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Dipl.-Ing. (FH) Robert Vogl

27.04.2023

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Résultats par solide

Vous pouvez afficher graphiquement les résultats pour les solides via la catégorie Solides du navigateur. Les résultats numériques des solides se trouvent dans la catégorie de tableaux Résultats par solide.

Résultats par solide dans le tableau

Informations

Dans le tableau et dans le graphique, les résultats présents sur les surfaces de contour du solide sont affichés. Pour vérifier les résultats à l’intérieur du solide, activez dans la sous-catégorie Valeurs sur les surfaces l’option Aux points de maillage EF. Les valeurs à l’intérieur du solide peuvent ensuite être lues via un plan de coupe (voir le chapitre Plans de coupe).

Déformations

L’image Résultats par solide dans le tableau montre le tableau avec les déformations des surfaces de contour. Les déplacements et les rotations sont affichés dans les points de grille des surfaces (voir chapitre Surfaces ).

Astuce

Pour les petites surfaces, la taille du maillage de grille standard de 0,5 m peut entraîner l’existence de peu de points de grille. Dans ce cas, ajustez le nombre ou l’espacement des points de grille à la taille de la surface.

Les déformations signifient :

\|u\|	Valeur absolue du déplacement total
u_X	Déplacement en direction de l’axe global X
u_Y	Déplacement en direction de l’axe global Y
u_Z	Déplacement en direction de l’axe global Z
φ_X	Rotation autour de l’axe global X
φ_Y	Rotation autour de l’axe global Y
φ_Z	Rotation autour de l’axe global Z

Contraintes

Sélectionner les contraintes dans les solides dans le navigateur

Contraintes des solides dans le tableau

Définissez dans le navigateur quelles contraintes doivent être affichées sur les surfaces de contour des solides. Le tableau répertorie les contraintes de ces surfaces selon les spécifications définies dans le Gestionnaire des tableaux de résultats .

Les contraintes de solide sont divisées en catégories suivantes :

Contraintes de base
Contraintes principales
Contraintes équivalentes
Invariants de contrainte

Les contraintes de solide ne peuvent pas être décrites comme les contraintes surfaciques avec des équations simples. Les contraintes de base σ_x, σ_y et σ_z y compris les contraintes de cisaillement τ_yz, τ_xz et τ_xy sont directement déterminées par le noyau de calcul.

Si un cube de dimensions d_x, d_y et d_z est coupé dans un corps soumis à des contraintes multiaxiales, les contraintes sur chaque face du cube peuvent être décomposées en contraintes normales et de cisaillement. En négligeant la force spatiale et également les différences de contrainte sur les faces parallèles, l’état de contrainte dans le système de coordonnées local du cube peut être décrit par neuf composantes de contrainte.

Volumenelement mit Spannungskomponenten

La matrice du tenseur de contrainte est donnée par :

S = [\begin{matrix} σ_{x} & τ_{xy} & τ_{xz} \\ τ_{yx} & σ_{y} & τ_{yz} \\ τ_{zx} & τ_{zy} & σ_{z} \end{matrix}]

Matrice du tenseur des contraintes

Contraintes principales

Les valeurs propres du tenseur donnent les contraintes principales σ₁, σ₂ et σ_{3> comme suit :}

\det (S - σ E) = 0

E	3x3 Einheitsmatrix

Contraintes principales

La contrainte de cisaillement maximale τ_max est déterminée selon le cercle de contrainte de Mohr :

τ_{\max} = \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3})

Contrainte maximale de cisaillement

Astuce

L’entrée du navigateur σ₁₂₃ vous permet d’afficher graphiquement les trajectoires des contraintes principales.

=== Contraintes équivalentes === Les contraintes équivalentes σ_v selon von Mises peuvent être déterminées par deux formules équivalentes.

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Contrainte équivalente σ_{v, Mises} à partir des contraintes principales

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Contrainte équivalente σ_v,Mises à partir des contraintes de base

Pour la détermination de la contrainte équivalente σ_v selon Tresca , les différences des contraintes principales sont examinées afin de déterminer la valeur maximale.

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Contrainte équivalente σ_v,Tresca

La contrainte équivalente σ_v selon Rankine est déterminée à partir des valeurs absolues maximales des contraintes principales.

σ_{v, Rankine} = max (|σ_{1}|; |σ_{2}|; |σ_{3}|)

Contrainte équivalente_{v, Rankine}

Pour déterminer la contrainte équivalente σ_v selon Bach , les différences de contrainte principales sont examinées, en tenant compte du coefficient de Poisson ν, afin de déterminer la valeur maximale.

σ_{v, Bach} = max [|σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3})|; |σ_{2} - ν (σ_{3} + σ_{1})|; |σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2})|]

Contrainte équivalente_{v, Bach}

=== Invariants de contrainte === Les invariants de contrainte permettent une description indépendante des coordonnées et donc objective de l’état de contrainte d’un matériau. En tant que grandeurs scalaires, ils demeurent inchangés dans toutes les conditions de déformations du système de coordonnées, et représentent les propriétés physiquement pertinentes de cet état, indépendamment des représentations de tenseur sélectionnées. Leur signification spécifique réside dans le fait que de nombreux phénomènes mécaniques, en particulier le fluage, la rupture et la fracture, ne dépendent pas de composantes de contraintes individuelles, mais de mesures invariantes. Les variantes de contraintes constituent ainsi la base de critères de fluage et de rupture, tels que les théories de von Mises, Tresca ou Drucker-Prager. La contrainte moyenne p est liée au premier invariant de contrainte I₁ et décrit la contrainte hydrostatique. Elle résulte de la moyenne arithmétique des trois contraintes principales et représente l’espacement des points de contraintes à l’origine des coordonnées de la diagonale spatiale.

p = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{I_{1}}{3}

σ₁ , σ₂ , σ₃	Contraintes principales
I₁	Premier invariant des contraintes

Pression moyenne p

Elle caractérise l’état de contrainte normal et est déterminante en terme de modifications de solide. Physiquement, p correspond à un état de pression ou de traction n’occasionnant aucune modification de forme, mais uniquement de la compression ou de la dilatation. Dans de nombreux matériaux, particulièrement dans la mécanique du sol et de la roche ainsi que dans les matériaux sensibles à la pression, p influence significativement le comportement de résistance et de déformation. La contrainte de déviation q est liée au deuxième invariant du déviateur de contrainte J₂ et déterminée comme suit :

q = \sqrt{{σ_{1}}^{2} + {σ_{2}}^{2} + {σ_{3}}^{2} - σ_{1} σ_{2} - σ_{2} σ_{3} - σ_{3} σ_{1}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = \sqrt{{I_{1}}^{2} - 3 I_{2}} = \sqrt{3 J_{2}}

I₁	Première Invariante de contrainte
I₂	Deuxième invariant de contrainte
J₂	Deuxième invariant de contrainte déviatoire

Contrainte déviatorique q

Elle décrit la composante de contrainte responsable de la modification de forme (déformation par effort tranchant), sans modification du solide. La composante de déviation occasionne particulièrement échec et fluage plastique dans les matériaux ductiles. Le critère de fluage de von Mises se base directement sur J₂ ou q et illustre le fait que la déformation plastique est principalement contrôlée par les contraintes de déviation. L'angle de Lode θ peut être considéré comme une mesure du type de chargement. Il se situe entre -30° et +30° et est déterminé comme suit :

θ = \frac{1}{3} \sin^{- 1} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{{J_{2}}^{3 / 2}})

J₂	Deuxième invariant de contrainte de déviation : 1/6 [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₂)²]
J₃	Troisième invariant des contraintes déviatoires : 1/27 (2σ₁ – σ₂ – σ₃) (2σ₂ – σ₃ – σ₁) (2σ₃ – σ₁ – σ₂)

Angle de Lode θ

Une contrainte de cisaillement pure survient pour θ = 0, tandis que pour θ = 30°, l’état de contrainte σ₁ > σ₂ =& nbsp;σ₃ se produit, ce qui correspond à un essai en compression triaxial. De θ = −30° résulte l’état de contrainte d’un essai en traction triaxial avec σ₁ < σ₂ = σ₃. == Déformations ==

Sélection des distorsions de volume dans le Navigateur

Sélectionner « Distorsions de solide » dans le Navigateur

Déformations de solides dans le tableau

Définissez dans le navigateur quelles déformations doivent être affichées sur les surfaces de contour des solides. Le tableau répertorie les déformations de ces surfaces selon les spécifications définies dans le Gestionnaire des tableaux de résultats . Les déformations de solide sont divisées en catégories suivantes : * Déformations totales de base * Déformations principales totales * Déformations totales équivalentes * Invariants de déformation Les déformations totales de base, y compris les déformations de cisaillement sont directement déterminées par le noyau de calcul. Pour l’état de déformation spatial, la définition générale du tenseur est la suivante :

ε = [\begin{matrix} ε_{x x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{y x} & ε_{y y} & ε_{y z} \\ ε_{z x} & ε_{z y} & ε_{z z} \end{matrix}]

Tenseur pour l'état de déformation

Les éléments du tenseur sont définis comme suit :

ε_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})

Éléments tenseurs

=== Déformations principales totales === À partir des déformations de base, les déformations principales totales ε₁, ε₂ et ε₃ sont déterminées.

Astuce

Avec l’entrée du navigateur ε₁₂₃, vous pouvez afficher graphiquement les trajectoires des déformations principales.

Les déformations totales équivalentes ε_v sont déterminées comme suit selon quatre hypothèses de contrainte différentes.

ε_{v, Mises} = \frac{1}{1 + ν} \sqrt{{ε_{x}}^{2} + {ε_{y}}^{2} + {ε_{z}}^{2} - ε_{x} ε_{y} - ε_{y} ε_{z} - ε_{z} ε_{x} + \frac{3}{4} ({γ_{x y}}^{2} + {γ_{y z}}^{2} + {γ_{x z}}^{2})}

Déformation totale comparative ε_v,Mises

ε_{v, Tresca} = \max (|R_{1} - R_{2}|; |R_{2} - R_{3}|; |R_{3} - R_{1}|)

R	Matrice (voir ci-dessous)

Déformation totale comparative ε_v,Tresca (Différences de valeurs propres maximales selon la matrice R)

ε_{v, Rankine} = \max (|R_{1}|; |R_{2}|; |R_{3}|)

R	Matrix (siehe unten)

Vergleichsgesamtdehnung ε_v,Rankine (Maximum der Eigenwerte gemäß Matrix R)

ε_{v, Bach} = \max (|R_{1} - ν (R_{2} + R_{3})|; |R_{2} - ν (R_{3} + R_{1})|; |R_{3} - ν (R_{1} + R_{2})|)

R	Matrice (voir ci-dessous)

Déformation totale comparative ε_v,Bach (Différences de valeurs propres maximales selon la matrice R avec prise en compte du coefficient de Poisson ν)

R = \frac{1}{1 + ν} [\begin{matrix} \frac{(1 - ν) ε_{x} + ν (ε_{y} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{γ_{x z}}{2} \\ \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{y} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{y z}}{2} \\ \frac{γ_{x z}}{2} & \frac{γ_{y z}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{z} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} \end{matrix}]

Matrice R

=== Invariants de déformation === Les invariants de déformations sont des caractéristiques du tenseur de déformation, indépendantes de l’orientation du système de coordonnées. Ils permettent une distinction claire entre les modifications de solide et les déformations d’un matériau. La distinction est centrale pour l’analyse du comportement du matériau, du critère de résistance et des modèles de plasticité. À partir des déformations principales, l'invariant de déformation volumétrique ε_v est déterminé :

ε_{v} = ε_{11} + ε_{22} + ε_{33}

Invariante de déformation volumétrique ε_v

Les déformations de déviation ε_q ou les déformations de cisaillement γ_s décrivent une modification de forme pure sans modification du solide, et sont déterminées comme suit :

ε_{q} = \frac{1}{3} \sqrt{2 [{(ε_{11} - ε_{22})}^{2} + {(ε_{22} - ε_{33})}^{2} + {(ε_{33} - ε_{11})}^{2}] + 3 (2 {ε_{12}}^{2} + 2 {ε_{23}}^{2} + 2 {ε_{31}}^{2})}

Déformation de cisaillement ε_q

Chapitre parent

Résultats