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Dipl.-Ing. (FH) Robert Vogl

2023-04-27

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Resultados por Volume

Você pode exibir graficamente os resultados para volumes através da categoria do Navegador Sólidos. Os resultados numéricos de volume podem ser encontrados na categoria da tabela Resultados por sólido.

Resultados por sólido na tabela

Informação

Na tabela e nos gráficos, são exibidos os resultados que ocorrem nas superfícies limite do sólido. Para verificar os resultados no interior do sólido, ative na categoria inferior Valores nas superfícies a opção Nos pontos da malha de elementos finitos. Os valores no sólido podem então ser lidos através de um plano de recorte (consulte o capítulo Planos de recorte).

Deformações

A imagem Resultados por sólido na tabela mostra a tabela com as deformações das superfícies limite. Os deslocamentos e rotações são apresentados nos pontos de grelha das superfícies (consulte o capítulo Superfícies ).

Sugestão

Em superfícies pequenas, o tamanho de malha padrão da grelha de 0,5 m pode resultar na existência de apenas alguns pontos de grelha. Neste caso, ajuste o número ou a distância dos pontos de grelha ao tamanho da superfície.

As deformações significam:

\|u\|	Valor absoluto do deslocamento total
u_X	Deslocamento na direção do eixo global X
u_Y	Deslocamento na direção do eixo global Y
u_Z	Deslocamento na direção do eixo global Z
φ_X	Rotação em torno do eixo global X
φ_Y	Rotação em torno do eixo global Y
φ_Z	Rotação em torno do eixo global Z

Tensões

Seleccionar tensões de sólidos no navegador

Tensões de sólidos na tabela

Defina no Navegador quais tensões devem ser exibidas nas superfícies limite dos sólidos. A tabela lista as tensões dessas superfícies de acordo com as especificações definidas no Gerenciador de tabelas de resultados .

As tensões de sólidos são divididas nas seguintes categorias:

Tensões de base
Tensões principais
Tensões equivalentes
Invariantes de tensões

Tensões de base

As tensões de sólidos não podem ser descritas com equações simples como as tensões de superfície. As tensões de base σ_x, σ_y e σ_z, incluindo as tensões de corte τ_yz, τ_xz e τ_xy, são determinadas diretamente pelo núcleo de cálculo.

Se um cubo com comprimentos de aresta d_x, d_y e d_z for cortado de um corpo sujeito a tensões multiaxiais, as tensões em cada face do cubo podem ser decompostas em tensões axiais e tensões de corte. Desprezando as forças de volume e também as diferenças de tensão nas superfícies paralelas, o estado de tensão pode ser descrito no sistema de coordenadas local do cubo por nove componentes de tensão.

Volumenelement mit Spannungskomponenten

A matriz do tensor de tensões é:

σ = [\begin{matrix} σ_{x} & τ_{xy} & τ_{xz} \\ τ_{yx} & σ_{y} & τ_{yz} \\ τ_{zx} & τ_{zy} & σ_{z} \end{matrix}]

Matriz do Tensor de Tensões

Tensões principais

A partir dos valores próprios do tensor, obtêm-se as tensões principais σ₁, σ₂ e σ₃ da seguinte forma:

\det (σ - σ E) = 0

E	3x3 Einheitsmatrix

Tensões principais

A tensão de corte máxima τ_max é determinada de acordo com o círculo de tensões de Mohr:

τ_{\max} = \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3})

Tensão de corte máxima

Sugestão

Com a entrada do Navegador σ₁₂₃, você pode representar graficamente as trajetórias das tensões principais.

Tensões equivalentes

As tensões equivalentes σ_v de acordo com von Mises podem ser determinadas através de duas fórmulas equivalentes.

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Tensão equivalente σ_v,Mises das tensões principais

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Tensão equivalente σ_v,Mises das tensões de base

Para a determinação da tensão equivalente σ_v de acordo com Tresca , as diferenças entre as tensões principais são examinadas para determinar o valor máximo a partir delas.

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Tensão equivalente σ_v,Tresca

A tensão equivalente σ_v de acordo com Rankine é determinada a partir dos maiores valores absolutos das tensões principais.

σ_{v, Rankine} = max (|σ_{1}|; |σ_{2}|; |σ_{3}|)

Tensão equivalente σ_v,Rankine

Para a determinação da tensão equivalente σ_v de acordo com Bach , as diferenças das tensões principais são examinadas considerando o coeficiente de Poisson ν, para determinar o valor máximo a partir delas.

σ_{v, Bach} = max [|σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3})|; |σ_{2} - ν (σ_{3} + σ_{1})|; |σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2})|]

Tensão equivalente σ_{v, Bach}

Invariantes de tensões

As invariantes de tensões permitem uma descrição independente de coordenadas e, portanto, objetiva do estado de tensão de um material. Como grandezas escalares, permanecem inalteradas sob rotações arbitrárias do sistema de coordenadas e capturam as propriedades fisicamente relevantes desses estados, independentemente da representação tensorial escolhida. Sua importância particular reside no fato de que muitos fenômenos mecânicos – especialmente escoamento plástico, falha e fratura – não dependem de componentes de tensão individuais, mas de invariantes. Assim, as invariantes de tensões formam a base de numerosos critérios de escoamento e falha estabelecidos, como as teorias de von Mises, Tresca ou Drucker-Prager.

A tensão média p está ligada à primeira invariante de tensão I₁ e descreve a tensão hidrostática. Ela resulta da média aritmética das três tensões principais e representa a distância do ponto de tensão em relação à origem das coordenadas na diagonal espacial.

p = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{I_{1}}{3}

σ₁ , σ₂ , σ₃	Tensões principais
I₁	Primeira invariante de tensão

Tensão média p

Ela caracteriza o estado de tensão axial médio e é responsável pelas variações de volume. Fisicamente, p corresponde a um estado uniforme de compressão ou tração, que não causa nenhuma modificação da forma, mas exclusivamente compressão ou dilatação. Em muitos materiais, particularmente na mecânica dos solos e das rochas, bem como em materiais sensíveis à pressão, p influencia significativamente o comportamento de resistência e deformação.

A tensão desviadora q está ligada à segunda invariante do tensor desviador de tensões J₂. Ela é determinada da seguinte forma:

q = \sqrt{{σ_{1}}^{2} + {σ_{2}}^{2} + {σ_{3}}^{2} - σ_{1} σ_{2} - σ_{2} σ_{3} - σ_{3} σ_{1}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = \sqrt{{I_{1}}^{2} - 3 I_{2}} = \sqrt{3 J_{2}}

I₁	Primeira invariante de tensão
I₂	Segunda invariante da tensão
J₂	Segundo invariante de tensão desviatória

Tensão divergente q

Ela descreve a parcela do estado de tensão responsável pelas modificações da forma (deformações por corte), sem alterar o volume. A parcela desviadora impulsiona particularmente o escoamento plástico e a falha em materiais dúcteis. O critério de escoamento de von Mises baseia-se diretamente em J₂ ou q e evidencia que a deformação plástica é controlada principalmente por tensões desviadoras.

O ângulo de Lode θ indica a posição do ponto de tensão no plano desviador. O plano desviador é dividido em seis setores, de modo que −30° ≤ θ ≤ 30°. O ângulo é determinado da seguinte forma:

θ = \frac{1}{3} \sin^{- 1} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{{J_{2}}^{3 / 2}})

J₂	Segunda invariante de tensão desviatória: 1/6 [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₂)²]
J₃	Terceira invariante de tensão desviatória: 1/27 (2σ₁ – σ₂ – σ₃) (2σ₂ – σ₃ – σ₁) (2σ₃ – σ₁ – σ₂)

Ângulo de Lode θ

Uma solicitação de corte puro resulta para θ = 0, enquanto para θ = 30° surge o estado de tensão σ₁ > σ₂ = σ₃, que corresponde a um ensaio de compressão triaxial. De θ = −30° resulta o estado de tensão de um ensaio de tração triaxial com σ₁ < σ₂ = σ₃.

Deformações

Selecionar distorções de sólidos no navegador

Deformações em sólidos na tabela

Defina no Navegador quais deformações devem ser exibidas nas superfícies limite dos sólidos. A tabela lista as extensões dessas superfícies de acordo com as especificações definidas no Gerenciador de tabelas de resultados .

As deformações de sólidos são divididas nas seguintes categorias:

Deformações totais de base
Deformações totais principais
Deformações totais equivalentes
Invariantes de deformações

Deformações totais de base

As deformações totais de base, incluindo as deformações por corte, são determinadas diretamente pelo núcleo de cálculo. Para o estado de deformação espacial, a definição geral do tensor é:

ε = [\begin{matrix} ε_{x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{x y} & ε_{y} & ε_{y z} \\ ε_{x z} & ε_{y z} & ε_{z} \end{matrix}]

Tensor de estado de deformação

Os elementos do tensor são definidos da seguinte forma:

ε_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})

Elementos tensores

Deformações totais principais

A partir das deformações de base, são determinadas as deformações totais principais ε₁, ε₂ e ε₃.

Sugestão

Com a entrada do Navegador ε₁₂₃, você pode representar graficamente as trajetórias das deformações principais.

Deformações totais equivalentes

As deformações totais equivalentes ε_v são determinadas de acordo com quatro hipóteses de tensão diferentes, da seguinte forma.

ε_{v, Mises} = \frac{1}{1 + ν} \sqrt{{ε_{x}}^{2} + {ε_{y}}^{2} + {ε_{z}}^{2} - ε_{x} ε_{y} - ε_{y} ε_{z} - ε_{z} ε_{x} + \frac{3}{4} ({γ_{x y}}^{2} + {γ_{y z}}^{2} + {γ_{x z}}^{2})}

γ_xy	2ϵ_xy
γ_yz	2ϵ_yz
γ_xz	2ϵ_xz

Deformação total equivalente ε_v,Mises

ε_{v, Tresca} = \max (|R_{1} - R_{2}|; |R_{2} - R_{3}|; |R_{3} - R_{1}|)

R	Matriz (ver abaixo)

Deformação total equivalente ε_v,Tresca (máximo das diferenças de autovalores conforme Matriz R)

ε_{v, Rankine} = \max (|R_{1}|; |R_{2}|; |R_{3}|)

R	Matrix (siehe unten)

Deformação total comparativa ε_v,Rankine (máximo dos valores próprios conforme Matriz R)

ε_{v, Bach} = \max (|R_{1} - ν (R_{2} + R_{3})|; |R_{2} - ν (R_{3} + R_{1})|; |R_{3} - ν (R_{1} + R_{2})|)

R	Matriz (ver abaixo)

Extensão total equivalente ε_v,Bach (máximo das diferenças de valores próprios de acordo com a matriz R considerando o coeficiente de Poisson ν)

R = \frac{1}{1 + ν} [\begin{matrix} \frac{(1 - ν) ε_{x} + ν (ε_{y} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{γ_{x z}}{2} \\ \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{y} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{y z}}{2} \\ \frac{γ_{x z}}{2} & \frac{γ_{y z}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{z} + ν (ε_{x} + ε_{y})}{1 - 2 ν} \end{matrix}]

Matriz R

Invariantes de deformações

As invariantes de deformações são valores característicos do tensor de deformações que permanecem independentes da orientação do sistema de coordenadas. Elas permitem uma separação clara entre variação de volume e modificação da forma de um material. A distinção é central para a análise do comportamento do material, critérios de resistência e modelos de plasticidade.

A invariante de deformação volumétrica ε_v corresponde à parcela isotrópica das deformações totais.

ε_{v} = ε_{x} + ε_{y} + ε_{z}

Invariante de deformação volumétrica ε_v

As deformações desviadoras ε_q ou também deformações de corte γ_s descrevem a modificação da forma pura sem variação de volume. Elas são determinadas da seguinte forma:

ε_{q} = \frac{1}{3} \sqrt{2 [{(ε_{y} - ε_{z})}^{2} + {(ε_{x} - ε_{z})}^{2} + {(ε_{x} - ε_{y})}^{2}] + 3 (γ_{y z}^{2} + γ_{x z}^{2} + γ_{x y}^{2})}

Deformação de corte ε_q

Capítulo principal

Resultados