Theoretische Anwendung
Eine zentrische Druckbeanspruchung liegt vor, wenn angenommen wird, dass die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung (Imperfektionen, fehlende Symmetrie etc.) vernachlässigt werden können, wobei insbesondere das von zahlreichen Parametern abhängige Schlankheitskriterium (Schlankheitskoeffizient, Grenzschlankheit, effektive Länge) zu beachten ist.
Bei der alleinigen Beanspruchung durch eine Normalkraft Ned entspricht sodann die Kraft, die durch den Betonquerschnitt ausgeglichen werden kann, seiner maximalen Drucktragfähigkeit, die direkt von seinem Querschnitt und seiner Beanspruchbarkeit abhängt. Die Bewehrung gleicht also den Rest der zentrischen Drucklast aus.
Anwendung der Theorie mit dem Zusatzmodul RF-BETON Stützen
Es werden nun die Ergebnisse untersucht, die wir automatisch bei der Berechnung der Bewehrung erhalten haben.
Die Parameter bleiben unverändert und sind nachfolgend noch einmal aufgeführt:
- Ständige Lasten: Ng = 1390 kN
- Veränderliche Lasten: Nq = 1000 kN
- Stützenlänge: l = 2,1 m
- Rechteckprofil: Breite b = 40 cm / Höhe h = 45 cm
- Eigengewicht der Stütze vernachlässigbar
- Stütze nicht in Verband integriert
- Betonfestigkeitsklasse: C25/30
- Stahl: S 500 A bei ansteigendem Ast
- Durchmesser der Längsbewehrung: ϕ = 20 mm
- Durchmesser der Querbewehrung: ϕt = 8 mm
- Betondeckung: 3 cm
Der zu berechnende tatsächliche Querschnitt
Da es in RF-BETON Stützen nicht möglich ist, die Querschnittshöhe zu optimieren, wird die tatsächliche Höhe h des Querschnitts direkt auf 45 cm abgeändert.
Bild 02 zeigt die Schritte zur Änderung der Höhe des Rechteckquerschnitts in RF-BETON Stützen.
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Materialkennwerte
Die Formeln zur Festigkeit und Verformung der Materialien sind in dem oben genannten Fachbeitrag erläutert.
Gesamtfläche des Betonquerschnitts
Ac = b ⋅ h = 0,40 ⋅ 0,45 = 0,18 m²
Bemessungswert der Druckfestigkeit des Betons
fcd = 16,7 MPa
Relative Druckverformung bei maximaler Spannung
εc2 = 2 ‰
Bemessungswert der Streckgrenze von Bewehrungsstahl
fyd = 435 MPa
Grenzverformung in Bewehrung
εud = 2,17 ‰
Spannung in Bewehrung
σs = 400 MPa
Zur Überprüfung der Materialeinstellungen in RF-BETON Stützen sind in Bild 03 die vorhandenen Spannungen und Dehnungen für Beton und die erforderliche Bewehrung dargestellt.
Grenzzustand der Tragfähigkeit
Beanspruchungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit
NEd = 1,35 ⋅ Ng + 1,5 ⋅ Nq
NEd = 1,35 ⋅ 1390 + 1,5 ⋅ 1000 = 3,38 MN
NEd... Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft
Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung sind im GZT nicht berücksichtigt.
Da das Modell dieses Fachbeitrags mit dem des Beitrags, der zum Vergleich herangezogen wird, identisch ist, haben wir die gleiche Stütze genauso wieder modelliert, also am Fuß eingespannt und am Kopf frei, um die Last korrekt am Stützenkopf ansetzen zu können. Wir berücksichtigen jedoch, dass die Stütze immerhin kopfseitig an Trägern befestigt ist. Dafür haben wir einen Knicklängenbeiwert auf die Stütze angesetzt, mit dem der Schlankheitswert der Stütze modifiziert werden kann.
Knicklängenbeiwert nach EN 1992-1-1 - 5.8.3.2 (3) - Formel 5.15
kcr = 0,59
Schlankheitsgrad nach EN 1992-1-1 - 5.8.3.2 (1) - Formel 5.14
λz = 10,73 m
Grenzschlankheit nach EN 1992-1-1 - 5.8.3.1 (1) - Formel 5.13N
n = 1,125
λlim = 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 0,7 / √1,125 = 10,16 m
λz > λlim → Die Bedingung ist nicht erfüllt.
Wir werden jedoch trotzdem mit einfachem Druck rechnen, da wir im Hinblick auf die geringe Abweichung sogleich sehen, dass mit dem mechanischen Bewehrungsgrad nämlich die Bedingung erfüllt wird. Hierzu ist in Bild 05 beschrieben, wie in RF-BETON Stützen die Möglichkeit des Knickens um jede Querschnittsachse deaktiviert werden kann.
Tragfähiger Querschnitt
Ausgleichskraft des Betons
Fc = Ac ⋅ fcd = 0,40 ⋅ 0,45 ⋅ 16,7 = 3 MN
Ausgleichskraft der Bewehrung
Fs = NEd - Fc = 3,38 - 3 = 0,38 MN
Wir leiten den entsprechenden Bewehrungsquerschnitt ab:
Fläche des Bewehrungsquerschnitts
As = Fs / σs = 0,38 / 400 ⋅ 104 = 9,5 cm²
Da wir den Bewehrungsstahl in RF-BETON Stützen mit einem Durchmesser von 20 mm eingestellt haben, ergibt sich eine vom Zusatzmodul automatisch ermittelte vorhandene Bewehrung von 4 Stäben mit einer Verteilung in den Ecken wie gewünscht, d.h. 1 HA 20 pro Ecke. Daraus ergibt sich folgende Bewehrungsquerschnittsfläche:
As = 4 ⋅ 3,142 = 12,57 cm²
Mechanischer Bewehrungsgrad
ω = (As ⋅ fyd) / (Ac ⋅ fcd) = 0,182
Abschlussnachweis der Grenzschlankheit
λlim = (20 ⋅ 0,7 ⋅ √(1 + 2 ⋅ 0,182) ⋅ 0,7) / √1,125 = 10,79 m
λz < λlim → Das Schlankheitskriterium ist erfüllt.
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