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Dipl.-Ing. (FH) Robert Vogl

2023-04-27

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Risultati per solido

È possibile visualizzare graficamente i risultati per i volumi tramite la categoria del navigatore Solidi. I risultati numerici dei volumi si trovano nella categoria della tabella Risultati per solidi.

Risultati per solido nella tabella

Informazione

Nella tabella e nella grafica vengono visualizzati i risultati disponibili sulle superfici di contorno del solido. Per verificare i risultati all'interno del solido, attivare nella categoria inferiore Valori sulle superfici l'opzione Nei nodi EF. I valori nel solido possono quindi essere letti tramite un piano di taglio (vedere il capitolo Piani di taglio).

Deformazioni

L'immagine Risultati per solidi nella tabella mostra la tabella con le deformazioni delle superfici di contorno. Gli spostamenti e le rotazioni sono visualizzati nei punti della griglia delle superfici (vedere il capitolo Superfici ).

Suggerimento

Per superfici piccole, la dimensione standard della maglia della griglia di 0,5 m può portare all'esistenza di soli pochi punti della griglia. In questo caso, adattare il numero o la distanza dei punti della griglia alla dimensione della superficie.

Le deformazioni significano:

\|u\|	Valore assoluto dello spostamento totale
u_X	Spostamento in direzione dell'asse globale X
u_Y	Spostamento in direzione dell'asse globale Y
u_Z	Spostamento in direzione dell'asse globale Z
φ_X	Rotazione intorno all'asse globale X
φ_Y	Rotazione intorno all'asse globale Y
φ_Z	Rotazione intorno all'asse globale Z

Tensioni

Selezione delle tensioni solide nel Navigatore

Tensioni dei solidi nella tabella

Definire nel navigatore quali tensioni devono essere visualizzate sulle superfici di contorno dei solidi. La tabella elenca le tensioni di queste superfici secondo le impostazioni definite nel Gestore tabelle dei risultati .

Le tensioni dei solidi sono suddivise nelle seguenti categorie:

Tensioni di base
Tensioni principali
Tensioni equivalenti
Invarianti di tensione

Tensioni di base

Le tensioni dei solidi non possono essere descritte con semplici equazioni come le tensioni delle superfici. Le tensioni di base σ_x, σ_y e σ_z, incluse le tensioni tangenziali τ_yz, τ_xz e τ_xy, vengono determinate direttamente dal kernel di calcolo.

Se un cubo con lunghezze degli spigoli d_x, d_y e d_z viene ritagliato da un corpo sollecitato multiassialmente, le tensioni su ogni faccia del cubo possono essere scomposte in tensioni normali e tangenziali. Trascurando la forza di volume e anche le differenze di tensione sulle facce parallele, lo stato di tensione nel sistema di coordinate locale del cubo può essere descritto da nove componenti di tensione.

Volumenelement mit Spannungskomponenten

La matrice del tensore di tensione è:

σ = [\begin{matrix} σ_{x} & τ_{xy} & τ_{xz} \\ τ_{yx} & σ_{y} & τ_{yz} \\ τ_{zx} & τ_{zy} & σ_{z} \end{matrix}]

Matrice del tensore delle tensioni

Tensioni principali

Dagli autovalori del tensore si ottengono le tensioni principali σ₁, σ₂ e σ₃ come segue:

\det (σ - σ E) = 0

E	3x3 Einheitsmatrix

Tensioni principali

La tensione tangenziale massima τ_max è determinata secondo il cerchio di Mohr:

τ_{\max} = \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3})

Massima tensione tangenziale

Suggerimento

Con la voce del navigatore σ₁₂₃ è possibile rappresentare graficamente le traiettorie delle tensioni principali.

Tensioni equivalenti

Le tensioni equivalenti σ_v secondo von Mises possono essere determinate con due formule equivalenti.

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni principali

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni di base

Per la determinazione della tensione equivalente σ_v secondo Tresca , vengono esaminate le differenze delle tensioni principali per determinarne il valore massimo.

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Tensione equivalente σ_v,Tresca

La tensione equivalente σ_v secondo Rankine si ottiene dai maggiori valori assoluti delle tensioni principali.

σ_{v, Rankine} = max (|σ_{1}|; |σ_{2}|; |σ_{3}|)

Tensione equivalente σ_v,Rankine

Per la determinazione della tensione equivalente σ_v secondo Bach , vengono esaminate le differenze delle tensioni principali considerando il coefficiente di Poisson ν, per determinarne il valore massimo.

σ_{v, Bach} = max [|σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3})|; |σ_{2} - ν (σ_{3} + σ_{1})|; |σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2})|]

Tensione equivalente_{v, Bach}

Invarianti di tensione

Gli invarianti di tensione consentono una descrizione indipendente dalle coordinate e quindi oggettiva dello stato di tensione di un materiale. Come grandezze scalari, rimangono invariati sotto rotazioni arbitrarie del sistema di coordinate e rilevano le proprietà fisicamente rilevanti di questi stati indipendentemente dalla rappresentazione tensoriale scelta. La loro particolare importanza risiede nel fatto che molti fenomeni meccanici – in particolare lo scorrimento plastico, la rottura e la frattura – non dipendono dalle singole componenti di tensione, ma da misure invarianti. Gli invarianti di tensione costituiscono quindi la base di numerosi criteri di snervamento e di rottura consolidati, come le teorie di von Mises, di Tresca o di Drucker-Prager.

La tensione media p è legata al primo invariante di tensione I₁ e descrive la tensione idrostatica. Risulta dalla media aritmetica delle tre tensioni principali e rappresenta la distanza del punto di tensione dall'origine delle coordinate sulla diagonale dello spazio.

p = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{I_{1}}{3}

σ₁ , σ₂ , σ₃	Tensioni principali
I₁	Prima invariante di tensione

Pressione media p

Caratterizza lo stato medio di tensione normale ed è responsabile principalmente delle variazioni di volume. Fisicamente, p corrisponde a uno stato uniforme di compressione o trazione che non provoca modifica della forma, ma esclusivamente compressione o dilatazione. In molti materiali, in particolare nella meccanica dei terreni e delle rocce e nei materiali sensibili alla pressione, p influenza essenzialmente il comportamento di resistenza e deformazione.

La tensione deviatorica q è legata al secondo invariante del deviatore di tensione J₂. Si determina come segue:

q = \sqrt{{σ_{1}}^{2} + {σ_{2}}^{2} + {σ_{3}}^{2} - σ_{1} σ_{2} - σ_{2} σ_{3} - σ_{3} σ_{1}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = \sqrt{{I_{1}}^{2} - 3 I_{2}} = \sqrt{3 J_{2}}

I₁	Primo invariante di tensione
I₂	Seconda invariante di tensione
J₂	Seconda invariante di tensione deviatric

Sforzo deviatorico q

Descrive la parte dello stato di tensione responsabile delle modifiche della forma (distorsioni di taglio), senza modificare il volume. La parte deviatorica determina in particolare lo scorrimento plastico e la rottura nei materiali duttili. Il criterio di snervamento di von Mises si basa direttamente su J₂ ovvero su q e chiarisce che la deformazione plastica è controllata principalmente dalle tensioni deviatoriche.

L'angolo di Lode θ indica la posizione del punto di tensione nel piano deviatorico. Il piano deviatorico è suddiviso in sei settori, per cui vale −30° ≤ θ ≤ 30°. L'angolo è determinato come segue:

θ = \frac{1}{3} \sin^{- 1} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{{J_{2}}^{3 / 2}})

J₂	Seconda invariante delle tensioni deviatoriche: 1/6 [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₂)²]
J₃	Invariante di tensione deviatorica del terzo ordine: 1/27 (2σ₁ – σ₂ – σ₃) (2σ₂ – σ₃ – σ₁) (2σ₃ – σ₁ – σ₂)

Angolo di carico θ

Una sollecitazione di taglio puro si ottiene per θ = 0, mentre per θ = 30° si origina lo stato di tensione σ₁ > σ₂ = σ₃, che corrisponde a una prova di compressione triassiale. Da θ = −30° risulta lo stato di tensione di una prova di trazione triassiale con σ₁ < σ₂ = σ₃.

Distorsioni

Selezione della distorsione volumetrica nel navigatore

Deformazioni sui solidi nella tabella

Definire nel navigatore quali distorsioni devono essere visualizzate sulle superfici di contorno dei solidi. La tabella elenca le deformazioni di queste superfici secondo le impostazioni definite nel Gestore tabelle dei risultati .

Le distorsioni dei solidi sono suddivise nelle seguenti categorie:

Deformazioni totali di base
Deformazioni totali principali
Deformazioni totali equivalenti
Invarianti di deformazione

Deformazioni totali di base

Le deformazioni totali di base, incluse le distorsioni di taglio, vengono determinate direttamente dal kernel di calcolo. Per lo stato di distorsione spaziale, la definizione generale del tensore è:

ε = [\begin{matrix} ε_{x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{x y} & ε_{y} & ε_{y z} \\ ε_{x z} & ε_{y z} & ε_{z} \end{matrix}]

Tensore per lo stato di deformazione

Gli elementi del tensore sono definiti come segue:

ε_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})

Elementi tensori

Deformazioni totali principali

Dalle deformazioni di base vengono determinate le deformazioni totali principali ε₁, ε₂ e ε₃.

Suggerimento

Con la voce del navigatore ε₁₂₃ è possibile rappresentare graficamente le traiettorie delle deformazioni principali.

Deformazioni totali equivalenti

Le deformazioni totali equivalenti ε_v vengono determinate come segue secondo quattro diverse ipotesi di tensione.

ε_{v, Mises} = \frac{1}{1 + ν} \sqrt{{ε_{x}}^{2} + {ε_{y}}^{2} + {ε_{z}}^{2} - ε_{x} ε_{y} - ε_{y} ε_{z} - ε_{z} ε_{x} + \frac{3}{4} ({γ_{x y}}^{2} + {γ_{y z}}^{2} + {γ_{x z}}^{2})}

γ_xy	2ϵ_xy
γ_yz	2ϵ_yz
γ_xz	2ϵ_xz

Tensione equivalente totale ε_v,Mises

ε_{v, Tresca} = \max (|R_{1} - R_{2}|; |R_{2} - R_{3}|; |R_{3} - R_{1}|)

R	Matrice (vedi sotto)

Deformazione totale comparativa ε_v,Tresca (massimo delle differenze degli autovalori secondo la matrice R)

ε_{v, Rankine} = \max (|R_{1}|; |R_{2}|; |R_{3}|)

R	Matrix (siehe unten)

Deformazione complessiva comparativa ε_v,Rankine (massimo dei valori propri secondo la matrice R)

ε_{v, Bach} = \max (|R_{1} - ν (R_{2} + R_{3})|; |R_{2} - ν (R_{3} + R_{1})|; |R_{3} - ν (R_{1} + R_{2})|)

R	Matrice (vedi sotto)

Deformazione totale equivalente ε_v,Bach (massimo delle differenze degli autovalori secondo la Matrice R considerando il Coefficiente di Poisson ν)

R = \frac{1}{1 + ν} [\begin{matrix} \frac{(1 - ν) ε_{x} + ν (ε_{y} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{γ_{x z}}{2} \\ \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{y} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{y z}}{2} \\ \frac{γ_{x z}}{2} & \frac{γ_{y z}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{z} + ν (ε_{x} + ε_{y})}{1 - 2 ν} \end{matrix}]

Matrice R

Invarianti di deformazione

Gli invarianti di deformazione sono valori caratteristici del tensore di deformazione che rimangono indipendenti dall'orientamento del sistema di coordinate. Consentono una chiara separazione tra variazione di volume e modifica della forma di un materiale. La distinzione è fondamentale per l'analisi del comportamento del materiale, dei criteri di resistenza e dei modelli di plasticità.

L'invariante di deformazione volumetrica ε_v corrisponde alla parte isotropa delle deformazioni totali.

ε_{v} = ε_{x} + ε_{y} + ε_{z}

Invariante di deformazione volumetrica ε_v

Le deformazioni deviatoriche ε_q o anche distorsioni di taglio γ_s descrivono la pura modifica della forma senza variazione di volume. Si determinano come segue:

ε_{q} = \frac{1}{3} \sqrt{2 [{(ε_{y} - ε_{z})}^{2} + {(ε_{x} - ε_{z})}^{2} + {(ε_{x} - ε_{y})}^{2}] + 3 (γ_{y z}^{2} + γ_{x z}^{2} + γ_{x y}^{2})}

Deformazione di taglio ε_q

Capitolo principale

Risultati