2.7.7 Querschnittswerte für Verformungsberechnung

Querschnittswerte für Verformungsberechnung

Für die Materialsteifigkeitsmatrix D zur Verformungsberechnung werden die Querschnittswerte in Abhängigkeit des Risszustandes benötigt, die in jede Bewehrungsrichtung vorliegen. Es sind dies im Einzelnen

• das Trägheitsmoment zum ideellen Schwerpunkt I_Φ
• das Trägheitsmoment zum geometrischen Querschnittsmittelpunkt I_0,Φ,
• die Querschnittsfläche A_Φ ,
• die Exzentrizität des ideellen Schwerpunkts e_Φ zum geometrischen Schwerpunkt.

Die mittlere Dehnung ε_Φ und mittlere Krümmung Κ_Φ werden nach EN 1992-1-1, Gleichung (7.18) aus gerissenem und ungerissenem Zustand interpoliert:

$$\begin{gathered} {\epsilon }_{\varphi } = {\zeta }_{\varphi } · {\epsilon }_{\varphi ,II} + \left(1 - {\zeta }_{\varphi }\right) · {\epsilon }_{\varphi ,1} \\ {\kappa }_{\varphi } = {\zeta }_{\varphi } · {\kappa }_{\varphi ,II} + \left(1 - {\zeta }_{\varphi }\right) · {\kappa }_{\varphi ,1 } \end{gathered}$$

Die Dehnungen im Rissbild c (Zustand I und Zustand II) werden nach folgenden Gleichungen berechnet:

$$\begin{gathered} {\epsilon }_{\varphi ,c} = \frac{n_{\varphi }}{E · A_{\varphi ,c}} \\ {\kappa }_{\varphi ,c} = {\kappa }_{sh,\varphi ,c} · \frac{m_{\varphi } - n_{\varphi } · e_{\varphi ,c}}{E · I_{\varphi ,c}} \end{gathered}$$

Der Einfluss des Schwindens wird somit über den Faktor k_sh,φ,c berücksichtigt.

Wenn keine Normalkräfte n_Φ wirken wie z. B. beim Modelltyp 2D - XY (u_Z / φ_X / φ_Y), sind nur die ideellen Querschnittswerte relevant, die sich auf den ideellen Schwerpunkt des Querschnitts beziehen:

$$\begin{gathered} A_{\varphi } = \frac{A_{\varphi ,I} · A_{\varphi ,II}}{{\zeta }_{\varphi } · A_{\varphi ,I} · k_{sh, \varphi ,II} + \left(1 - {\zeta }_{\varphi }\right) · A_{\varphi ,II} · k_{sh,\varphi ,I}} \\ {I}_{\varphi } = \frac{I_{\varphi ,I} · I_{\varphi ,II}}{{\zeta }_{\varphi } · I_{\varphi ,I} · k_{sh,\varphi ,II} + \left(1 - {\zeta }_{\varphi }\right) · I_{\varphi ,II} · k_{sh,\varphi ,l}} \end{gathered}$$

Sind Normalkräfte vorhanden, werden die Querschnittswerte auf den geometrischen Querschnittsmittelpunkt bezogen:

$$\begin{gathered} A_{\varphi } = \frac{n_{\varphi }}{A · {\epsilon }_{\varphi }} \text{mit} {\epsilon }_{\varphi } = \frac{m_{\varphi } - {\kappa }_{\varphi } · E · I_{\varphi }}{n_{\varphi }} \\ {I}_{\varphi ,0} = I_{\varphi } + A_{\varphi } · e_{\varphi }^2 \text{mit} I_{\varphi }\text{ nach Gleichung} 2.87 \end{gathered}$$

Im Zuge der Berechnung der Querschnittswerte wird der Anfangswert der Querdehnzahl ν_init nach folgender Gleichung abgemindert:

$\nu = \left(1 - \underset{\varphi \in \{1,2\}}{\text{max}} \left({\zeta }_{\varphi }\right)\right) · {\nu }_{\text{init }}$