7.2.1 Grundlagen der finiten Elemente in RFEM

Grundlagen der finiten Elemente in RFEM

Für Stabelemente wird angenommen, dass der Querschnitt bei der Verformung eben bleibt. Zur Abbildung von Balken, Fachwerkstäben, Rippen, Seilen und starren Kopplungen werden 1D-Stabelemente benutzt. Ein 1D-Stabelement hat insgesamt zwölf Freiheitsgrade: sechs am Anfang und sechs am Ende des Elements. Dabei handelt es sich um die Verschiebungen (u_x, u_y, u_z) und um die Verdrehungen (φ_x, φ_y, φ_z). Zug, Druck und Torsion werden bei der linearen Berechnung als lineare Funktionen der Stabachse x ausgedrückt, unabhängig von Biegung und Querkraft. Diese werden durch ein Polynom 3. Ordnung in x angenähert, einschließlich des Einflusses der Schubbeanspruchungen, die aus den Querkräften V_y und V_z resultieren. Die Steifigkeitsmatrix K_L(12, 12) beschreibt das lineare Verhalten der 1D-Elemente. Die gegenseitige Interaktion zwischen Normalkraft und Biegung bei geometrisch nichtlinearen Problemen wird in der Steifigkeitsmatrix K_NL(12, 12) ausgedrückt. Weitere Informationen finden Sie in [6] und [7].

Für die Berechnung nach Theorie III. Ordnung ist eine FE-Netzverdichtung der Linien (siehe Kapitel 4.23) zu empfehlen, damit die Ergebnisse exakt ermittelt werden können.

Als 2D-Elemente werden in der Regel Viereckelemente verwendet. Wo es erforderlich ist, fügt der Netzgenerierer Dreieckelemente ein.

Die Freiheitsgrade der Vierecks- und Dreieckselemente sind in den Knotenpunkten die gleichen wie bei 1D-Elementen: Verschiebungsfreiheitsgrade (u_x, u_y, u_z) und Verdrehungsfreiheitsgrade (φ_x, φ_y, φ_z). Dadurch wird die Verträglichkeit zwischen 1D- und 2D-Elementen in den Knoten garantiert. Die Parameter sind im ebenen lokalen Element-Koordinatensystem definiert und werden beim Zusammenstellen der globalen Steifigkeitsmatrix in das globale Koordinatensystem umgerechnet.

Die ebenen Schalenelemente basieren auf der Mindlin/Reissner-Theorie. Bild 7.8 stellt die Ansätze der Elemente grafisch dar. Um eine direkte Kopplung mit Stabelementen zu gewährleisten, wird ein quadratischer Ansatz in der Schalenebene gewählt (u_x, u_y). Über eine Elimination der Zwischenknoten entsteht ein Vierknoten-Element mit einem zusätzlichen Freiheitsgrad φ_x. Diese ermöglicht bei Scheibenelementen eine direkte Kopplung mit Balkenelementen. Basierend auf einer gemischten Interpolation der transversalen Verschiebungen, Querschnittsdrehungen und transversalen Schubverzerrungen kommen auch die von Bathe und Dvorkin [8] vorgestellten MITC4-Elemente (Mixed Interpolation of Tensorial Components) zum Einsatz.

Derzeit erfolgt die Berücksichtigung von Stabelementen durch eine direkte Lösung der Differenzialgleichung nach Theorie II. Ordnung. Die Berücksichtigung von Verdrillungseffekten ist unter Verwendung der Saint-Venantschen Torsion nicht möglich.

Der Membranberechnung liegen die Prinzipien von Bergan [9], [10], [11] zugrunde. Die Basisfunktionen werden z. B. bei Dreieckselementen in drei Starre-Körper-Verformungen, drei konstante Dehnungszustände und drei spezielle lineare Verläufe von Spannungen und Dehnungen unterteilt. In einem Element ist das Verformungsfeld quadratisch und das Spannungsfeld linear. Die Elementsteifigkeitsmatrix K_L wird anschließend in neun gemeinsame Parameter der Typen u_x, u_y, φ_z umgewandelt. Die Komponenten dieser Matrix werden gemeinsam mit den Komponenten, die Biege- und Schubwirkungen verursachen, in die Gesamtsteifigkeitsmatrix eingefügt (18, 18). Diese Matrix ist das Ergebnis des Lynn/Dhillon- Konzepts. Danach werden so genannte Mindlin-Platten angesetzt, d. h. Platten, bei denen die Schubverzerrung eine Rolle spielt, werden nach Timoshenko berechnet. RFEM findet damit die korrekte Lösung sowohl für dicke als auch für dünne Platten (Navier-Platten).

Bei geometrisch nichtlinearen Problemen ist die oben erläuterte Zerlegung des Spannungs-Dehnungszustands in einen ebenen Zustand und in Biegung/Schub nicht möglich. In der Matrix K_NL ist die gegenseitige Beeinflussung dieser Zustände berücksichtigt. RFEM verwendet eine relativ einfache, aber effektive Form der Matrix K_NL, die auf den Ansätzen von Zienkiewicz [12] basiert. Es wird die quadratische Komponente ε₂ des Green/Lagrange-Dehnungstensors ε = ε₁ + ε₂ herangezogen. Dabei werden ein linearer Verlauf von u_z(x, y) des ebenen Spannungszustandes und lineare Verläufe von u_x(x, y) und u_y(x, y) bei der Wechselwirkung mit Biegung vorausgesetzt. Diese Annahme ist möglich, da die Hauptinteraktionswirkung von der ersten Ableitung der Differenzialgleichung abhängig ist und der Einfluss der Komponenten höherer Ordnung sehr schnell mit der Teilung in kleinere Elemente abnimmt. Numerische Untersuchungen belegen die Richtigkeit dieses Verfahrens.

In RFEM sind folgende 3D-Elemente implementiert: Tetraeder, Pentaeder (Prisma, Pyramide) und Hexaeder. Auf eine ausführliche Darstellung der verwendeten Elemente und Matrizen wird hier verzichtet. Genaue Informationen sind in [13] zu finden. Diese Dokumentation kann bei Dlubal Software angefordert werden.

Generell sind bei Volumen alle Drehfreiheitsgrade kritisch einzustufen. Da die Verformung eines Volumens ausschließlich aus den Verschiebungsvektoren bestimmt wird, wirkt sich die Verdrehung eines Netzknotens z. B. infolge singulär eingeleiteter Torsion nicht auf die Verformung im Volumen aus.