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Dipl.-Ing. (FH) Robert Vogl

27-04-2023

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Resultados por sólido

Puede mostrar gráficamente los resultados de sólidos a través de la categoría del Navegador Sólidos. En la tabla, los resultados numéricos de sólidos se encuentran en la categoría Resultados por sólido.

Resultados por sólido en la tabla

Información

En la tabla y gráfico, se muestran los resultados en las superficies límite del sólido. Para comprobar los resultados en el interior del sólido, active la opción En puntos de malla del EF en la categoría inferior Valores en superficies. Luego puede leer los valores en el sólido mediante un plano de corte (ver capítulo Planos de corte).

Deformaciones

La imagen Resultados por sólido en la tabla muestra la tabla con las deformaciones de las superficies límite. Las flechas y giros se muestran en los puntos de la cuadrícula de la superficie (ver capítulo Superficies ).

Consejo

Para superficies pequeñas, el tamaño de malla predeterminado de la cuadrícula de 0.5 m puede hacer que solo haya unos pocos puntos de cuadrícula. En este caso, ajuste el número o la distancia de los puntos de la cuadrícula al tamaño de la superficie.

Las deformaciones significan:

\|u\|	Valor absoluto de la flecha total
u_X	Flecha en la dirección del eje X global
u_Y	Flecha en la dirección del eje Y global
u_Z	Flecha en la dirección del eje Z global
φ_X	Giro alrededor del eje X global
φ_Y	Giro alrededor del eje Y global
φ_Z	Giro alrededor del eje Z global

Tensiones

Seleccionar tensiones de sólidos en el navegador

Tensiones de sólidos en tabla

En el Navegador, especifique qué tensiones se mostrarán en las superficies límite de los sólidos. La tabla enumera las tensiones de estas superficies según lo especificado en el Gestor de tablas de resultados .

Las tensiones en sólidos se dividen en las siguientes categorías:

Tensiones básicas
Tensiones principales
Tensiones equivalentes
Invariantes de tensión

Tensiones básicas

Las tensiones en sólidos no se pueden describir con ecuaciones simples como las tensiones en superficies. Las tensiones básicas σ_x, σ_y y σ_z, incluyendo las tensiones tangenciales τ_yz, τ_xz y τ_xy, se determinan directamente desde el núcleo de cálculo.

Si se corta un cubo con las longitudes de arista d_x, d_y y d_z de un cuerpo con solicitación multiaxial, las tensiones en cada cara del cubo se pueden descomponer en tensiones normales y tangenciales. Despreciando las fuerzas de volumen y también las diferencias de tensión en caras paralelas, el estado de tensión se puede describir mediante nueve componentes de tensión en el sistema de coordenadas local del cubo.

Elemento de un sólido con los componentes de la tensión

La matriz del tensor de tensiones es:

S = [\begin{matrix} σ_{x} & τ_{xy} & τ_{xz} \\ τ_{yx} & σ_{y} & τ_{yz} \\ τ_{zx} & τ_{zy} & σ_{z} \end{matrix}]

Matriz del tensor de tensiones

Tensiones principales

A partir de los valores propios del tensor, se obtienen las tensiones principales σ₁, σ₂ y σ₃ de la siguiente manera:

\det (S - σ E) = 0

E	3x3 Einheitsmatrix

Tensiones principales

La tensión tangencial máxima τ_max se determina según el círculo de Mohr:

τ_{\max} = \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3})

Tensión tangencial máxima

Consejo

Con la entrada del Navegador σ₁₂₃ puede mostrar gráficamente las trayectorias de las tensiones principales.

Tensiones equivalentes

Las tensiones equivalentes σ_v según von Mises se pueden determinar mediante dos fórmulas equivalentes.

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Tensión equivalente σ_v,Mises de las tensiones principales

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Tensión equivalente σ_v,Mises de las tensiones básicas

Para la determinación de la tensión equivalente σ_v según Tresca se examinan las diferencias de las tensiones principales para determinar el valor máximo a partir de ellas.

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Tensión equivalente σ_v,Tresca

La tensión equivalente σ_v según Rankine se determina a partir de los valores absolutos más grandes de las tensiones principales.

σ_{v, Rankine} = max (|σ_{1}|; |σ_{2}|; |σ_{3}|)

Tensión equivalente σ_v,Rankine

Para la determinación de la tensión equivalente σ_v según Bach se examinan las diferencias de tensiones principales considerando el coeficiente de Poisson ν, para determinar el valor máximo a partir de ellas.

σ_{v, Bach} = max [|σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3})|; |σ_{2} - ν (σ_{3} + σ_{1})|; |σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2})|]

Tensión equivalente σ_v,Bach

Invariantes de tensión

Los invariantes de tensión permiten una descripción independiente de las coordenadas y, por lo tanto, objetiva del estado tensional de un material. Como magnitudes escalares, permanecen inalteradas bajo giros arbitrarios del sistema de coordenadas y registran las propiedades físicamente relevantes de estos estados independientemente de la representación tensorial elegida. Su significado especial radica en que muchos fenómenos mecánicos – en particular la fluencia plástica, el fallo y la rotura – no dependen de componentes de tensión individuales, sino de invariantes escalares. Así, los invariantes de tensión forman la base de numerosos criterios de fluencia y fallo establecidos, como las teorías de von Mises, Tresca o Drucker-Prager.

La tensión media p está vinculada con el primer invariante de tensión I₁ y describe la tensión hidrostática. Resulta de la media aritmética de las tres tensiones principales y representa la distancia del punto de tensión al origen de coordenadas en la diagonal espacial.

p = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{I_{1}}{3}

σ₁ , σ₂ , σ₃	Tensiones principales
I₁	Primer invariante de tensión

Presión media p

Caracteriza el estado de tensión normal media y es responsable principal de los cambios de volumen. Físicamente, p corresponde a un estado uniforme de presión o tracción que no causa cambio de forma, sino exclusivamente compresión o dilatación. En muchos materiales, particularmente en la mecánica de suelos y rocas, así como en materiales sensibles a la presión, p influye significativamente en el comportamiento de resistencia y deformación.

La tensión desviadora q está vinculada con el segundo invariante del desviador de tensiones J₂. Se determina de la siguiente manera:

q = \sqrt{{σ_{1}}^{2} + {σ_{2}}^{2} + {σ_{3}}^{2} - σ_{1} σ_{2} - σ_{2} σ_{3} - σ_{3} σ_{1}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = \sqrt{{I_{1}}^{2} - 3 I_{2}} = \sqrt{3 J_{2}}

I₁	Primer invariante de tensiones
I₂	Segundo invariante del esfuerzo
J₂	Segunda invariante del esfuerzo desviador

Esfuerzo de desviación q

Describe la parte del estado tensional que es responsable de los cambios de forma (deformaciones de corte), sin cambiar el volumen. La parte desviadora impulsa particularmente la fluencia plástica y el fallo en materiales dúctiles. El criterio de fluencia de von Mises se basa directamente en J₂ o q y destaca que la deformación plástica está controlada principalmente por tensiones desviadoras.

El ángulo de Lode θ indica la posición del punto de tensión en el plano desviador. El plano desviador se divide en seis sectores, de modo que se cumple −30° ≤ θ ≤ 30°. El ángulo se determina de la siguiente manera:

θ = \frac{1}{3} \sin^{- 1} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{{J_{2}}^{3 / 2}})

J₂	Segunda invariante de tensión desviadora: 1/6 [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₂)²]
J₃	Invariante de tensión desviadora de tercer orden: 1/27 (2σ₁ – σ₂ – σ₃) (2σ₂ – σ₃ – σ₁) (2σ₃ – σ₁ – σ₂)

Ángulo de Lode θ

Una solicitación de corte puro resulta para θ = 0, mientras que para θ = 30° se produce el estado de tensión σ₁ > σ₂ = σ₃, que corresponde a un ensayo de compresión triaxial. De θ = −30° resulta el estado de tensión de un ensayo de tracción triaxial con σ₁ < σ₂ = σ₃.

Deformaciones totales

Seleccionar distorsiones volumétricas en el Navegador

Deformaciones en sólidos en la tabla

En el Navegador, especifique qué deformaciones se mostrarán en las superficies límite de los sólidos. La tabla enumera las deformaciones de estas superficies según lo especificado en el Gestor de tablas de resultados .

Las deformaciones en sólidos se dividen en las siguientes categorías:

Deformaciones totales básicas
Deformaciones totales principales
Deformaciones totales equivalentes
Invariantes de deformación

Deformaciones totales básicas

Las deformaciones totales básicas, incluyendo las distorsiones, se determinan directamente desde el núcleo de cálculo. Para el estado de deformación espacial, la definición general del tensor es:

ε = [\begin{matrix} ε_{x x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{y x} & ε_{y y} & ε_{y z} \\ ε_{z x} & ε_{z y} & ε_{z z} \end{matrix}]

Tensor para el estado de deformación

Los elementos del tensor se definen de la siguiente manera:

ε_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})

Elementos tensores

Deformaciones totales principales

A partir de las deformaciones básicas, se determinan las deformaciones totales principales ε₁, ε₂ y ε₃.

Consejo

Con la entrada del Navegador ε₁₂₃ puede mostrar gráficamente las trayectorias de las deformaciones principales.

Deformaciones totales equivalentes

Las deformaciones totales equivalentes ε_v se determinan de la siguiente manera según cuatro hipótesis de tensión diferentes.

ε_{v, Mises} = \frac{1}{1 + ν} \sqrt{{ε_{x}}^{2} + {ε_{y}}^{2} + {ε_{z}}^{2} - ε_{x} ε_{y} - ε_{y} ε_{z} - ε_{z} ε_{x} + \frac{3}{4} ({γ_{x y}}^{2} + {γ_{y z}}^{2} + {γ_{x z}}^{2})}

Deformación total comparativa ε_v,Mises

ε_{v, Tresca} = \max (|R_{1} - R_{2}|; |R_{2} - R_{3}|; |R_{3} - R_{1}|)

R	Matriz (ver a continuación)

Deformación total comparativa ε_v,Tresca (la máxima diferencia entre valores propios según la matriz R)

ε_{v, Rankine} = \max (|R_{1}|; |R_{2}|; |R_{3}|)

R	Matrix (siehe unten)

Deformación total comparativa ε_v,Rankine (la máxima diferencia entre valores propios según la matriz R)

ε_{v, Bach} = \max (|R_{1} - ν (R_{2} + R_{3})|; |R_{2} - ν (R_{3} + R_{1})|; |R_{3} - ν (R_{1} + R_{2})|)

R	Matriz (ver a continuación)

Deformación total comparativa ε_v,Bach (la máxima diferencia entre valores propios según la matriz R considerando el coeficiente de Poisson ν)

R = \frac{1}{1 + ν} [\begin{matrix} \frac{(1 - ν) ε_{x} + ν (ε_{y} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{γ_{x z}}{2} \\ \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{y} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{y z}}{2} \\ \frac{γ_{x z}}{2} & \frac{γ_{y z}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{z} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} \end{matrix}]

Matriz R

Invariantes de deformación

Los invariantes de deformación son valores característicos del tensor de deformaciones que permanecen independientes de la orientación del sistema de coordenadas. Permiten una separación clara entre el cambio de volumen y el cambio de forma de un material. La distinción es fundamental para el análisis del comportamiento del material, los criterios de resistencia y los modelos de plasticidad.

El invariante de deformación volumétrica ε_v corresponde a la parte isótropa de las deformaciones totales. Se determina a partir de las deformaciones principales:

ε_{v} = ε_{11} + ε_{22} + ε_{33}

Invariante de deformación volumétrica ε_v

Las deformaciones desviadoras ε_q o también deformaciones de corte γ_s describen el cambio de forma puro sin cambio de volumen. Se determinan de la siguiente manera:

ε_{q} = \frac{1}{3} \sqrt{2 [{(ε_{11} - ε_{22})}^{2} + {(ε_{22} - ε_{33})}^{2} + {(ε_{33} - ε_{11})}^{2}] + 3 (2 {ε_{12}}^{2} + 2 {ε_{23}}^{2} + 2 {ε_{31}}^{2})}

Deformación por cortante ε_q

Capítulo principal

Resultados