtlinearen Verlauf der Momenten-Krümmungs-Beziehung des Querschnitts auch im Bereich von sprunghaften Änderungen der tangentialen Biegesteifigkeit ausreichend genau zu erfassen, ist in den Übergangsbereichen (M_cr; M_y) eine feinere Teilung zwingend erforderlich. Diese erfolgt programmintern durch die Begrenzung der Steifigkeitsunterschiede von benachbarten Elementen.