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Dipl.-Ing. Frank Faulstich

2023-12-14

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Comportamento non lineare del materiale

Modelli di materiale

Se nelle Impostazioni di base del modello l'Add-On di analisi Comportamento del materiale nonlineare è attivato (è richiesta una licenza), oltre ai modelli di materiale Isotropo | Linearmente elastico e Ortotropo | Linearmente elastico sono disponibili ulteriori opzioni nella lista dei modelli di materiale.

Modelli di materiale per l'Add-On di analisi 'Comportamento non lineare del materiale'

Metodo di calcolo

Quando si utilizza un modello di materiale nonlineare, viene sempre eseguito un calcolo iterativo. A seconda del modello di materiale viene definita una relazione diversa tra tensioni e deformazioni.

La rigidezza degli elementi finiti viene adattata ripetutamente nel corso delle iterazioni, finché la relazione tensioni-deformazioni non è rispettata. L'adattamento avviene sempre per un intero elemento di superficie o elemento solido. Per la valutazione delle tensioni si dovrebbe quindi sempre utilizzare il tipo di smoothing Costante negli elementi della mesh.

Smussamento dei risultati

Modelli di materiale plastici e nonlinearmente elastici

Alcuni modelli di materiale sono designati in RFEM come "plastici", altri come "nonlinearmente elastici". Se un componente con materiale nonlinearmente elastico viene nuovamente scaricato, la deformazione ritorna lungo lo stesso percorso. Al completo scaricamento non rimane alcuna deformazione.

Diagramma tensione-deformazione, elastico non lineare

Allo scaricamento di un componente con un modello di materiale plastico rimane dopo lo scaricamento completo una deformazione residua.

Diagramma tensione-deformazione, plastica

Il carico e lo scarico può essere simulato con l'Add-On Analisi degli stati di costruzione.

Suggerimento

Ulteriori informazioni sui modelli di materiale nonlinearmente elastici sono disponibili nell'articolo tecnico Leggi di snervamento nel modello di materiale Isotropo nonlinearmente elastico.

Forze interne della superficie

Le forze interne nelle piastre con materiale nonlineare derivano dall'integrazione numerica delle tensioni lungo lo spessore della piastra. Per definire il metodo di integrazione per lo spessore, attivare nella finestra di dialogo 'Modifica spessore' l'opzione Specificare metodo di integrazione. Sono così disponibili i seguenti metodi di integrazione:

Quadratura Gauss-Lobatto
Regola di Simpson
Regola dei trapezi

Definire il metodo di integrazione per lo spessore della superficie

Inoltre è possibile definire il 'Numero di punti di integrazione' lungo lo spessore della piastra da 3 a 99.

Suggerimento

I fondamenti teorici dei singoli metodi di integrazione sono descritti nel manuale Superfici multistrato.

Isotropo | Plastico (aste)

Se nella lista a discesa 'Modello di materiale' si seleziona la voce Isotropo | Plastico (aste), la scheda per l'inserimento dei parametri nonlineari del materiale diventa attiva.

Attiva il modello del materiale non lineare

Definisci i parametri del materiale non lineare

In questa scheda si definisce il diagramma tensione-deformazione. Sono disponibili le seguenti opzioni:

Standard
Bilineare
Diagramma

Se è stata selezionata l'opzione Standard, RFEM utilizza un modello di materiale bilineare. Per il modulo di elasticità E e la tensione di snervamento f_y vengono utilizzati i valori del database dei materiali. Per ragioni numeriche il ramo non è esattamente orizzontale, ma presenta una piccola pendenza E_p.

Se si desidera modificare i valori del limite di snervamento e del modulo di elasticità, attivare nella scheda 'Base' la casella di controllo Materiale personalizzato.

Attiva materiale definito dall'utente

Nella definizione bilineare è possibile inserire anche il valore di E_p.

Relazioni più complesse tra tensione e deformazione si definiscono mediante Diagramma tensione-deformazione. Se si seleziona questa opzione, viene visualizzata la scheda 'Diagramma tensione-deformazione'.

Immettere un diagramma tensione-deformazione personalizzato

Inserire un diagramma tensione-deformazione personalizzato

Definire in ogni riga un punto per la relazione tensioni-deformazioni. Come deve proseguire il diagramma dopo l'ultimo punto di definizione si può selezionare nella lista 'Fine del diagramma' sotto il diagramma:

Progressione dopo l'ultimo punto di definizione

Con 'Rottura' la tensione dopo l'ultimo punto di definizione ritorna a zero (ad esempio quando il materiale si rompe). 'Snervamento' significa che la tensione rimane costante all'aumentare della deformazione. 'Continuo' significa che la curva prosegue con la pendenza dell'ultimo segmento.

Informazione

In questo modello di materiale il diagramma tensione-deformazione si riferisce alla tensione longitudinale σ_x. Limiti di snervamento diversi per trazione e compressione non possono essere considerati con questo modello di materiale.

Isotropo | Plastico (superfici/corpi solidi)

Se nella lista a discesa 'Modello di materiale' si seleziona la voce Isotropo | Plastico (superfici/corpi solidi), la scheda per l'inserimento dei parametri nonlineari del materiale diventa attiva.

Seleziona il modello del materiale plastico

Selezionare innanzitutto lIpotesi di rottura delle tensioni'. Sono disponibili le seguenti ipotesi:

von Mises (ipotesi dell'energia di deformazione)

Tresca (ipotesi della tensione di taglio)

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

Definire l'ipotesi di rottura per tensione

Se si seleziona von Mises, nel diagramma tensione-deformazione vengono utilizzate le seguenti tensioni:

Superfici

$σ_{v} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} - σ_{x} σ_{y} + 3 (τ_{xy}^{2})}$

Tensione equivalente dalle tensioni di base secondo von Mises

Corpi solidi

$σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{x y}^{2} + τ_{x z}^{2} + τ_{y z}^{2})}$

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni di base

$σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}$

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni principali

Secondo l'ipotesi di Tresca vengono utilizzate queste tensioni:

Superfici

$σ_{v} = \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 {τ_{xy}}^{2}}$

Tensione equivalente secondo Tresca

Corpi solidi

$σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)$

Tensione equivalente σ_v,Tresca

Secondo l'ipotesi di Drucker-Prager viene utilizzata questa tensione per superfici e volumi:

$σ_{v} = \frac{m - 1}{2} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) + \frac{m + 1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

σ_c

Tensione limite di compressione

σ_t

Tensione limite per trazione

Criterio di resa secondo Drucker-Prager

Secondo l'ipotesi di Mohr-Coulomb viene utilizzata la seguente tensione per superfici e volumi:

$σ_{v} = \frac{m + 1}{2} \max \{|σ_{1} - σ_{2}| + K (σ_{1} + σ_{2}), |σ_{2} - σ_{3}| + K (σ_{2} + σ_{3}), |σ_{3} - σ_{1}| + K (σ_{3} + σ_{1})\}$
$K = \frac{m - 1}{m + 1}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

Mohr – Coulomb

Isotropo | Nonlinearmente elastico (aste)

Il funzionamento corrisponde in gran parte a quello del modello di materiale Plastico (aste). A differenza di questo, tuttavia, dopo lo scaricamento non rimane alcuna deformazione plastica.

Isotropo | Nonlinearmente elastico (superfici/corpi solidi)

Il funzionamento corrisponde in gran parte a quello del modello di materiale Plastico (superfici/corpi solidi). A differenza di questo, tuttavia, dopo lo scaricamento non rimane alcuna deformazione plastica.

Isotropo | Danneggiamento (superfici/corpi solidi)

A differenza di altri modelli di materiale, il diagramma tensione-deformazione per questo modello di materiale non è antmetrico rispetto all'origine. Con questo modello di materiale è quindi possibile rappresentare, ad esempio, il comportamento del calcestruzzo fibrorinforzato. Indicazioni dettagliate sulla modellazione del calcestruzzo fibrorinforzato si trovano nell'articolo tecnico Proprietà del materiale del calcestruzzo fibrorinforzato.

Modello del materiale "Isotropo" | Danni"

La rigidezza isotropa viene ridotta con un parametro scalare di danneggiamento. Questo parametro di danneggiamento si determina dall'andamento della tensione definita nel diagramma. In tal modo non viene considerata la direzione delle tensioni principali, ma il danneggiamento avviene piuttosto nella direzione della deformazione equivalente, che comprende anche la terza direzione perpendicolare al piano. La zona di trazione e l'area di pressione del tensore delle tensioni vengono trattate separatamente. Valgono parametri di danneggiamento differenti.

La 'Dimensione di riferimento dell'elemento' controlla come la deformazione nella zona di fessurazione viene scalata sulla lunghezza dell'elemento. Con il valore preimpostato zero non avviene alcuna scalatura. In tal modo il comportamento del materiale del calcestruzzo fibrorinforzato viene rappresentato in modo realistico.

Suggerimento

I fondamenti teorici del modello di materiale 'Isotropo Danneggiamento' si trovano nell'articolo tecnico Modello di materiale nonlineare Danneggiamento.

Ortotropo | Danneggiamento anisotropo

I materiali legnosi hanno proprietà dipendenti dalla direzione (anisotrope). Le direzioni principali anisotrope corrono lungo la direzione della fibratura, in direzione radiale e tangenziale. Nella scheda Ortotropo | Danneggiamento anisotropo è possibile definire le proprietà nonlineari.

Modello di materiale 'Orthotropia | Danno anisotropo'

Questo modello di materiale implementa il modello di danneggiamento di Sandhaas [2] con otto criteri di rottura per il legno. Il legno si comporta sotto trazione e taglio quasi fragilmente e sotto compressione duttilmente. Esso si rompe nei piani definiti dall'andamento delle fibre. Il modello secondo [2] descrive otto criteri di rottura separati (uno per quadrante dello spazio delle tensioni), che controllano nove fattori di riduzione della rigidezza.

L'asse locale x corre lungo la direzione della fibratura, l'asse y in direzione radiale e l'asse z in direzione tangenziale. Ogni criterio è una funzione di tensione F che raggiunge il valore 1 all'inizio del danneggiamento. Quattro di essi sono semplici criteri di tensione massima. I quattro criteri per la trazione trasversale e il taglio sono ellittici: La fessurazione in un piano può essere innescata da trazione perpendicolare ad esso, dal taglio lungo il piano o da ogni combinazione di questi.

Inserire le resistenze limite del materiale nonché l'energia di rottura per trazione e l'energia di rottura per taglio per ogni direzione.

Informazione

A differenza del modello di materiale Ortotropo | Plastico le forze non vengono ridistribuite, ma disaccoppiate attraverso la rottura del piano delle fibre. In tal modo è possibile rappresentare il comportamento di fessurazione da trazione del legno. Le deformazioni sono in genere minori.

Deformazioni con modello di materiale Ortotropo | Plastico (a sinistra) e Ortotropo | Danno anisotropo (a destra)

Ortotropo | Plastico (superfici) / Plastico (corpi solidi)

Il modello di materiale secondo Tsai-Wu unisce proprietà plastiche e ortotrope. Ciò rende possibili modellazioni speciali di materiali con caratteristiche anisotrope come plastici fibrorinforzati o legno.

Allo snervamento del materiale le tensioni rimangono costanti. Avviene una ridistribuzione in funzione delle rigidezze presenti nelle singole direzioni.

Modello di materiale "Ortotropo | Plastica (Superfici)"

Modello di materiale "Ortotropo | Plastica (solida) '

Il campo elastico corrisponde al modello di materiale Linearmente elastico (corpi solidi). Per il campo plastico vale la seguente condizione di snervamento secondo Tsai-Wu:

Superfici

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$\frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} - {[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, stato di tensione planare

Corpi solidi

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$σ_{z} [\frac{1}{f_{t, z}} - \frac{1}{f_{c, z}}] + \frac{{σ_{z}}^{2}}{f_{t, z} f_{c, z}} +$
$\frac{{τ_{yz}}^{2}}{{f_{v, yz}}^{2}} + \frac{{τ_{xz}}^{2}}{{f_{v, xz}}^{2}} + \frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} -$
${[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, Stato di tensione spaziale

Tutte le resistenze vanno definite come valori positivi.

La condizione di snervamento può essere immaginata come una superficie a forma di ellissoide nello spazio delle tensioni a sei dimensioni. Se una delle tre componenti di tensione viene assunta come valore costante, la superficie può essere proiettata su uno spazio delle tensioni tridimensionale.

Se il valore di f_y(σ) secondo l'equazione Tsai-Wu, stato di tensione piano è minore di 1, le tensioni si trovano nel campo elastico. Il campo plastico è raggiunto non appena f_y(σ) = 1. Valori maggiori di 1 non sono ammessi. Il modello si comporta idealmente plastico, cioè non avviene alcun irrigidimento.

Ortotropo | Plastico | Saldatura (superfici)

Questo modello di materiale viene utilizzato nelle analisi con l'Add-On Connessioni in acciaio per rappresentare il comportamento delle saldature secondo le norme. Nella superficie equivalente si generano solo tensioni che corrispondono alle componenti di tensione σ_⊥, τ_⊥ e τ_|| della saldatura. Nelle altre direzioni di tensione la rigidezza della superficie equivalente tende a zero.

Modello di materiale "Ortotropo | Plastico | Giunto saldato (superfici)"

Nella scheda 'Ortotropo | Plastico | Saldatura (superfici)' è possibile definire i parametri per la considerazione dell'incrudimento plastico del materiale nelle saldature, ad esempio i valori limite f_ekv e f_x per la verifica delle tensioni secondo il "metodo direzionale" secondo EN 1993-1-8 [1] per le saldature, modificato da una quota plastica (vedere anche l'articolo tecnico Verifica dei giunti a corda.

Calcestruzzo

Per il tipo di materiale 'Calcestruzzo' sono disponibili i modelli di materiale nonlineari Anisotropo | Danneggiamento e Isotropo | Danneggiamento (superfici/corpi solidi).

Modelli di materiale per calcestruzzo

Questi modelli di materiale sono descritti nel capitolo Anisotropo | Danneggiamento del manuale del calcestruzzo rispettivamente sopra nella sezione Danneggiamento (superfici/corpi solidi).

Muratura

Se nelle Impostazioni di base del modello l'Add-On di progettazione Progettazione muratura è attivato (è richiesta una licenza), per il tipo di materiale 'Muratura' sono disponibili i modelli di materiale nonlineari Isotropo | Muratura | Plastico (superfici) e Ortotropo | Muratura | Plastico (superfici).

Modelli di materiali per muratura

I due modelli di materiale sono descritti nel capitolo Materiali del manuale della muratura.

Tessuto

La libreria dei materiali contiene due serie per il tipo di materiale 'Tessuto':

Vetro-PTFE: tessuto in vetro rivestito con politetrafluoroetilene (PTFE)

PES-PVC: tessuto in poliestere rivestito con cloruro di polivinile (PVC)

Informazione

Per i film come ETFE è previsto il tipo di materiale 'Film'.

Per i materiali tessili, oltre al modello di materiale lineare ortotropo, è disponibile il modello di materiale nonlineare Ortotropo | Tessuto | Nonlinearmente elastico (superfici).

Modelli di materiale per tessuti

Questo modello di materiale consente una rappresentazione realistica del comportamento ortotropo di membrane tessili precompresse, le cui rigidezze in ordito e trama sono diverse. Esso descrive il tessuto tramite un elemento solido rappresentativo (RVE) della sua microstruttura. Grazie alla considerazione della geometria del tessuto, il modello rileva per tutti gli stati di forza nella membrana il corrispondente effetto di Poisson. Poiché viene considerato anche lo sviluppo della rigidezza del tessuto in funzione del carico, è possibile un'analisi precisa delle strutture a membrana.

I valori caratteristici dei tessuti vengono determinati in prove biaxiali, da cui risultano i moduli di elasticità E_x ed E_y nonché il modulo di taglio G_xy. L'accoppiamento tra direzione di ordito e di trama nasce però dalla geometria dei fili: Sotto carico cambia l'ondulazione (ondulazione) dei fili in entrambe le direzioni. Questo effetto è designato in inglese come crimp interchange. Il modello di materiale deriva pertanto la risposta del materiale da una cella unitaria della struttura del tessuto. Questa cella unitaria rileva anche la propria nonlinearità geometrica. I coefficienti di Poisson non vengono utilizzati in questo modello. L'accoppiamento delle due direzioni avviene tramite il parametro R della cella unitaria.

Come per tutti i modelli di materiale nonlinearmente elastici, allo scaricamento la deformazione ritorna lungo lo stesso percorso. Il calcolo avviene in modo iterativo.

Modello di materiale 'Ortotropo | Tessuto | Non linearmente elastico (Superfici)'

Selezionare nella lista 'Strutture tessili' il tipo di lavorazione del tessuto. Sono disponibili due opzioni:

Armatura a tela

Armatura Panama

Inserire il modulo di elasticità in direzione x (ordito) e in direzione y (trama). Poiché i moduli di taglio G_yz e G_xz nei tessuti sono sempre nulli, viene offerto solo il campo di inserimento G_xy per il coefficiente di Poisson nel piano del tessuto. Questo modulo di taglio può anche essere nullo.

Il parametro R descrive il rapporto tra altezza e lunghezza dell'elemento solido rappresentativo (RVE). Questo valore deve trovarsi tra 0 e 1.

Scheda 'Proprietà del materiale'

Spessore del tessuto

Lo spessore di una membrana è molto ridotto e difficilmente può essere determinato in modo univoco. Nel settore delle membrane le rigidezze e le resistenze sono pertanto indicate in relazione alla larghezza, ad esempio in kN/m. RFEM adotta questa convenzione e converte i valori in grandezze di tensione tramite lo spessore di riferimento t_ref.

$E_{x} = \frac{E_{x, MV}}{t_{ref}} E_{y} = \frac{E_{y, MV}}{t_{ref}} G_{x y} = \frac{G_{x y, MV}}{t_{ref}}$

E_x,MV / E_y,MV / G_xy,MV

Rigidezze nella scheda 'Proprietà del materiale'

t_ref

Spessore di riferimento

Conversione delle rigidezze

Questi valori appaiono nella scheda Valori del materiale. Se si assegna un tessuto a uno spessore, RFEM assume lo spessore di riferimento t_ref del materiale come spessore d.

La rigidezza della membrana E_x · t_ref corrisponde al valore riferito alla larghezza della libreria. Le deformazioni e le forze della membrana come n_x e n_y in kN/m non dipendono quindi dal valore numerico dello spessore di riferimento, purché tutti i valori caratteristici siano riferiti allo stesso spessore di riferimento. Le tensioni si riferiscono invece allo spessore di riferimento.

Informazione

Le resistenze f_x,k,23 e f_y,k,23 nonché il peso superficie m_s non influenzano il calcolo. Le resistenze sono disponibili per le verifiche.

Se si modifica lo spessore di riferimento nella scheda 'Valori del materiale' di un materiale personalizzato, ciò ha effetti sui valori nella scheda del modello di materiale. Definire pertanto prima lo spessore di riferimento e solo dopo le rigidezze.

Indicazioni su Form-Finding e progettazione

Il processo di Form-Finding è indipendente dal materiale. I valori caratteristici del tessuto non influenzano la forma trovata. Essi si riflettono solo sul calcolo successivo sotto carico. I fondamenti sono descritti nel capitolo Processo di Form-Finding del manuale del Form-Finding.

Suggerimento

Le strutture a membrana si comportano fortemente nonlineari. Se il calcolo non converge, verificare prima il modello: Tutte le superfici a membrana e i cavi dovrebbero avere un carico di form-finding, e tutti i bordi delle membrane dovrebbero essere trattenuti da cavi o appoggi lineari.

Una precompressione ortotropa costante è fisicamente non realizzabile su superfici a doppia curvatura. Se si combina con il metodo standard una precompressione ortotropa con un numero molto elevato di iterazioni di form-finding, possono verificarsi movimenti di scivolamento tangenziali nel piano della membrana, un andamento di convergenza irregolare e grandi deformazioni nel piano. Questo comportamento è indipendente dal modello di materiale. Utilizzare il numero preimpostato di iterazioni oppure selezionare il metodo di proiezione.

Bibliografia

Comitato europeo di normalizzazione. (2009). Eurocodice 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-8: Bemessung von Anschlüssen. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010

Sandhaas, C. (2012). Comportamento meccanico di giunti lignei con piastre in acciaio inserite (Mechanical Behaviour of Timber Joints with Slotted-in Steel Plates). Tesi di dottorato, TU Delft.

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Angolo del telaio

σ_c	Tensione limite di compressione
σ_t	Tensione limite per trazione

E_x,MV / E_y,MV / G_xy,MV	Rigidezze nella scheda 'Proprietà del materiale'
t_ref	Spessore di riferimento