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1. Januar 0001

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Übersicht

1 Einleitung

2 Theoretische Grundlagen

3 Eingabedaten

4 Berechnung

5 Ergebnisse

6 Ergebnisauswertung

7 Ausdruck

8 Allgemeine Funktionen

9 Literatur

2.5.2 Hebelarm der inneren Kräfte

Hebelarm der inneren Kräfte

Es wird stets ein rechteckiger Querschnitt von einem Meter Breite bemessen. Die Bemessung erfolgt direkt mit dem Spannungsblock (siehe EN 1992-1-1, Bild 3.5). Ein iteratives Verfahren wäre aufgrund der Vielzahl an erforderlichen Bemessungen zu zeitaufwendig.

Bild 2.49 Berechnungsparameter der Bemessung

Der gesuchte Hebelarm z bestimmt sich für die obige Abbildung wie folgt.

$z = d - \frac{k \cdot x}{2}$

Bild 2.49 zeigt einen Dehnungszustand, der sich bei der gleichzeitigen Wirkung von Moment und Normalkraft ergeben kann. Es sind fünf Dehnungszustände möglich (siehe Bild 2.50).

Bild 2.50 Bereiche der Dehnungsverteilung

Bereich I

Es liegt ein stark biegebeanspruchter Querschnitt vor. Die Druckzonenhöhe hat ihren maximalen Wert erreicht (x = ξ _lim ⋅ d). Eine weitere Steigerung des Widerstandsmoments ist nur noch durch das Einlegen einer Druckbewehrung möglich.

Bereich II

In diesem Bereich tritt überwiegend Druck auf. Die Druckzonenhöhe bewegt sich zwischen den Grenzen ξ _lim ⋅ d und h/k.

Bereich III

Das einwirkende Moment ist so gering, dass die Betondruckzone ohne Druckbewehrung in der Lage ist, ein ausreichendes Widerstandsmoment zu liefern. Die Grenzen für die Druckzonenhöhe liegen je nach einwirkendem Moment zwischen 0 und ξ _lim ⋅ d.

Bereich IV

Hier liegt ein vollständig überdrückter Querschnitt vor. Die Druckzonenhöhe ist größer als h/k. In diesen Bereich fallen auch ausschließlich druckkraftbeanspruchte Querschnitte.

Bereich V

Dieser Dehnungszustand liegt vor, wenn die Zugkraft einen Querschnitt vollständig aufreißen lässt. In diesen Bereich fallen auch ausschließlich zugkraftbeanspruchte Querschnitte.

Für jeden Dehnungsbereich wird der Hebelarm ermittelt. Damit können dann die Momente der linearen Plattenstatik in Membrankräfte aufgeteilt werden.

Hebelarm Bereich I

Für diesen Bereich ist die Höhe der Druckzone bekannt: Der Beton wird voll ausgenutzt, ehe Druckbewehrung eingelegt wird.

Bild 2.51 Hebelarm z bei maximaler Betondruckzonenhöhe

Für die maximale Höhe der Betondruckzone x ergibt sich die aufnehmbare Betondruckkraft F_cd gemäß folgender Gleichung:

$F_{c d} = κ \cdot f_{c d} \cdot k \cdot x_{lim} \cdot b$

Das Grenzwiderstandmoment m_sd,lim, das der Querschnitt ohne Druckbewehrung aufnehmen kann, bestimmt sich wie folgt:

$m_{s d, lim} = F_{c d} \cdot (d - \frac{k \cdot x_{lim}}{2})$

Mit dem Grenzwiderstandmoment m_sd,lim kann das Differenzmoment ∆m_sd bestimmt werden, das von der Druckbewehrung geliefert werden muss, um ein Gleichgewicht mit dem einwirkenden Moment m_sd(1) zu bilden.

$∆ m_{s d} = m_{s d (1)} \cdot m_{s d, lim}$

Das einwirkende Moment m_sd(1) ist hier bezogen auf den Schwerpunkt der Zugbewehrung. Es bildet sich aus dem einwirkenden Moment m_sd, der einwirkenden Normalkraft n_sd und dem Abstand z_s(1) zwischen Querschnittsschwerachse und Schwerachse der Zugbewehrung.

$m_{s d (1)} = m_{s d} - n_{s d} \cdot z_{s {(1)}_{}}$

Mit dem Differenzmoment Δ m_sd kann nun die erforderliche Druckkraft F_sd(2) in einer Druckbewehrung bestimmt werden.

$F_{s d (2)} = \frac{∆ m_{s d}}{d - d_{2}}$

Hierbei ist d die statische Nutzhöhe der Zugbewehrung und d₂ der Schwerpunktabstand der Druckbewehrung vom Rand der Betondruckzone.

Teilt man das auf den Zugbewehrungsschwerpunkt bezogene, einwirkende Moment m_sd(1) nun durch die Betondruckkraft F_cd und die Kraft in der Druckbewehrung F_sd(2), so erhält man den gesuchten Hebelarm z.

$z = \frac{m_{s d}}{|F_{c d} + F_{s d (2)}|}$

Hebelarm Bereich II

Bild 2.52 Ermittlung des Hebelarms für Bereich II

Um die Höhe der Betondruckzone x bestimmen zu können, wird zunächst das Bemessungsmoment m_sd(2) um den Schwerpunkt der Druckbewehrung ermittelt.

$m_{s d (2)} = m_{s d} + n_{s d} + z_{s (2)}$

Nun wird die Summe der Momente um den Druckbewehrungsschwerpunkt gebildet. Diese Momente müssen sich zu Null ergeben. Auf der Widerstandsseite wird das Moment nur aus der resultierenden Kraft F_cd der Betondruckzonen multipliziert mit ihrem Abstand gebildet. Im Bereich II gibt es keine gezogene Bewehrung.

$\underset{}{\sum m = F_{c d} \cdot (\frac{k \cdot x}{2} - d_{2}) + m_{s d (2)} = 0}$

Auch in der resultierenden Betondruckkraft F_cd ist die Höhe x der Betondruckzone enthalten.

$F_{c d} = κ \cdot f_{c d} \cdot k \cdot x \cdot b$

Damit ergibt sich die Gleichung zur Bestimmung von x zu:

$κ \cdot f_{c d} \cdot k \cdot x \cdot b \cdot (\frac{k \cdot x}{2} - d_{2}) + m_{s d (2)} = \frac{κ \cdot f_{c d} \cdot k^{2} \cdot x^{2}}{2} - κ \cdot f_{c d} \cdot k \cdot x \cdot b \cdot d_{2} + {m_{s d (2)}}_{} =_{} 0 x^{2} = \frac{2 \cdot d_{2} \cdot x}{k} + \frac{2 \cdot m_{s d (2)}}{κ \cdot f_{c d} \cdot b \cdot k^{2}} = 0 \Rightarrow x = \frac{d_{2}}{k} + \sqrt{{(\frac{d_{2}}{k})}^{2} - \frac{2 \cdot m_{s d (2)}}{κ \cdot f_{c d} \cdot b \cdot k^{2}}}$

Mit der Höhe x der Betondruckzone kann der Hebelarm z bestimmt werden, indem man von der statischen Höhe d die halbe Druckzonenhöhe x abzieht, die um den Faktor k reduziert wird:

$z = d - \frac{k \cdot x}{2}$

Hebelarm Bereich III

Bild 2.53 Ermittlung des Hebelarms für Bereich III

Um Höhe x der Betondruckzone zu bestimmen, wird zunächst das Bemessungsmoment m_sd(1) um den Schwerpunkt der Zugbewehrung ermittelt.

$m_{s d (1)} = m_{s d} + n_{s d} + z_{s (1)}$

Nun wird die Summe der Momente um den Zugbewehrungsschwerpunkt gebildet. Diese Momente müssen sich zu Null ergeben. Auf der Widerstandsseite wird das Moment nur aus der resultierenden Kraft F_cd der Betondruckzone mal ihrem Abstand gebildet. Anschließend wird das Gleichgewicht der Momente um die Lage der Zugbewehrung gebildet.

$\underset{}{\sum m = F_{c d} \cdot (d - \frac{k \cdot x}{2}) - m_{s d (1)} = 0}$

Auch in der resultierenden Betondruckkraft F_cd ist die Höhe x der Betondruckzone enthalten (siehe Gleichung 2.52).

$κ \cdot f_{c d} \cdot k \cdot b \cdot d \cdot x - (\frac{κ \cdot f_{c d} \cdot k^{2} \cdot b}{2}) - {m_{s d (1)}}_{} =_{} x^{2} - \frac{2 d}{k} \cdot x + {\frac{2 m_{s d (1)}}{κ \cdot f_{c d} \cdot k^{2} \cdot b}}_{} =_{} 0$

Diese quadratische Gleichung kann wie folgt gelöst werden.

$x = \frac{d}{k} + \sqrt{\frac{d^{2}}{k^{2}} - \frac{2 \cdot m_{s d (1)}}{κ \cdot f_{c d} \cdot k^{2} \cdot b}} = 0$

Mit der Höhe x der Betondruckzone kann der Hebelarm z bestimmt werden, indem man von der statischen Höhe d die halbe Druckzonenhöhe x abzieht, die um den Faktor k reduziert wird:

$z = d - \frac{k \cdot x}{2}$

Falls die Stahldehnung ε_s größer ist als die maximal zulässige Stahldehnung ε_ud, wird x iterativ aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet. Die Umrechnungsfaktoren κ und k für die Betondruckzone werden dabei direkt aus dem Parabel-Rechteck-Diagramm des Betons abgeleitet.

Hebelarm Bereich IV

In einem vollständig überdrückten Querschnitt wird der Hebelarm als der Abstand zwischen den beiden Bewehrungen angenommen.

$z = d - d_{2}$

Für diesen Bereich wird eine maximale Ausnutzung der Bewehrung vorgegeben, d. h. ε_s = ε_cu.

Bei näherungsweise zentrischem Druck (e_d / h ≤ 0.1) ist gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 6.1 (5) die mittlere Stauchung auf ε_c2 zu begrenzen.

Hebelarm Bereich V

In einem vollständig aufgerissenen Querschnitt wird der Hebelarm ebenfalls als der Abstand zwischen den beiden Bewehrungen angenommen (siehe Gleichung 2.60).

Übergeordnetes Kapitel

2.5 Schalen