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Dipl.-Ing. (FH) Robert Vogl

27.04.2023

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Résultats par solide

Vous pouvez afficher les résultats pour les solides graphiquement via la catégorie du Navigateur Solide. Les résultats numériques des solides se trouvent dans la catégorie de tableau Résultats par solide.

Résultats par solide dans le tableau

Informations

Les résultats sont affichés dans le tableau et le graphique tels qu'ils apparaissent sur les surfaces limites du solide. Pour vérifier les résultats à l'intérieur du solide, activez l'option Aux points de maillage EF dans la catégorie inférieure Valeurs sur les surfaces. Vous pouvez ensuite lire les valeurs dans le solide via un plan de coupe (voir le chapitre Plans de coupe).

Déformations

L'image Résultats par solide dans le tableau montre le tableau avec les déformations des surfaces limites. Les déplacements et les rotations sont affichés aux points de la grille de surface (voir le chapitre Surfaces ).

Astuce

Pour les petites surfaces, la taille de maille standard de la grille de 0,5 m peut entraîner l'existence de seulement quelques points de grille. Dans ce cas, adaptez le nombre ou la distance des points de grille à la taille de la surface.

Les déformations signifient :

\|u\|	Valeur absolue du déplacement total
u_X	Déplacement dans la direction de l'axe X global
u_Y	Déplacement dans la direction de l'axe Y global
u_Z	Déplacement dans la direction de l'axe Z global
φ_X	Rotation autour de l'axe X global
φ_Y	Rotation autour de l'axe Y global
φ_Z	Rotation autour de l'axe Z global

Contraintes

Sélectionner les contraintes dans les solides dans le navigateur

Contraintes des solides dans le tableau

Définissez dans le Navigateur les contraintes qui doivent être affichées sur les surfaces limites des solides. Le tableau répertorie les contraintes de ces surfaces selon les spécifications définies dans le Gestionnaire de tableaux de résultats .

Les contraintes de solide sont divisées en catégories suivantes :

Contraintes de base
Contraintes principales
Contraintes équivalentes
Invariants de contraintes

Contraintes de base

Les contraintes de solide ne peuvent pas être décrites avec des équations simples comme les contraintes de surface. Les contraintes de base σ_x, σ_y et σ_z, y compris les contraintes de cisaillement τ_yz, τ_xz et τ_xy, sont déterminées directement par le noyau de calcul.

Si un cube avec des longueurs d'arête d_x, d_y et d_z est découpé dans un corps soumis à des contraintes multiaxiales, les contraintes dans chaque face du cube peuvent être décomposées en contraintes normales et de cisaillement. En négligeant la force volumique et les différences de contrainte sur les faces parallèles, l'état de contrainte peut être décrit dans le système de coordonnées local du cube par neuf composantes de contrainte.

Élément solide avec composants de contrainte

La matrice du tenseur de contrainte est :

S = [\begin{matrix} σ_{x} & τ_{xy} & τ_{xz} \\ τ_{yx} & σ_{y} & τ_{yz} \\ τ_{zx} & τ_{zy} & σ_{z} \end{matrix}]

Matrice du tenseur des contraintes

Contraintes principales

Les contraintes principales σ₁, σ₂ et σ₃ sont déduites des valeurs propres du tenseur comme suit :

\det (S - σ E) = 0

E	3x3 Einheitsmatrix

Contraintes principales

La contrainte de cisaillement maximale τ_max est déterminée selon le cercle de Mohr :

τ_{\max} = \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3})

Contrainte maximale de cisaillement

Astuce

Avec l'entrée du Navigateur σ₁₂₃, vous pouvez représenter graphiquement les trajectoires des contraintes principales.

Contraintes équivalentes

Les contraintes équivalentes σ_v selon von Mises peuvent être déterminées par deux formules équivalentes.

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Contrainte équivalente σ_{v, Mises} à partir des contraintes principales

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Contrainte équivalente σ_v,Mises à partir des contraintes de base

Pour la détermination de la contrainte équivalente σ_v selon Tresca , les différences entre les contraintes principales sont examinées pour en déterminer la valeur maximale.

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Contrainte équivalente σ_v,Tresca

La contrainte équivalente σ_v selon Rankine est déterminée à partir des plus grandes valeurs absolues des contraintes principales.

σ_{v, Rankine} = max (|σ_{1}|; |σ_{2}|; |σ_{3}|)

Contrainte équivalente_{v, Rankine}

Pour la détermination de la contrainte équivalente σ_v selon Bach , les différences de contraintes principales sont examinées en tenant compte du coefficient de Poisson ν pour en déterminer la valeur maximale.

σ_{v, Bach} = max [|σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3})|; |σ_{2} - ν (σ_{3} + σ_{1})|; |σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2})|]

Contrainte équivalente_{v, Bach}

Invariants de contraintes

Les invariants de contraintes permettent une description indépendante des coordonnées et donc objective de l'état de contrainte d'un matériau. En tant que grandeurs scalaires, ils restent inchangés lors de rotations arbitraires du système de coordonnées et saisissent les propriétés physiquement pertinentes de ces états indépendamment de la représentation tensorielle choisie. Leur importance particulière réside dans le fait que de nombreux phénomènes mécaniques - en particulier l'écoulement plastique, la rupture et la fissuration - ne dépendent pas de composantes de contrainte individuelles, mais de mesures invariantes. Les invariants de contraintes constituent ainsi la base de nombreux critères d'écoulement et de rupture établis, comme par exemple la théorie de von Mises, de Tresca ou de Drucker-Prager.

La contrainte moyenne p est liée au premier invariant de contrainte I₁ et décrit la contrainte hydrostatique. Elle résulte de la moyenne arithmétique des trois contraintes principales et représente la distance du point de contrainte par rapport à l'origine des coordonnées sur la diagonale spatiale.

p = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{I_{1}}{3}

σ₁ , σ₂ , σ₃	Contraintes principales
I₁	Premier invariant des contraintes

Pression moyenne p

Elle caractérise l'état de contrainte normale moyen et est principalement responsable des changements de volume. Physiquement, p correspond à un état de compression ou de traction uniforme qui ne provoque pas de changement de forme, mais exclusivement une compression ou une dilatation. Dans de nombreux matériaux, en particulier en mécanique des sols et des roches ainsi que dans les matériaux sensibles à la pression, p influence considérablement le comportement en résistance et en déformation.

La contrainte déviatorique q est liée au second invariant du déviateur de contrainte J₂. Elle est calculée comme suit :

q = \sqrt{{σ_{1}}^{2} + {σ_{2}}^{2} + {σ_{3}}^{2} - σ_{1} σ_{2} - σ_{2} σ_{3} - σ_{3} σ_{1}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = \sqrt{{I_{1}}^{2} - 3 I_{2}} = \sqrt{3 J_{2}}

I₁	Première Invariante de contrainte
I₂	Deuxième invariant de contrainte
J₂	Deuxième invariant de contrainte déviatoire

Contrainte déviatorique q

Elle décrit la part de l'état de contrainte qui est responsable des changements de forme (distorsions de cisaillement) sans modifier le volume. La part déviatorique pilote en particulier l'écoulement plastique et la rupture dans les matériaux ductiles. Le critère d'écoulement de von Mises repose directement sur J₂ ou q et montre que la déformation plastique est principalement contrôlée par les contraintes déviatoriques.

L'angle de Lode θ indique la position du point de contrainte dans le plan déviatorique. Le plan déviatorique est divisé en six secteurs, de sorte que −30° ≤ θ ≤ 30°. L'angle est déterminé comme suit :

θ = \frac{1}{3} \sin^{- 1} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{{J_{2}}^{3 / 2}})

J₂	Deuxième invariant de contrainte de déviation : 1/6 [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₂)²]
J₃	Troisième invariant des contraintes déviatoires : 1/27 (2σ₁ – σ₂ – σ₃) (2σ₂ – σ₃ – σ₁) (2σ₃ – σ₁ – σ₂)

Angle de Lode θ

Une sollicitation de cisaillement pur donne θ = 0, tandis que pour θ = 30°, l'état de contrainte σ₁ > σ₂ = σ₃ apparaît, ce qui correspond à un essai de compression triaxial. De θ = −30° résulte l'état de contrainte d'un essai de traction triaxial avec σ₁ < σ₂ = σ₃.

Distorsions

Sélection les déformations de solide dans le Navigateur

Sélectionner « Déformations de solide » dans le Navigateur

Déformations de solides dans le tableau

Définissez dans le Navigateur les distorsions qui doivent être affichées sur les surfaces limites des solides. Le tableau répertorie les déformations de ces surfaces selon les spécifications définies dans le Gestionnaire de tableaux de résultats .

Les distorsions de solide sont divisées en catégories suivantes :

Déformations totales de base
Déformations totales principales
Déformations totales équivalentes
Invariants de déformations

Déformations totales de base

Les déformations totales de base, y compris les distorsions de cisaillement, sont déterminées directement par le noyau de calcul. Pour l'état de distorsion spatial, la définition générale du tenseur est :

ε = [\begin{matrix} ε_{x x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{y x} & ε_{y y} & ε_{y z} \\ ε_{z x} & ε_{z y} & ε_{z z} \end{matrix}]

Tenseur pour l'état de déformation

Les éléments du tenseur sont définis comme suit :

ε_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})

Éléments tenseurs

Déformations totales principales

Les déformations totales principales ε₁, ε₂ et ε₃ sont déterminées à partir des déformations de base.

Astuce

Avec l'entrée du Navigateur ε₁₂₃, vous pouvez représenter graphiquement les trajectoires des déformations principales.

Déformations totales équivalentes

Les déformations totales équivalentes ε_v sont déterminées comme suit selon quatre hypothèses de contrainte différentes.

ε_{v, Mises} = \frac{1}{1 + ν} \sqrt{{ε_{x}}^{2} + {ε_{y}}^{2} + {ε_{z}}^{2} - ε_{x} ε_{y} - ε_{y} ε_{z} - ε_{z} ε_{x} + \frac{3}{4} ({γ_{x y}}^{2} + {γ_{y z}}^{2} + {γ_{x z}}^{2})}

Déformation totale comparative ε_v,Mises

ε_{v, Tresca} = \max (|R_{1} - R_{2}|; |R_{2} - R_{3}|; |R_{3} - R_{1}|)

R	Matrice (voir ci-dessous)

Déformation totale comparative ε_v,Tresca (Différences de valeurs propres maximales selon la matrice R)

ε_{v, Rankine} = \max (|R_{1}|; |R_{2}|; |R_{3}|)

R	Matrix (siehe unten)

Vergleichsgesamtdehnung ε_v,Rankine (Maximum der Eigenwerte gemäß Matrix R)

ε_{v, Bach} = \max (|R_{1} - ν (R_{2} + R_{3})|; |R_{2} - ν (R_{3} + R_{1})|; |R_{3} - ν (R_{1} + R_{2})|)

R	Matrice (voir ci-dessous)

Déformation totale comparative ε_v,Bach (Différences de valeurs propres maximales selon la matrice R avec prise en compte du coefficient de Poisson ν)

R = \frac{1}{1 + ν} [\begin{matrix} \frac{(1 - ν) ε_{x} + ν (ε_{y} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{γ_{x z}}{2} \\ \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{y} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{y z}}{2} \\ \frac{γ_{x z}}{2} & \frac{γ_{y z}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{z} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} \end{matrix}]

Matrice R

Invariants de déformations

Les invariants de déformations sont des paramètres du tenseur de déformation qui restent indépendants de l'orientation du système de coordonnées. Ils permettent une séparation claire entre le changement de volume et le changement de forme d'un matériau. Cette distinction est centrale pour l'analyse du comportement des matériaux, des critères de résistance et des modèles de plasticité.

L'invariant de déformation volumétrique ε_v correspond à la part isotrope des déformations totales. Il est déterminé à partir des déformations principales :

ε_{v} = ε_{11} + ε_{22} + ε_{33}

Invariante de déformation volumétrique ε_v

Les déformations déviatoriques ε_q ou également les déformations de cisaillement γ_s décrivent le changement de forme pur sans changement de volume. Elles se calculent comme suit :

ε_{q} = \frac{1}{3} \sqrt{2 [{(ε_{11} - ε_{22})}^{2} + {(ε_{22} - ε_{33})}^{2} + {(ε_{33} - ε_{11})}^{2}] + 3 (2 {ε_{12}}^{2} + 2 {ε_{23}}^{2} + 2 {ε_{31}}^{2})}

Déformation de cisaillement ε_q

Chapitre parent

Résultats