2.6.4.12 Nachweis der Rissbreite

Nachweis der Rissbreite

Der Rechenwert w_k der Rissbreite wird gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 7.3.4 nach Gleichung (7.8) bestimmt.

$w_{k } = s_{r,\text{max}} · \left({\epsilon }_{sm} - {\epsilon }_{cm}\right)$

mit

Tabelle 2.2

sr,max	maximaler Rissabstand bei abgeschlossenem Rissbild (siehe Gleichung 2.74 bzw. Gleichung 2.75)
εsm	mittlere Dehnung der Bewehrung unter maßgebender Einwirkungskombination einschließlich der Auswirkungen aufgebrachter Verformungen und unter Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen (nur die zusätzliche, über die Nulldehnung hinausgehende, in gleicher Höhe auftretende Betonzugdehnung wird berücksichtigt)
εcm	mittlere Dehnung des Betons zwischen den Rissen

Ist der Abstand der im Verbund liegenden Stäbe in der Zugzone nicht größer als 5 ⋅ (c + φ/2), darf der maximale Rissabstand bei abgeschlossenem Rissbild nach EN 1992-1-1, Gleichung (7.11) ermittelt werden:

$s_{r,\text{max}} = k_3 · c + k_1 · k_2 ·k_4 · \frac{\varphi }{{\rho }_{p,\text{eff}}}$

Wenn der Abstand der im Verbund liegenden Stäbe in der Zugzone 5 ⋅ (c + φ/2) übersteigt oder wenn in der Zugzone keine im Verbund liegende Bewehrung vorhanden ist, darf der Grenzwert für die Rissbreite mit folgendem maximalen Rissabstand ermittelt werden:

$s_{r,\text{max}} = 1.3 · \left(h - x\right)$

Für den Nachweis der Rissbreite ist somit die Druckzonenhöhe x im Zustand II zu berechnen. Sie ermittelt sich mit der auf die Bauteilhöhe bezogenen Druckzonenhöhe ξ.

$x = \xi · h = \frac{0.5 + {\alpha }_e · {\displaystyle \frac{a_{s,\text{exist}}}{b · h}} · {\displaystyle \frac{d}{h}}}{1.0 + {\alpha }_e · {\displaystyle \frac{a_{s,\text{exist}}}{b · h}}}$

Zudem wird der maximale Rissabstand gemäß EN 1992-1-1, Gleichung (7.15) untersucht:

$s_{\mathrm{r},\text{max}}=\frac{1}{\frac{\cos \theta }{s_{\mathrm{r},\text{max},x}}+\frac{\sin \theta }{s_{\mathrm{r},\text{max},y}}}$

mit

Tabelle 2.2

θ	Winkel zwischen der Bewehrung in x-Richtung und der Richtung der Hautzugspannung
sr,max,x  sr,max,y	maximaler Rissabstand in x- bzw. y-Richtung

Diese Gleichung ist von Bedeutung, wenn im Dialog Einstellungen für analytische Methode der Gebrauchstauglichkeitsnachweise (siehe Bild 2.89) die erste Methode Annahme eines identischen Dehnungsverhältnisses der Längsbewehrung zur Ermittlung der Bemessungsschnittgrößen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit gewählt ist.

Bei der dritten Methode (Berücksichtigung des Verformungsverhältnisses der Längsbewehrung) hingegen wird die Richtung der Druckstrebe nach Baumann ermittelt. Dabei wird der Grenzwinkel von 15° ignoriert, da die Rissbreite in diesem Bereich nicht maßgebend ist.

Für den Rechenwert der Rissbreite w_k gemäß Gleichung 2.73 ist noch der Faktor (ε_sm - ε_cm) für jede Bewehrungsrichtung und für die Richtung der resultierenden Dehnung zu bestimmen.

Die Differenz der mittleren Dehnung von Beton und Betonstahl wird nach  Abschnitt 7.3.4 gemäß Gleichung (7.9) ermittelt:

${\epsilon }_{sm} - {\epsilon }_{cm} = \frac{{\sigma }_s - k_t · {\displaystyle \frac{f_{ct, \text{eff}}}{{\rho }_{\text{eff}}}} · \left(1 + {\alpha }_e · {\rho }_{eff}\right)}{E_s} \ge 0.6 · \frac{{\sigma }_s}{E_s}$

Die maximale mittlere Dehnung (ε_sm - ε_cm )_-z,res ergibt sich als resultierende mittlere Dehnung der einzelnen Bewehrungsrichtungen zu 1.291 ‰.

Für die gesuchte mittlere Dehnung (ε_sm - ε_cm) werden zur Vereinfachung die Bezeichnung s für die Seitenlänge in Bewehrungsrichtung, d für die Teillänge der Druckstreben, l für das Lot auf die Druckstrebe und ε eingeführt.

Die Teillänge d_γ-α bestimmt sich bei einer gewählten Druckstrebenneigung wie folgt:

$d_{\gamma -\alpha } = \frac{1}{\tan \left(\gamma - \alpha \right)}$

Die Länge ist einheitenlos (das Lot auf die Druckstrebe ging ohne Einheit in die Formel ein).

Anschließend wird die Länge s_γ-α ermittelt.

$s_{\gamma -\alpha } = \frac{1 + {\epsilon }_{\alpha }}{\tan \left(\gamma - \alpha \right)}$

Wenn die Bewehrungsrichtung θ₁ mit dem Hauptmoment m₁ den kleinsten Differenzwinkel bildet, ist für ε_α die zuvor ermittelte Differenz der mittleren Dehnungen (ε_sm - ε_cm)_θ1 von Beton und Betonstahl einzusetzen:

$s_{\gamma -\alpha } = \frac{1 + {\left({\epsilon }_{sm }- {\epsilon }_{cm}\right)}_{{\theta }_1}}{\tan \left(\gamma - \alpha \right)}$

Wenn die Bewehrungsrichtung θ₂ mit dem Hauptmoment m₁ den kleinsten Differenzwinkel bildet, ist für ε_α die zuvor ermittelte Differenz der mittleren Dehnungen (ε_sm - ε_cm)_θ2 von Beton und Betonstahl einzusetzen.

Mit dem Satz des Pythagoras kann aus den Längen d_γ-α und s_γ-α der Wert l_γ-α berechnet werden:

$I_{\gamma -\alpha } = \sqrt{s_{\gamma -\alpha }^2 - d_{\gamma -\alpha }^2}$

Da allen Formeln eine Ausgangslänge von 1.0 LE zu Grunde gelegt worden, ermittelt sich die Dehnung ε zu:

$\epsilon = I_{\gamma -\alpha } · -1.0$

Diese Dehnung ε = (ε_sm - ε_cm) wird erneut über den Zwischenwinkel (β - γ) kontrolliert.

Für die Ermittlung der GZG-Bemessungsschnittgrößen nach der Methode Annahme eines identischen Dehnungsverhältnisses der Längsbewehrung kann das Dehnungsverhältnis der Bewehrungen deutlich vom vorausgesetzten geometrischen Dehnungsverhältnis abweichen. Für die korrekte Ermittlung des resultierenden Dehnungsverhältnisses wird daher die Dehnung der Bewehrung verwendet, die näher zur Hauptwirkung liegt.

Der Rechenwert der Rissbreite w_k lässt sich nach Gleichung 2.73 bestimmen.

In Maske 1.3 Flächen wurde die maximal zulässige Rissbreite w_k = 0.3 mm vorgegeben. Damit ergibt sich als Nachweiskriterium für die maßgebende resultierende Richtung: