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26.04.2023

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Efforts internes

Dans le navigateur, définissez les efforts internes à afficher sur les surfaces. Le tableau indique les efforts internes de chaque surface selon les spécifications du Gestionnaire du tableau de résultats .

Sélection des efforts internes de surfaces dans le navigateur

Efforts internes de base de surfaces dans le tableau

Les efforts internes surfaciques sont divisés en trois catégories :

Efforts internes de base : efforts internes et moments en direction des axes surfaciques
Efforts internes principaux : efforts internes et moments en direction des axes principaux
Efforts internes de calcul : efforts internes et moments selon DIN V ENV 1992-1-1 [1] Annexe 2, A 2.8 et A 2.9

Efforts internes de base

Contrairement aux efforts internes de barre, les efforts internes surfaciques sont symbolisés par des lettres minuscules. La définition intégrale des moments fléchissants m_x et m_y indique que des moments sont relatifs aux directions des axes de surface là où les contraintes normales sont créées.

Lorsque des surfaces courbes sont analysées, les efforts internes et les moments se réfèrent aux axes locaux des éléments finis. Vous pouvez définir l'affichage des « Systèmes d'axes EF » dans le navigateur.

Affichage du système d'axe EF

Important

Il existe une différence fondamentale dans la compréhension des efforts internes de surfaces et des efforts internes de barres : alors que le moment de barre My autour de l'axe local de barre_y est en « rotation », le moment surfacique my agit en direction de l'axe de surface local_y - c'est-à autour de l'axe de surface x.

La figure ci-dessous montre symboliquement les efforts internes et les contraintes de base d'une surface.

Efforts internes et contraintes de surface

Les moments surfaciques ainsi que les contraintes de cisaillement perpendiculaires à la surface présentent une distribution parabolique le long de l'épaisseur de la surface.

Signe

Les signes algébriques indiquent le côté de la surface sur lequel l'effort ou le moment interne est disponible : Si l'axe global Z pointe vers le bas, les efforts internes positifs génèrent des contraintes de traction sur le côté positif de la surface (c'est-à-dire en direction de l'axe positif de la surface z). Les efforts internes et les moments négatifs génèrent des contraintes de compression sur le côté positif de la surface. Si l'axe global Z est aligné vers le haut, les signes sont inversés en conséquence.

Les efforts internes de base sont déterminés avec l'axe Z pointant vers le bas à l'aide des équations suivantes :

m_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{x} z d z

Moment fléchissant m_x (création de contraintes dans la direction de l'axe x local)

m_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{y} z d z

Moment fléchissant m_y (création de contraintes dans la direction de l'axe y local)

m_{x y} = m_{y x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x y} z d z

Moments de torsion m_xy et m_yx

v_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x z} d z

Effort tranchant v_x

v_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{y z} d z

Effort tranchant v_y

n_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{x} d z

Effort normal n_x en direction de l'axe x local

n_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{y} d z

Effort normal n_y en direction de l'axe y local

n_{x y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x y} d z

Flux de cisaillement n_xy

Efforts internes principaux

Alors que les efforts et moments internes de base se réfèrent au système de coordonnées xyz créé plus ou moins librement d'une surface, les efforts et moments internes principaux représentent les valeurs extrêmes des efforts internes et des moments dans un élément surfacique. Pour déterminer les efforts internes principaux, les efforts internes de base sont transformés dans les directions des deux axes principaux. Les axes principaux 1 (valeur maximale) et 2 (valeur minimales) sont disposées en orthogonale.

Les efforts internes principaux sont déterminés à partir des efforts internes de base comme suit :

m_{1} = \frac{1}{2} [m_{x} + m_{y} + \sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}]

Moment fléchissant m₁ en direction de l'axe principal 1

m_{2} = \frac{1}{2} [m_{x} + m_{y} - \sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}]

Moment fléchissant m₂ en direction de l'axe principal 2

α_{b} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{2 m_{x y}}{m_{x} - m_{y}})]

Angle α_b entre l'axe local x (ou y) et l'axe principal 1 (ou 2)

m_{T, \max, b} = \frac{\sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}}{2}

Moment de torsion maximal m_T,max,b

v_{\max, b} = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

Effort tranchant maximal résultant v_{max, b} des composants de flexion

β_{b} = \arctan \frac{v_{y}}{v_{x}}

Angle β_b entre l'effort tranchant principal v-max,b et l'axe local x

n_{1} = \frac{1}{2} [n_{x} + n_{y} + \sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}]

Effort normal n₁ en direction de l'axe principal 1

n_{2} = \frac{1}{2} [n_{x} + n_{y} - \sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}]

Effort normal n₂ en direction de l'axe principal 2

α_{m} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{2 n_{x y}}{n_{x} - n_{y}})]

Angle α_m entre l'axe x et l'axe principal 1 (pour l'effort normal n₁ )

v_{\max, m} = \frac{\sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}}{2}

Effort tranchant maximal v_{max, m} des composants de la membrane

Vous pouvez afficher graphiquement les directions des axes principaux_αb (pour les moments fléchissants),_βb (pour les efforts tranchants) et_αm (pour les efforts normaux) comme trajectoires.

Affichage des trajectoires des axes principaux

Par exemple, si vous affichez l'angle α_b, vous pouvez également voir les grandeurs des moments principaux respectifs. Les trajectoires sont ajustées aux valeurs des moments m₁ et m₂.

Efforts internes de calcul

Les moments de calcul et les efforts normaux sont basés sur l'approche décrite dans DIN V ENV 1992-1-1 [1], Annexe 2, A 2.8 et A 2.9. Cela peut être utile lorsque vous effectuez manuellement des vérifications en béton armé. Les efforts internes de calcul ne sont pas pertinents pour le module complémentaire « Vérification du béton », car la méthode Baumann [2] y est utilisée.

Informations

Les moments de calcul et les efforts normaux ne doivent pas être combinés ! Comme expliqué dans l'Annexe 2.8 [1], les moments se rapportent exclusivement aux armatures de dalle. Les efforts normaux doivent être utilisés pour le calcul des éléments de diaphragme selon l'Annexe 2.9 [1].

Les efforts internes de calcul sont spécifiés dans le chapitre 8.17 du manuel de RFEM 5 ]].

Références

DIN V ENV 1992-1-1 : calcul des structures en béton - Partie 1 : Principes de base et règles d'application pour la construction. maison d'édition Beth, SARL
Baumann, Allemagne. Th. Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken. Th. Bauingenieur, 47, 1972.

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