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26. April 2023

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Schnittgrößen

Legen Sie im Navigator fest, welche Schnittgrößen an den Flächen dargestellt werden sollen. Die Tabelle listet die Schnittgrößen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind.

Flächenschnittgrößen im Navigator auswählen

Grundschnittgrößen der Flächen in Tabelle

Die Flächenschnittgrößen sind in drei Kategorien unterteilt:

Grundschnittgrößen: Schnittgrößen in Richtung der Flächenachsen
Hauptschnittgrößen: Schnittgrößen in Richtung der Hauptachsen
Bemessungsschnittgrößen: Schnittgrößen nach DIN V ENV 1992-1-1 [1] Anhang 2, A 2.8 und A 2.9

Grundschnittgrößen

Flächenschnittgrößen sind – im Unterschied zu Stabschnittgrößen – mit kleinen Buchstaben symbolisiert. Aus der Integraldefinition der Biegemomente m_x und m_y geht hervor, dass die Momente auf die Richtungen der Flächenachsen bezogen sind, in die die entsprechenden Normalspannungen erzeugt werden.

Bei gekrümmten Flächen sind die Schnittgrößen auf die lokalen Achsen der finiten Elemente bezogen. Sie können die 'FE-Achsensysteme' im Navigator - Anzeige einblenden.

FE-Achsensysteme anzeigen

Wichtig

Es besteht ein grundsätzlicher Unterschied beim Verständnis von Flächen- und Stabschnittgrößen: Während ein Stabmoment M_y um die lokale Stabachse y "dreht", wirkt ein Flächenmoment m_y in Richtung der lokalen Flächenachse y – also um die Flächenachse x.

Das folgende Bild stellt die Grundschnittgrößen und Grundspannungen einer Fläche symbolhaft dar.

Flächenschnittgrößen und Flächenspannungen

Die Flächenmomente sowie die Schubspannungen senkrecht zur Fläche weisen einen parabolischen Verlauf über die Flächendicke auf.

Vorzeichen

Aus den Vorzeichen können Sie erkennen, auf welcher Flächenseite die Schnittgröße vorliegt: Zeigt die globale Z-Achse nach unten, so erzeugen positive Schnittgrößen Zugspannungen auf der positiven Flächenseite (also in Richtung der positiven Flächenachse z). Negative Schnittgrößen führen zu Druckspannungen auf der positiven Flächenseite. Ist die globale Z-Achse nach oben ausgerichtet, kehren sich die Vorzeichen entsprechend um.

Die Grundschnittgrößen werden bei nach unten zeigender Z-Achse mit folgenden Gleichungen ermittelt:

m_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{x} z d z

Biegemoment m_x (erzeugt Spannungen in Richtung der lokalen x-Achse)

m_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{y} z d z

Biegemoment m_y (erzeugt Spannungen in Richtung der lokalen y-Achse)

m_{x y} = m_{y x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x y} z d z

Drillmomente m_xy und m_yx

v_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x z} d z

Querkraft v_x

v_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{y z} d z

Querkraft v_y

n_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{x} d z

Normalkraft n_x in Richtung der lokalen x-Achse

n_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{y} d z

Normalkraft n_y in Richtung der lokalen y-Achse

n_{x y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x y} d z

Schubfluss n_xy

Hauptschnittgrößen

Während sich die Grundschnittgrößen auf das mehr oder weniger frei angelegte xyz-Koordinatensystem einer Fläche beziehen, stellen die Hauptschnittgrößen die Extremwerte der Schnittgrößen in einem Flächenelement dar. Zur Ermittlung der Hauptschnittgrößen werden die Grundschnittgrößen in die Richtungen der beiden Hauptachsen transformiert. Die Hauptachsen 1 (Maximalwert) und 2 (Minimalwert) sind orthogonal angeordnet.

Die Hauptschnittgrößen werden wie folgt aus den Grundschnittgrößen ermittelt:

m_{1} = \frac{1}{2} [m_{x} + m_{y} + \sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}]

Biegemoment m₁ in Richtung der Hauptachse 1

m_{2} = \frac{1}{2} [m_{x} + m_{y} - \sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}]

Biegemoment m₂ in Richtung der Hauptachse 2

α_{b} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{2 m_{x y}}{m_{x} - m_{y}})]

Winkel α_b zwischen der lokalen Achse x (bzw. y) und der Hauptachse 1 (bzw. 2)

m_{T, \max, b} = \frac{\sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}}{2}

Maximales Torsionsmoment m_T,max,b

v_{\max, b} = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

Maximale resultierende Querkraft v_max,b aus Biegeanteilen

β_{b} = \arctan \frac{v_{y}}{v_{x}}

Winkel β_b zwischen Hauptquerkraft v-max,b und lokaler Achse x

n_{1} = \frac{1}{2} [n_{x} + n_{y} + \sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}]

Normalkraft n₁ in Richtung der Hauptachse 1

n_{2} = \frac{1}{2} [n_{x} + n_{y} - \sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}]

Normalkraft n₂ in Richtung der Hauptachse 2

α_{m} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{2 n_{x y}}{n_{x} - n_{y}})]

Winkel α_m zwischen Achse x und Hauptachse 1 (für Normalkraft n₁)

v_{\max, m} = \frac{\sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}}{2}

Maximale Querkraft v_max,m aus Membrananteilen

Sie können die Hauptachsenrichtungen α_b (für Biegemomente), β_b (für Querkräfte) und α_m (für Normalkräfte) grafisch als Trajektorien anzeigen.

Trajektorien der Hauptachsen darstellen

Wenn Sie beispielsweise den Winkel α_b darstellen, können Sie auch die Größen der jeweiligen Hauptmomente erkennen. Die Trajektorien sind auf die Werte der Momente m₁ und m₂ skaliert.

Bemessungsschnittgrößen

Die Bemessungsmomente und -normalkräfte basieren auf den in DIN V ENV 1992-1-1 [1] Anhang 2, A 2.8 und A 2.9 vorgestellten Verfahren. Damit steht Ihnen ein Hilfsmittel für die manuelle Stahlbetonbemessung zur Verfügung. Für das Add-On 'Betonbemessung' sind die Bemessungsschnittgrößen ohne Bedeutung, da dort das Verfahren nach Baumann [2] verwendet wird.

Info

Die Bemessungsmomente und -normalkräfte dürfen nicht kombiniert werden! Wie in [1] Anhang 2.8 dargelegt, sind die Momente ausschließlich auf Plattenbewehrungen bezogen. Die Normalkräfte sind für die Bemessung von Scheibenelementen gemäß [1] Anhang 2.9 anzuwenden.

Die Bemessungsschnittgrößen sind im Kapitel 8.17 des RFEM 5-Handbuchs angegeben.

Referenzen

DIN V ENV 1992-1-1: Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken – Teil 1: Grundlagen und Anwendungsregeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 1992
Th. Baumann. Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken. Der Bauingenieur, 47, 1972.

Übergeordnetes Kapitel

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