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15.12.2023

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Contraintes

Dans le navigateur, définissez les contraintes à afficher sur les surfaces. Le tableau indique les contraintes de chaque surface selon les spécifications dans le Gestionnaire du tableau de résultats .

Sélection des contraintes de surfaces dans le navigateur

Contraintes de surfaces dans le tableau

Les contraintes surfaciques sont réparties dans les catégories suivantes :

Contraintes de base : contraintes dans la direction des axes surfaciques
Contraintes principales : contraintes dans la direction des axes principaux
Composants de contrainte élastique : contraintes dues aux moments et aux efforts normaux
Contraintes équivalentes : contraintes selon différentes hypothèses de contraintes équivalentes

Contraintes de base

Les contraintes de base sont liées aux directions des axes surfaciques locaux. Lors de l'analyse des surfaces courbes, elles se réfèrent aux axes locaux des éléments finis (voir la figure Affichage des systèmes d'axes EF ).

Les contraintes de base sont représentées dans l'image Efforts internes et contraintes de surface . Elles sont définies comme suit :

σ_{x, +} = \frac{n_{x}}{d} + \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

d	épaisseur de surface

Contrainte σ_x,+ (dans la direction de l'axe x local du côté positif de la surface)

σ_{y, +} = \frac{n_{y}}{d} + \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Contrainte σ_y,+ (dans la direction de l'axe y local du côté positif de la surface)

σ_{x, -} = \frac{n_{x}}{d} - \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

Contrainte σ_x,- (dans la direction de l'axe x du côté négatif de la surface)

σ_{y, -} = \frac{n_{y}}{d} - \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Contrainte σ_y,- (dans la direction de l'axe y du côté négatif de la surface)

τ_{x y, +} = \frac{n_{x y}}{d} + \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Contrainte de torsion τ_xy,+ du côté positif de la surface

τ_{x y, -} = \frac{n_{x y}}{d} - \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Contrainte de torsion τ_xy,- du côté négatif de la surface

τ_{x z} = \frac{3 v_{x}}{2 d}

Contrainte de cisaillement τ_xz perpendiculaire à la surface en direction de l'axe x

τ_{y z} = \frac{3 v_{y}}{2 d}

Contrainte de cisaillement τ_yz perpendiculaire à la surface dans la direction de l'axe y

Contraintes principales

Alors que les contraintes de base se réfèrent au système de coordonnées xyz d'une surface, les contraintes principales représentent les valeurs extrêmes des contraintes dans un élément de surface. Les axes principaux 1 (valeur maximale) et 2 (valeur minimales) sont disposées en orthogonale. Il est possible d'afficher graphiquement les directions de l'axe principal α sous forme de trajectoires (voir l'image Affichage des trajectoires des axes principaux ).

Les contraintes principales sont déterminées à partir des contraintes de base comme suit :

σ_{1, +} = \frac{1}{2} [σ_{x, +} + σ_{y, +} + \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{x y, +}}^{2}}]

Contrainte σ_1,+ dans la direction de l'axe principal 1 sur le côté positif de la surface

σ_{2, +} = \frac{1}{2} [σ_{x, +} + σ_{y, +} - \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{x y, +}}^{2}}]

Contrainte σ_2,+ dans la direction de l'axe principal 2 sur le côté positif de la surface

α_{+} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, +}}{σ_{x, +} - σ_{y, +}}) \in (- 90 °, 90 °]

Angle σ₊ entre l'axe local x (ou y) et l'axe principal 1 (ou 2) pour les contraintes sur le côté positif de la surface

σ_{1, -} = \frac{1}{2} [σ_{x, -} + σ_{y, -} + \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{x y, -}}^{2}}]

Contrainte σ_1,- dans la direction de l'axe principal 1 sur le côté négatif de la surface

σ_{2, -} = \frac{1}{2} [σ_{x, -} + σ_{y, -} - \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{x y, -}}^{2}}]

Contrainte σ_2,- dans la direction de l'axe principal 2 du côté négatif de la surface

α_{-} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, -}}{σ_{x, -} - σ_{y, -}}) \in (- 90 °, 90 °]

Angle α_- Entre l'axe local x (ou y) et l'axe principal 1 (ou 2) pour les contraintes sur le côté négatif de la surface

σ_{1, m} = \frac{1}{2} [σ_{x, m} + σ_{y, m} + \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{x y, m}}^{2}}]

Contrainte de membrane σ_{1, m} en direction de l'axe principal 1

σ_{2, m} = \frac{1}{2} [σ_{x, m} + σ_{y, m} - \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{x y, m}}^{2}}]

Contrainte de membrane σ_2,m en direction de l'axe principal 2

α_{m} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, m}}{σ_{x, m} - σ_{y, m}}) \in (- 90 °, 90 °]

Angle α_m entre l'axe local x et l'axe principal 1 pour les contraintes de membrane

τ_{\max} = \sqrt{{τ_{x z}}^{2} + {τ_{y z}}^{2}}

Contrainte de cisaillement maximale τ_max perpendiculaire à la surface

Autres contraintes/Composants de contrainte élastique

Cette catégorie inclut les composants de contraintes dues aux moments fléchissants et aux efforts de membrane. Ils sont liés aux directions des axes surfaciques locaux. Lorsque les surfaces courbes sont analysées, elles se réfèrent aux axes des éléments finis.

Les contraintes de flexion et de membrane ont les significations suivantes :

σ_{x, b} = \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

d	épaisseur de surface

Contrainte σ_x,b due au moment fléchissant m_x

σ_{y, b} = \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Contrainte σ_y,b due au moment fléchissant m_y

τ_{x y, b} = \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Contrainte τ_xy,b due au moment de torsion m_xy

σ_{x, m} = \frac{n_{x}}{d}

Contrainte de membrane σ_x,m due à l'effort normal n_x

σ_{y, m} = \frac{n_{y}}{d}

Contrainte de membrane σ_y,m due à l'effort normal n_y

τ_{x y, m} = \frac{n_{x y}}{d}

Contrainte τ_{xy, m} due au flux de cisaillement n_xy

Contraintes équivalentes

Les contraintes de base sont combinées pour l'état de contrainte plane selon quatre hypothèses de contrainte équivalente.

von Mises

L'approche selon von Mises est aussi connue sous le nom de « hypothèse de modification de forme ». Elle est basée sur l'hypothèse que le matériau est défaillant lorsque l'énergie de déformation dépasse une certaine limite. Ce type d'énergie provoque la distorsion ou la déformation de l'objet. Cette approche constitue l'hypothèse de contraintes la plus utilisée et la plus fréquente. Celle-ci convient pour tous les matériaux qui ne sont pas fragiles. Elle est ainsi très utilisée dans la construction métallique. L'hypothèse de von Mises n'est pas adaptée aux conditions de contraintes hydrostatiques avec des contraintes principales égales dans toutes les directions, car la contrainte équivalente est nulle dans un tel cas.

Les contraintes équivalentes selon von Mises pour l'état planaire des contraintes signifient que :

σ_{v, Mises, Max} = \max (σ_{v, Mises, +}; σ_{v, Mises, -})

Contrainte équivalente maximale σ_v,Mises,max du côté positif ou négatif de la surface

σ_{v, Mises, +} = \sqrt{{σ_{x, +}}^{2} + {σ_{y, +}}^{2} - σ_{x, +} σ_{y, +} + 3 {τ_{x y, +}}^{2}}

Contrainte équivalente σ_v,Mises,+ du côté positif de la surface

σ_{v, Mises, -} = \sqrt{{σ_{x, -}}^{2} + {σ_{y, -}}^{2} - σ_{x, -} σ_{y, -} + 3 {τ_{x y, -}}^{2}}

Contrainte équivalente σ_v,Mises,- du côté négatif de la surface

σ_{v, Mises, m} = \sqrt{{σ_{x, m}}^{2} + {σ_{y, m}}^{2} - σ_{x, m} σ_{y, m} + 3 {τ_{x y, m}}^{2}}

Contrainte équivalente de membrane σ_v,Mises,m

Tresca

L'approche selon Tresca est aussi connue comme le « critère de la contrainte de cisaillement maximal ». On suppose que la rupture est provoquée par la contrainte de cisaillement maximale. Cette hypothèse est notamment applicable aux matériaux fragiles et est fréquemment utilisée dans le génie mécanique.

Les contraintes équivalentes selon Tresca sont déterminées comme suit :

σ_{v, Tresca, Max} = \max (σ_{v, Tresca, +}; σ_{v, Tresca, -})

Contrainte équivalente maximale σ_v,Tresca,max du côté positif ou négatif de la surface

σ_{v, Tresca, +} = \max (|σ_{1, +} - σ_{2, +}|; |σ_{2, +}|; |σ_{1, +}|) bzw .

σ_{v, Tresca, +} = \max (\sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}; |σ_{2, +}|; |σ_{1, +}|)

Contrainte équivalente σ_v,Tresca,+ du côté positif de la surface

σ_{v, Tresca, -} = \max (|σ_{1, -} - σ_{2, -}|; |σ_{2, -}|; |σ_{1, -}|) bzw .

σ_{v, Tresca, -} = \max (\sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}; |σ_{2, -}|; |σ_{1, -}|)

Contrainte équivalente σ_v,Tresca,- du côté négatif de la surface

σ_{v, Tresca, m} = \max (|σ_{1, m} - σ_{2, m}|; |σ_{2, m}|; |σ_{1, m}|) bzw .

σ_{v, Tresca, m} = \max (\sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}; |σ_{2, m}|; |σ_{1, m}|)

Contrainte équivalente de membrane σ_v,Tresca,m

Rankine

L'hypothèse des contraintes équivalentes de Rankine est également connue comme le « Critère de la contrainte principale maximale ». On suppose que la rupture est provoquée par la contrainte principale maximale.

Les contraintes équivalentes selon Rankine sont déterminées comme suit :

σ_{v, Rankine, Max} = \max (σ_{v, Rankine, +}; σ_{v, Rankine, -})

Contrainte équivalente maximale σ_{v, Rankine,max} du côté positif ou négatif de la surface

σ_{v, Rankine, +} = \frac{1}{2} |σ_{x, +} + σ_{y, +}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}

Contrainte équivalente σ_{v, Rankine, +} du côté positif de la surface

σ_{v, Rankine, -} = \frac{1}{2} |σ_{x, -} + σ_{y, -}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}

Contrainte équivalente σ_{v, Rankine,-} du côté négatif de la surface

σ_{v, Rankine, m} = \frac{1}{2} |σ_{x, m} + σ_{y, m}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}

Contrainte équivalente_{v, Rankine,m}

Bach

L'hypothèse de la contrainte équivalente selon Bach est également appelée « hypothèse de la déformation principale ». On suppose que la rupture se produit dans la direction de la plus grande déformation. Cette affirmation est similaire à l'analyse des contraintes selon Rankine. Cependant, la déformation principale est utilisée à la place de la contrainte principale dans ce cas.

Les contraintes équivalentes selon Bach sont déterminées comme suit :

σ_{v, Bach, Max} = \max (σ_{v, Bach, +}; σ_{v, Bach, -})

Contrainte équivalente maximale σ_v,Bach,max du côté positif ou négatif de la surface

σ_{v, Bach, +} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, +} + σ_{y, +}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}; ν |σ_{x, +} + σ_{y, +}|)

ν	Coefficient de poisson

Contrainte équivalente σ_v,Bach,+ du côté positif de la surface

σ_{v, Bach, -} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, -} + σ_{y, -}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}; ν |σ_{x, -} + σ_{y, -}|)

Contrainte équivalente σ_v,Bach,- du côté négatif de la surface

σ_{v, Bach, m} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, m} + σ_{y, m}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}; ν |σ_{x, m} + σ_{y, m}|)

Contrainte équivalente de membrane σ_v,Bach,m

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