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Dipl.-Ing. Frank Faulstich

14.12.2023

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Comportement non linéaire du matériau

Modèles de matériau

Lorsque le module complémentaire d’analyse Comportement de matériau non linéaire est activé dans les Données de base du modèle (licence requise), d’autres options sont disponibles dans la liste des modèles de matériau, en plus des modèles 'Isotrope | Élastique linéaire' et 'Orthotrope | Élastique linéaire'.

Modèle de matériau pour le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau

Méthode de calcul

Si vous utilisez un modèle de matériau non linéaire, un calcul itératif est toujours effectué. Selon le modèle de matériau, une relation différente entre les contraintes et les déformations est définie.

La rigidité des éléments finis est ajustée en continu au fil des itérations jusqu'à ce que la relation contrainte-déformation soit respectée. L'ajustement s'effectue toujours pour un élément de surface ou élément solide entier. Pour l'évaluation des contraintes, il convient donc toujours d'utiliser le type de lissage Constant dans les éléments du maillage.

Lissage de résultats

Certains modèles de matériau dans RFEM sont désignés comme 'plastiques', d'autres comme 'élastiques non linéaires'. Si une barre avec un matériau élastique non linéaire est déchargée, la déformation revient sur le même chemin. Lors de la décharge complète, aucune déformation ne subsiste.

Diagramme contrainte-déformation, élastique non linéaire

Lors du déchargement d'une barre avec un modèle de matériau plastique, une déformation subsiste après la décharge complète.

Diagramme contrainte-déformation plastique

La charge et la décharge peuvent être simulées avec le module complémentaire Analyse des phases de construction.

Des informations de fond sur les modèles de matériau non linéaires se trouvent dans l'article technique Lois d'élasticité dans le modèle de matériau 'Isotrope non linéaire élastique'.

Les efforts internes dans les plaques avec un matériau non linéaire résultent de l'intégration numérique des contraintes sur l'épaisseur de la plaque. Pour définir la méthode d'intégration pour l'épaisseur, cochez l'option Spécifier la méthode d'intégration dans la boîte de dialogue 'Modifier l’épaisseur'. Les méthodes d'intégration suivantes sont ainsi disponibles :

Quadrature de Gauss-Lobatto
Règle de Simpson
Règle des trapèzes

Définir la méthode d’intégration pour l’épaisseur de surface

De plus, vous pouvez spécifier le 'Nombre de points d'intégration' sur l'épaisseur de la plaque de 3 à 99.

Informations

Vous trouverez une explication théorique des différentes méthodes d'intégration dans le manuel Surfaces multicouches.

Isotrope plastique (Barres)

Si vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (Barres) dans la liste déroulante 'Modèle de matériau', l'onglet pour la saisie des paramètres de matériau non linéaires est activé.

Activer le modèle de matériau non linéaire

Définir les paramètres de matériau non linéaire

Dans cet onglet, vous définissez le diagramme contrainte-déformation. Les possibilités suivantes sont disponibles à cet effet :

Standard
Bilinéaire
Diagramme

Lorsque Standard est sélectionné, RFEM utilise un modèle de matériau bilinéaire. Pour le module d’élasticité E et la limite d'élasticité f_y, les valeurs de la bibliothèque de matériaux sont utilisées. Pour des raisons numériques, la branche ne suit pas exactement une horizontale, mais présente une légère pente E_p.

Si vous souhaitez modifier les valeurs de la limite d'élasticité et du module d’élasticité, activez la case à cocher Matériau défini par l’utilisateur dans l'onglet 'Base'.

Activer le matériau défini par l’utilisateur

Lors de la définition bilinéaire, vous pouvez également entrer la valeur de E_p.

Des relations plus complexes entre la contrainte et la déformation sont définies au moyen du diagramme contrainte-déformation. Si vous sélectionnez cette option, l'onglet 'Diagramme contrainte-déformation' est affiché.

Saisie d'un diagramme contrainte-déformation personnalisé

Saisie du diagramme contrainte-déformation personnalisé

Définissez dans chaque ligne un point pour la relation contrainte-déformation. La façon dont le diagramme doit se poursuivre après le dernier point de définition peut être sélectionnée dans la liste 'Fin du diagramme' sous le diagramme :

Avancement après le dernier point de définition

En cas de 'Rupture', la contrainte retombe à zéro après le dernier point de définition (par exemple si le matériau se rompt). 'Fluage' signifie que la contrainte reste constante avec une déformation croissante. 'Continu' signifie que la courbe se poursuit avec la pente du dernier segment.

Informations

Dans ce modèle de matériau, le diagramme contrainte-déformation se réfère à la contrainte longitudinale σ_x. Différentes limites d’élasticité en traction et en compression ne peuvent pas être prises en compte avec ce modèle de matériau.

Isotrope plastique (Surfaces/Solides)

Si vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (Surfaces/Solides) dans la liste déroulante 'Modèle de matériau', l'onglet pour la saisie des paramètres de matériau non linéaires est activé.

Sélectionner le modèle de matériau plastique

Sélectionnez d'abord lHypothèse de résistance' dans la liste. Les hypothèses suivantes sont disponibles :

von Mises (hypothèse de l'énergie de distorsion)

Tresca (hypothèse de la contrainte de cisaillement)

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

Définir le critère de rupture sous contrainte

Si vous sélectionnez von Mises, les contraintes suivantes sont utilisées dans le diagramme contrainte-déformation :

Surfaces

$σ_{v} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} - σ_{x} σ_{y} + 3 (τ_{xy}^{2})}$

Contrainte équivalente à partir des contraintes de base selon von Mises

Solides

$σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}$

Contrainte équivalente σ_v,Mises à partir des contraintes de base

$σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}$

Contrainte équivalente σ_{v, Mises} à partir des contraintes principales

Selon l'hypothèse de Tresca, ces contraintes sont utilisées :

Surfaces

$σ_{v} = \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 {τ_{xy}}^{2}}$

Contraintes équivalentes selon Tresca

Solides

$σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)$

Contrainte équivalente σ_v,Tresca

Selon l'hypothèse de Drucker-Prager, cette contrainte est utilisée pour les surfaces et les solides :

$σ_{v} = \frac{m - 1}{2} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) + \frac{m + 1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

σ_c

Contrainte limite en compression

σ_t

Contrainte limite pour la traction

Critère de rendement selon Drucker-Prager

Selon l'hypothèse de Mohr-Coulomb, la contrainte suivante est utilisée pour les surfaces et les solides :

$σ_{v} = \frac{m + 1}{2} \max \{|σ_{1} - σ_{2}| + K (σ_{1} + σ_{2}), |σ_{2} - σ_{3}| + K (σ_{2} + σ_{3}), |σ_{3} - σ_{1}| + K (σ_{3} + σ_{1})\}$
$K = \frac{m - 1}{m + 1}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

Mohr-Coulomb

Isotrope non linéaire élastique (Barres)

Le fonctionnement correspond en grande partie au modèle de matériau Isotrope plastique (Barres). À la différence de ce dernier, aucune déformation plastique ne subsiste après la décharge.

Isotrope non linéaire élastique (Surfaces/Solides)

Le fonctionnement correspond en grande partie au modèle de matériau Isotrope plastique (Surfaces/Solides). À la différence de ce dernier, aucune déformation plastique ne subsiste après la décharge.

Endommagement isotrope (Surfaces/Solides)

À la différence d'autres modèles de matériau, le diagramme contrainte-déformation pour ce modèle de matériau n'est pas antisymétrique par rapport à l'origine. Ainsi, ce modèle de matériau peut par exemple représenter le comportement du béton fibré acier. Des indications détaillées sur la modélisation du béton fibré acier se trouvent dans l'article technique Propriétés du matériau béton fibré acier.

Modèle de matériau « Isotrope | Endommagement »

La rigidité isotrope est réduite par un paramètre d’endommagement scalaire. Ce paramètre d’endommagement est déterminé à partir de l'évolution de la contrainte définie dans le diagramme. La direction des contraintes principales n'est pas prise en compte, mais l'endommagement s'effectue plutôt dans la direction de la déformation équivalente, qui saisit également la troisième direction perpendiculaire au plan. La zone de traction et de compression du tenseur de contrainte est traitée séparément. Des paramètres d’endommagement différents s'appliquent dans chaque cas.

La 'Taille de l'élément de référence' contrôle la manière dont la déformation dans la zone fissurée est mise à l'échelle sur la longueur de l'élément. Avec la valeur zéro prédéfinie, aucune mise à l'échelle n'est effectuée. Cela permet de représenter le comportement matériel du béton fibré acier de manière réaliste.

Les fondements théoriques du modèle de matériau 'Endommagement isotrope' se trouvent dans l'article technique Modèle de matériau non linéaire 'Endommagement'.

Orthotrope plastique (Surfaces) / Orthotrope plastique (Solides)

Le modèle de matériau selon Tsai-Wu combine les propriétés plastiques et orthotropes. Il permet des modélisations spéciales de matériaux à caractéristiques anisotropes, comme les plastiques renforcés de fibres ou le bois.

Lors de la plastification du matériau, les contraintes restent constantes. Une redistribution s'effectue en fonction des rigidités présentes dans les différentes directions.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Surfaces) »

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Solide) »

La zone élastique correspond au modèle de matériau Orthotrope élastique linéaire (Solides). Pour la zone plastique, la condition d'écoulement suivante selon Tsai-Wu s'applique :

Surfaces

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$\frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} - {[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, état de contrainte planaire

Solides

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$σ_{z} [\frac{1}{f_{t, z}} - \frac{1}{f_{c, z}}] + \frac{{σ_{z}}^{2}}{f_{t, z} f_{c, z}} +$
$\frac{{τ_{yz}}^{2}}{{f_{v, yz}}^{2}} + \frac{{τ_{xz}}^{2}}{{f_{v, xz}}^{2}} + \frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} -$
${[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, état de contrainte spatiale

Toutes les résistances doivent être définies positives.

La condition d'écoulement peut être imaginée comme une surface elliptique dans l'espace des contraintes à six dimensions. Si l'une des trois composantes de contrainte est définie comme une valeur constante, la surface peut être projetée sur un espace des contraintes à trois dimensions.

Si la valeur de f_y(σ) selon l'équation Tsai-Wu, état de contrainte plan est inférieure à 1, les contraintes se situent dans la zone élastique. La zone plastique est atteinte dès que f_y(σ) = 1. Les valeurs supérieures à 1 ne sont pas autorisées. Le modèle se comporte de manière idéalement plastique, c'est-à-dire qu'aucun écrouissage n'a lieu.

Soudure orthotrope plastique (Surfaces)

Ce modèle de matériau est utilisé dans les analyses avec le module complémentaire Assemblages en acier pour représenter le comportement des soudures conformément aux normes. Dans la surface de substitution, seules les contraintes correspondant aux composantes de contrainte σ_⊥, τ_⊥ et τ_|| de la soudure apparaissent. Dans les autres directions de contrainte, la rigidité de la surface de substitution tend vers zéro.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique | Soudure (Surfaces) »

Dans l'onglet 'Orthotrope | Plastique | Soudure (Surfaces)', vous pouvez définir les paramètres pour la prise en compte de l'écrouissage plastique du matériau pour les soudures, par exemple les valeurs limites f_ekv et f_x pour la vérification des contraintes selon la "méthode directionnelle" selon l'EN 1993-1-8 [1] pour les soudures, modifiée par une part plastique (voir aussi l'article technique Vérification des soudures d'angle).

Béton

Pour le type de matériau 'Béton', les modèles de matériau non linéaires 'Anisotrope | Endommagement' et 'Isotrope | Endommagement (Surfaces/Solides)' sont disponibles.

Modèles de matériau pour le béton

Ces modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Anisotrope | Endommagement du manuel sur le béton, respectivement ci-dessus dans la section Endommagement isotrope.

Maçonnerie

Lorsque le module complémentaire de vérification Vérification de la maçonnerie est activé dans les Données de base du modèle (licence requise), les modèles de matériau non linéaires 'Isotrope | Maçonnerie | Plastique (Surfaces)' et 'Orthotrope | Maçonnerie | Plastique (Surfaces)' sont disponibles pour le type de matériau 'Maçonnerie'.

Modèles de matériaux pour la maçonnerie

Les deux modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Matériaux du manuel de vérification de la maçonnerie.

Références

Comité Européen de normalisation. (2009). Eurocode 3 : Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-8: Bemessung von Anschlüssen. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010

Chapitre parent

Matériaux

Webinaire

Modèles

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Analyse non linéaire des matériaux

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Modèle de matériau de Tsai-Wu | Orthotrope élastique-plastique

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Angle de portique

σ_c	Contrainte limite en compression
σ_t	Contrainte limite pour la traction