Interaktionsdiagramme für Momente nach ACI 318-19 in RFEM 6

Einführung

Bei der Bemessung von Stahlbetonstäben gemäß der amerikanischen Betonnorm ACI 318-19 [1] ist das Interaktionsdiagramm für Momente ein wichtiges Hilfsmittel. Diese Diagramme stellen den Zusammenhang zwischen Biegemoment und Normalkraft an einem beliebigen Punkt entlang eines bewehrten Betonstabes dar. Wertvolle Informationen wie zum Beispiel die Festigkeit und das Betonverhalten unter verschiedenen Belastungsbedingungen werden visuell dargestellt.

Erläuterung

Das Interaktionsdiagramm für Momente wird herangezogen, um das maximale Moment sowie die maximale Normalkraft, denen ein Stab Stand halten kann, zu bestimmen, was für die Berechnung der Grenzfestigkeit hilfreich ist. Für die Erstellung eines Momenteninteraktionsdiagramms muss die maximale Normalkraft sowie das maximale Moment berechnet werden. Diese Punkte werden dann in einem x-y-Diagramm graphisch dargestellt. Dabei repräsentiert die y-Achse die Normalkraft und die x-Achse das Biegemoment. Das Zusammenspiel dieser beiden Kräfte wird durch eine Linie/Kurve dargestellt, die die maximale Tragfähigkeit des bewehrten Querschnitts darstellt. Jeder Punkt auf der Kurve stellt eine eindeutige Kombination aus Biegemoment und Normalkraft dar, bei der der verstärkte Querschnitt noch als tragfähig gilt. Diese Kurve wird dann anhand von Fehlerpunkten weiter in Bereiche unterteilt. Beispielsweise stellt der obere Bereich ein Versagen durch reine Biegung dar und der untere Bereich ein Versagen durch reine Normalkraft. Das ist in Bild 01 dargestellt.

Interaktionsdiagramm für Momente

Berechnung mit RFEM 6

RFEM 6 ist mit dem Add-On Betonbemessung in der Lage, Stahlbetontragwerke zu analysieren und zu bemessen. Das Add-On kann ein Interaktionsdiagramm für Momente bei beliebigen Stützen oder Trägern automatisch erstellen. Das Moment und die Normalkraft, die ein Stab höchstens aufnehmen kann, werden in der statischen Analyse berechnet, was im Add-On Betonbemessung automatisch berücksichtigt wird. Anschließend wird bei aktivierter Option ein Momenteninteraktionsdiagramm auf der Grundlage von Eigenschaften wie Querschnittsgröße und Bewehrungsanordnung generiert.

Analytischer Nachweis

Als Beispiel wird eine rechteckige Stahlbetonstütze (12" x 20") modelliert, die in Bild 02 dargestellt ist.

Beispielstütze für Momenteninteraktionsdiagramm

Die 10 ft hohe Betonstütze hat eine Druckfestigkeit (f'c) von 4.000 psi. In den Ecken sind vier Bewehrungsstäbe der Stahlsorte 60, #9 zur Längsbewehrung angeordnet. Des Weiteren sind Bewehrungsstäbe (#4) für die Bügelbewehrung ausgewählt. Die Betondeckung beträgt 2,5 in.
Bei diesem Querschnitt wird ein lineares 4-Punkt-Interaktionsdiagramm analytisch berechnet und mit RFEM 6 überprüft.

Die Maße des Zug- und Druckstahls berechnen sich wie folgt:

d = 20" - 2,5" = 17,5"

d' = 2.5"

Punkt A ist der erste. Es wird davon ausgegangen, dass der Stab durch reinen Druck beansprucht wird und der Querschnitt die Dehnungsgrenze (ε_cu) von 0,003 erreicht hat. Nachfolgend wird die Druckfestigkeit für Stahl und Beton summiert. Der reine Druckpunkt, der auf dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm basiert, berechnet sich wie folgt:

Die Normalkraft (P_N,A) beträgt 1042,4 kips.
Da nur ein reiner Druck vorliegt, ist das Moment (M_N,A) gleich 0 kip-in.

Als nächstes folgt Punkt B. Das ist der "Gleichgewichtspunkt", an dem wir annehmen, dass der Stahl fließt. Dies ist zu überprüfen. Mit der Option "Gleiche Dreiecke" wird die Nulllinie bzw. die Druckzonenhöhe berechnet (c). Als Referenz war c bei Punkt A gleich 20 in, da der gesamte Querschnitt unter Druck stand.

c entspricht 10,36 in. Da c nun bekannt ist, wird die Dehnung des Stahls unter Druck (ε'_s) berechnet und mit der Fließdehnung des Stahls mit der Stahlsorte 60 verglichen.

(ε'_s) ist gleich 2,27x10^-3 und damit größer als 2,07x10^-3. Die Annahme war also richtig. Die axiale Festigkeit an diesem Punkt errechnet sich basierend auf dem Spannungsdiagramm wie folgt:

P_N,B ist gleich 359 kips.
Das Moment M_N,B wird berechnet und über die Nulllinie aufsummiert:

M_N,B ist gleich 3940,23 kip-in.

Es wird nun der Punkt C berechnet, bei dem die Normalkraft P_N,C gleich 0 ist. Der Querschnitt wird als zweifach bewehrt angenommen, der Druckstahl wird jedoch vernachlässigt. Die Normalkraft ist gleich 0 kips und das Moment berechnet sich wie folgt:

M_N,C entspricht 1923,53 kip-in.

Punkt D ist der letzte, wo M_N,D gleich 0 kips ist und nur eine reine Normalkraft auftritt.

P_N,D ist gleich 240 kips.

Diese Punkte werden eingezeichnet und es ergibt sich ein lineares Interaktionsdiagramm für Momente. Dies ist im folgenden Bild 02 dargestellt:

Kurve des Handrechnungsbeispiels

Nachweis in RFEM 6

Um das mit dem Add-On Betonbemessung generierte Momenteninteraktionsdiagramm in RFEM 6 anzuzeigen, führen Sie einfach eine Berechnung der Bemessungsergebnisse innerhalb der Tabelle aus. Klicken Sie dann in der Tabelle auf die Schaltfläche Bemessungsdetails oder doppelklicken Sie auf einen beliebigen Nachweis. Als nächstes aktivieren Sie das Kontrollfeld für das Interaktionsdiagramm. Oben erscheint dann ein neues Register, in dem das 2D- und 3D-Momenteninteraktionsdiagramm des zu bemessenden Stabes angezeigt werden kann.

Der Stab wurde dem analytisch nachgewiesenen Beispiel oben entnommen und in RFEM 6 modelliert. Querschnitt, Materialien und Anordnung der Bewehrungsstäbe wurden nachgebildet. Die Bemessung erfolgt nach der Norm ACI 318-19 [1] mit dem Add-On Betonbemessung. Bild 03 zeigt den gerenderten Stab; die Ergebnisse werden im Folgenden verglichen und überprüft. Zum Vergleich des analytischen Ergebnisses mit dem Ergebnis in RFEM 6 sind die Punkte A bis D in den Bildern 04 bis 08 mit Ausnutzung dargestellt.

Hinweis: In RFEM 6 wird ein parabelförmiger Spannungsverlauf angenommen, während das analytische Beispiel von einem rechteckförmigen Spannungsverlauf ausgeht. Der Unterschied zwischen dem analytischen Momentendiagramm und dem Momentendiagramm in RFEM 6 liegt in den Annahmen über das Verhalten der Materialien und der daraus resultierenden Verteilung der Momente. Der analytische Spannungsverlauf geht von einem linearen Verhalten bei Beton aus, während der RFEM 6-Spannungsverlauf einen nichtlinearen Spannungsverlauf im Beton berücksichtigt. Das Spannungsbild von RFEM 6 bietet eine genauere Darstellung des Querschnittverhaltens. Dies führt beim Vergleich des analytischen Beispiels mit den Ergebnissen aus RFEM 6 zu einer gewissen Abweichung der Ergebnisse, die unten zu sehen ist.

Beispielstütze für Momenteninteraktionsdiagramm

Ausnutzung Punkt A:

P_N,A = 1,007

M_N,A = 1,000

RFEM 6 - Punkt A

Ausnutzung Punkt B:

P_N,B = 1,133

M_N,B = 1,109

RFEM 6 - Punkt B

Ausnutzung Punkt C:

P_N,C = 1,000

M_N,C = 1,043

RFEM 6 - Punkt C

Ausnutzung Punkt D:

P_N,D = 1,001

M_N,D = 1,000

RFEM 6 - Punkt D

Fazit

Das Interaktionsdiagramm für Momente ist ein unverzichtbares Werkzeug für Ingenieure, die Stahlbetonnachweise durchführen. Diese Diagramme liefern wichtige Informationen über die Festigkeit, Stabilität und das Verhalten des Betons bei verschiedenen Lastzuständen. Mit RFEM 6 lassen sich Momenteninteraktionsdiagramme generieren und in Echtzeit betrachten.