2.7.10.8 Endquerschnittswerte

Endquerschnittswerte

Die Krümmung für die beiden Risszustände c (ungerissen/gerissen) wird wie folgt berechnet:

${\kappa }_{c,{\varphi }_1} = k_{sh,c,{\varphi }_1} · \frac{m_{{\varphi }_1} - n_{{\varphi }_1} · e_{c,{\varphi }_1}}{E · I_{c,{\varphi }_1}}$

• Ungerissener Zustand:

${\kappa }_{l,{\varphi }_1} = 1.158 · \frac{30 · {10}^3 - \left(-100 ·{10}^3\right) · 1.4 · {10}^{-3}}{11 · {10}^9 ·6.816 · {10}^{-4}} = 4.655 · {10}^{-3}$

• Gerissener Zustand:

${\kappa }_{II,{\varphi }_1} = 1.353 · \frac{30 · {10}^3 - \left(-100 ·{10}^3\right) · \left(-41.5 · {10}^{-3}\right)}{11 · {10}^9 ·2.{193}^{-4}} = 14.499 · {10}^{-3}$

Die Dehnung für die beiden Risszustände ermittelt sich wie folgt:

${\epsilon }_{c,{\varphi }_1} = \frac{n_{{\varphi }_1}}{E · A_{c,{\varphi }_1}}$

• Ungerissener Zustand:

${\epsilon }_{l,{\varphi }_1} = \frac{-100 · {10}^3}{11 · {10}^9 · 0.206} = - 4.413 · {10}^{-5}$

• Gerissener Zustand:

${\epsilon }_{Il,{\varphi }_1} = \frac{-100 · {10}^3}{11 · {10}^9 · 0.087} = - 10.449 · {10}^{-5}$

Damit kann die mittlere Dehnung bestimmt werden.

$$\begin{gathered} {\epsilon }_{{\varphi }_1} = {\zeta }_{{\varphi }_1} · {\epsilon }_{II,{\varphi }_1} + \left(1 - {\zeta }_{{\varphi }_1}\right) · {\epsilon }_{I,{\varphi }_1} = \\ = 0.835 · \left(-10.449 · {10}^{-5}\right) + \left(1-0.835\right) · \left(-4.413 · {10}^{-5}\right) = -9.459 · {10}^{-5} \end{gathered}$$

Die mittlere Krümmung wird wie folgt ermittelt:

$$\begin{gathered} {\kappa }_{{\varphi }_1} = {\zeta }_{{\varphi }_1} · {\kappa }_{II,{\varphi }_1} + \left(1 - {\zeta }_{{\varphi }_1}\right) · {\kappa }_{I,{\varphi }_1} = \\ = 0.835 · \left(14.449 · {10}^{-3}\right) + \left(1-0.835\right) · 4.655 · {10}^3 = 12.885 · {10}^{-3 } \end{gathered}$$

Mit der mittleren Krümmung und der Längsdehnung können die Endquerschnittswerte unter Berücksichtigung von Schwinden, Kriechen und Tension Stiffening berechnet werden.

$A_{{\varphi }_1} = \frac{n_{{\varphi }_1}}{E · {\epsilon }_{{\varphi }_1}} = \frac{-100 · {10}^3}{11 · {10}^9 · \left(-9.459 · {10}^{-5}\right)} = 958.59 {\mathrm{cm}}^2$

$$\begin{gathered} I_{{\varphi }_1} = \frac{I_{I,{\varphi }_1} ·I_{II,{\varphi }_1}}{{\zeta }_{{\varphi }_1} · I_{I,{\varphi }_1} · k_{dh,II,{\varphi }_1} + \left(1 - {\zeta }_{{\varphi }_1}\right) · I_{II,{\varphi }_1} · k_{dh,I,{\varphi }_1}}= \\ = \frac{6.816 · {10}^{-4} · 2.193 · {10}^{-4}}{0.836 · 6.816 · {10}^{-4} · 1.353 + \left(1_{ }{-}_{ }0.836\right) · 2.193 · {10}^{-4} · 1.158}=18 391.50 {\mathrm{cm}}^4 \end{gathered}$$

$e_{{\varphi }_1} = \frac{m_{{\varphi }_1} - {\kappa }_{{\varphi }_1} · E · I_{{\varphi }_1}}{n_{{\varphi }_1}} =\frac{30 · {10}^{3 }- 12.855 · {10}^{-3} · 11 ·{10}^9 · 1.839 ·{10}^{-4}}{-100 ·{10}^3} {=}_{ }-39 \mathrm{mm}$

$I_{0,{\varphi }_1} = I_{{\varphi }_1} + A_{{\varphi }_1} · {e_{{\varphi }_1}}^2 = 1.839 · {10}^{-4} + 0.096 · {\left(-0.0393\right)}^2 = 33 207 {\text{cm}}^4$

Die Querdehnzahl wird dabei folgendermaßen berechnet:

$\nu = \left(1 - \underset{d\in \{1,2\}}{max} \left({\zeta }_d\right)\right) · {\nu }_{init} = (1 - max \left(0.0836\right)) · 0.2 = 0.0328$