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Dipl.-Ing. (FH) Robert Vogl

2023-04-27

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Relazione di calcolo

Risultati per solido

È possibile visualizzare graficamente i risultati per i volumi tramite la categoria del navigatore Solido. I risultati numerici dei volumi sono disponibili nella categoria della tabella Risultati per solido.

Risultati per solido nella tabella

Informazione

Nella tabella e nella grafica, vengono visualizzati i risultati presenti sulle superfici di contorno del solido. Per esaminare i risultati all'interno del solido, attivare l'opzione Sui punti mesh EF nella categoria inferiore Valori sulle superfici. I valori nel solido possono quindi essere letti tramite un piano di taglio (vedere il capitolo Piani di taglio).

Deformazioni

L'immagine Risultati per solido nella tabella mostra la tabella con le deformazioni delle superfici di contorno. Gli spostamenti e le rotazioni sono forniti nei punti della griglia della superficie (vedere il capitolo Superfici ).

Suggerimento

Per superfici piccole, la dimensione predefinita della griglia di 0,5 m può comportare l'esistenza di pochi punti della griglia. In questo caso, adattare il numero o la distanza dei punti della griglia alla dimensione della superficie.

Le deformazioni significano:

\|u\|	Valore assoluto dello spostamento totale
u_X	Spostamento nella direzione dell'asse globale X
u_Y	Spostamento nella direzione dell'asse globale Y
u_Z	Spostamento nella direzione dell'asse globale Z
φ_X	Rotazione attorno all'asse globale X
φ_Y	Rotazione attorno all'asse globale Y
φ_Z	Rotazione attorno all'asse globale Z

Tensioni

Selezione delle tensioni solide nel Navigatore

Tensioni dei solidi nella tabella

Specificare nel navigatore quali tensioni visualizzare sulle superfici di contorno dei volumi. La tabella elenca le tensioni di queste superfici secondo le impostazioni definite nel Gestore tabelle risultati .

Le tensioni del solido sono suddivise nelle seguenti categorie:

Tensioni di base
Tensioni principali
Tensioni equivalenti
Invarianti delle tensioni

Tensioni di base

Le tensioni del solido non possono essere descritte con semplici equazioni come le tensioni superficiali. Le tensioni di base σ_x, σ_y e σ_z, comprese le tensioni tangenziali τ_yz, τ_xz e τ_xy, sono determinate direttamente dal kernel di calcolo.

Se un cubo con lunghezze dei bordi d_x, d_y e d_z viene ritagliato da un corpo sollecitato in modo multiassiale, le tensioni in ciascuna faccia del cubo possono essere scomposte in tensioni assiali e tangenziali. Trascurando le forze di volume e anche le differenze di tensione sulle facce parallele, lo stato tensionale può essere descritto nel sistema di coordinate locale del cubo da nove componenti di tensione.

Volumenelement mit Spannungskomponenten

La matrice del tensore delle tensioni è:

S = [\begin{matrix} σ_{x} & τ_{xy} & τ_{xz} \\ τ_{yx} & σ_{y} & τ_{yz} \\ τ_{zx} & τ_{zy} & σ_{z} \end{matrix}]

Matrice del tensore delle tensioni

Tensioni principali

Dai valori propri del tensore si ottengono le tensioni principali σ₁, σ₂ e σ₃ come segue:

\det (S - σ E) = 0

E	3x3 Einheitsmatrix

Tensioni principali

La massima tensione tangenziale τ_max è determinata secondo il cerchio di Mohr:

τ_{\max} = \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3})

Massima tensione tangenziale

Suggerimento

Con la voce del navigatore σ₁₂₃ è possibile visualizzare graficamente le traiettorie delle tensioni principali.

Tensioni equivalenti

Le tensioni equivalenti σ_v secondo von Mises possono essere determinate da due formule equivalenti.

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni principali

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni di base

Per la determinazione della tensione equivalente σ_v secondo Tresca , vengono esaminate le differenze delle tensioni principali per determinare il valore massimo.

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Tensione equivalente_{v, Tresca}

La tensione equivalente σ_v secondo Rankine è determinata dai massimi valori assoluti delle tensioni principali.

σ_{v, Rankine} = max (|σ_{1}|; |σ_{2}|; |σ_{3}|)

Tensione equivalente_{v, Rankine}

Per la determinazione della tensione equivalente σ_v secondo Bach , le differenze delle tensioni principali sono esaminate tenendo conto del coefficiente di Poisson ν, per determinare il valore massimo.

σ_{v, Bach} = max [|σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3})|; |σ_{2} - ν (σ_{3} + σ_{1})|; |σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2})|]

Tensione equivalente_{v, Bach}

Invarianti delle tensioni

Le invarianti delle tensioni consentono una descrizione indipendente dalle coordinate e quindi oggettiva dello stato tensionale di un materiale. In quanto grandezze scalari, rimangono invariate sotto rotazioni arbitrarie del sistema di coordinate e colgono le proprietà fisicamente rilevanti di questi stati indipendentemente dalla rappresentazione tensoriale scelta. La loro particolare importanza risiede nel fatto che molti fenomeni meccanici – in particolare lo scorrimento plastico, il cedimento e la frattura – non dipendono dalle singole componenti di tensione, ma da misure invarianti. Pertanto, le invarianti delle tensioni costituiscono la base di numerosi criteri di snervamento e cedimento consolidati, come le teorie di von Mises, Tresca o Drucker-Prager.

La tensione media p è legata alla prima invariante delle tensioni I₁ e descrive la tensione idrostatica. Risulta dalla media aritmetica delle tre tensioni principali e rappresenta la distanza del punto di tensione dall'origine delle coordinate sulla diagonale spaziale.

p = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{I_{1}}{3}

σ₁ , σ₂ , σ₃	Tensioni principali
I₁	Prima invariante di tensione

Pressione media p

Essa caratterizza lo stato medio di tensione assiale ed è significativamente responsabile delle variazioni di volume. Fisicamente, p corrisponde a uno stato uniforme di compressione o trazione che non causa alcuna modifica della forma, ma esclusivamente compressione o dilatazione. In molti materiali, in particolare nella meccanica dei terreni e delle rocce, così come nei materiali sensibili alla pressione, p influenza significativamente il comportamento di resistenza e deformazione.

La tensione deviatorica q è legata alla seconda invariante del deviatore delle tensioni J₂. Si determina come segue:

q = \sqrt{{σ_{1}}^{2} + {σ_{2}}^{2} + {σ_{3}}^{2} - σ_{1} σ_{2} - σ_{2} σ_{3} - σ_{3} σ_{1}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = \sqrt{{I_{1}}^{2} - 3 I_{2}} = \sqrt{3 J_{2}}

I₁	Primo invariante di tensione
I₂	Seconda invariante di tensione
J₂	Seconda invariante di tensione deviatric

Sforzo deviatorico q

Essa descrive la parte dello stato tensionale responsabile delle modifiche della forma (distorsioni taglianti), senza variare il volume. La parte deviatorica guida in particolare lo scorrimento plastico e il cedimento nei materiali duttili. Il criterio di snervamento di von Mises si basa direttamente su J₂ o q e chiarisce che la deformazione plastica è controllata principalmente dalle tensioni deviatoriche.

L'angolo di Lode θ indica la posizione del punto di tensione nel piano deviatorico. Il piano deviatorico è suddiviso in sei settori, quindi vale −30° ≤ θ ≤ 30°. L'angolo è determinato come segue:

θ = \frac{1}{3} \sin^{- 1} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{{J_{2}}^{3 / 2}})

J₂	Seconda invariante delle tensioni deviatoriche: 1/6 [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₂)²]
J₃	Invariante di tensione deviatorica del terzo ordine: 1/27 (2σ₁ – σ₂ – σ₃) (2σ₂ – σ₃ – σ₁) (2σ₃ – σ₁ – σ₂)

Angolo di carico θ

Uno stato di taglio puro si ottiene per θ = 0, mentre per θ = 30° si verifica lo stato tensionale σ₁ > σ₂ = σ₃, che corrisponde a una prova di compressione triassiale. Da θ = −30° risulta lo stato tensionale di una prova di trazione triassiale con σ₁ < σ₂ = σ₃.

Distorsioni

Selezione della distorsione volumetrica nel navigatore

Deformazioni sui solidi nella tabella

Specificare nel navigatore quali distorsioni visualizzare sulle superfici di contorno dei volumi. La tabella elenca le deformazioni di queste superfici secondo le impostazioni definite nel Gestore tabelle risultati .

Le distorsioni del solido sono suddivise nelle seguenti categorie:

Deformazioni totali di base
Deformazioni totali principali
Deformazioni totali equivalenti
Invarianti delle deformazioni

Deformazioni totali di base

Le deformazioni totali di base, comprese le distorsioni tangenziali, sono determinate direttamente dal kernel di calcolo. Per lo stato di distorsione spaziale, la definizione generale del tensore è:

ε = [\begin{matrix} ε_{x x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{y x} & ε_{y y} & ε_{y z} \\ ε_{z x} & ε_{z y} & ε_{z z} \end{matrix}]

Tensore per lo stato di deformazione

Gli elementi del tensore sono definiti come segue:

ε_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})

Elementi tensori

Deformazioni totali principali

Dalle deformazioni di base si determinano le deformazioni totali principali ε₁, ε₂ e ε₃.

Suggerimento

Con la voce del navigatore ε₁₂₃ è possibile visualizzare graficamente le traiettorie delle deformazioni principali.

Deformazioni totali equivalenti

Le deformazioni totali equivalenti ε_v sono determinate come segue secondo quattro diverse ipotesi di resistenza.

ε_{v, Mises} = \frac{1}{1 + ν} \sqrt{{ε_{x}}^{2} + {ε_{y}}^{2} + {ε_{z}}^{2} - ε_{x} ε_{y} - ε_{y} ε_{z} - ε_{z} ε_{x} + \frac{3}{4} ({γ_{x y}}^{2} + {γ_{y z}}^{2} + {γ_{x z}}^{2})}

Deformazione totale comparativa_{v, Mises}

ε_{v, Tresca} = \max (|R_{1} - R_{2}|; |R_{2} - R_{3}|; |R_{3} - R_{1}|)

R	Matrice (vedi sotto)

Deformazione totale comparativa ε_v,Tresca (massimo delle differenze di autovalori secondo la matrice R)

ε_{v, Rankine} = \max (|R_{1}|; |R_{2}|; |R_{3}|)

R	Matrix (siehe unten)

Vergleichsgesamtdehnung ε_v,Rankine (Maximum der Eigenwerte gemäß Matrix R)

ε_{v, Bach} = \max (|R_{1} - ν (R_{2} + R_{3})|; |R_{2} - ν (R_{3} + R_{1})|; |R_{3} - ν (R_{1} + R_{2})|)

R	Matrice (vedi sotto)

Deformazione totale comparativa_v,Bach (massimo delle differenze di autovalori secondo la matrice R tenendo conto del rapporto di Poisson's)

R = \frac{1}{1 + ν} [\begin{matrix} \frac{(1 - ν) ε_{x} + ν (ε_{y} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{γ_{x z}}{2} \\ \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{y} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{y z}}{2} \\ \frac{γ_{x z}}{2} & \frac{γ_{y z}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{z} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} \end{matrix}]

Matrice R

Invarianti delle deformazioni

Le invarianti delle deformazioni sono valori caratteristici del tensore delle deformazioni che rimangono indipendenti dall'orientamento del sistema di coordinate. Consentono una chiara separazione tra variazione di volume e modifica della forma di un materiale. La distinzione è centrale per l'analisi del comportamento del materiale, dei criteri di resistenza e dei modelli di plasticità.

L'invariante volumetrica delle deformazioni ε_v corrisponde alla parte isotropa della deformazione totale. È determinata dalle deformazioni principali:

ε_{v} = ε_{11} + ε_{22} + ε_{33}

Invariante di deformazione volumetrica ε_v

Le deformazioni deviatoriche ε_q o anche le distorsioni taglianti γ_s descrivono la pura modifica della forma senza variazione di volume. Si determinano come segue:

ε_{q} = \frac{1}{3} \sqrt{2 [{(ε_{11} - ε_{22})}^{2} + {(ε_{22} - ε_{33})}^{2} + {(ε_{33} - ε_{11})}^{2}] + 3 (2 {ε_{12}}^{2} + 2 {ε_{23}}^{2} + 2 {ε_{31}}^{2})}

Deformazione da taglio ε_q

Capitolo principale

Risultati