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16. Januar 2024

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Lastfälle und Kombinationen

Ergebnisse flächenweise

Sie können die Ergebnisse für Flächen grafisch über die Navigator-Kategorie Flächen anzeigen. Die numerischen Flächenergebnisse finden Sie in der Tabellen-Kategorie Ergebnisse flächenweise.

01 Ergebnisse für Flächen in Navigator

02 Ergebnisse flächenweise in Tabelle

FE-Netzknoten und Rasterpunkte

Die grafischen Ergebnisse basieren auf den Ergebnissen in den FE-Netzknoten. In der Tabelle hingegen werden die Ergebnisse in Rasterpunkten ausgegeben, die für jede Fläche definiert sind (siehe Kapitel Flächen ). Dieses Raster stellt eine vom FE-Netz unabhängige Ausgabe in Ergebnispunkten mit regelmäßigen Abständen dar.

Bei kleinen Flächen kann die Standardmaschenweite des Rasters von 0.5 m dazu führen, dass nur wenige Rasterpunkte existieren. Passen Sie in diesem Fall die Anzahl oder den Abstand der Rasterpunkte an die Flächengröße an.

Info

Wenn Sie das Flächenraster ändern, erzeugt RFEM die Rasterwerte sofort aus den Ergebniswerten der FE-Knoten. Es ist keine Neuberechnung erforderlich.

02 Ergebnisse flächenweise in Tabelle

Tipp

Nutzen Sie den '''Quick Overview''' rechts , um zu einer Ergebnisart zu navigieren.

==== FE-Netzknoten und Rasterpunkte ==== Die grafischen Ergebnisse basieren auf den Ergebnissen in den FE-Netzknoten. In der Tabelle hingegen werden die Ergebnisse in Rasterpunkten ausgegeben, die für jede Fläche definiert sind (siehe Kapitel Flächen ). Dieses Raster stellt eine vom FE-Netz unabhängige Ausgabe in Ergebnispunkten mit regelmäßigen Abständen dar. Bei kleinen Flächen kann die Standardmaschenweite des Rasters von 0.5 m dazu führen, dass nur wenige Rasterpunkte existieren. Passen Sie in diesem Fall die Anzahl oder den Abstand der Rasterpunkte an die Flächengröße an.

Info

Wenn Sie das Flächenraster ändern, erzeugt RFEM die Rasterwerte sofort aus den Ergebniswerten der FE-Knoten. Es ist keine Neuberechnung erforderlich.

== Verformungen ==

04 Lokale Flächenverformungen im Navigator auswählen

Das Bild [[#image025920 Ergebnisse flächenweise in Tabelle]] zeigt die Tabelle mit den globalen Flächenverformungen. Diese sind auf die Achsen X, Y und Z bezogen. Die lokalen Verformungen beziehen sich auf die Flächenachsen x, y und z.

Info

Mit der Funktion '''Lokale Achsensysteme der Flächen ein/aus''' im Flächen-Kontextmenü können Sie die Flächenachsen ein- und ausblenden.

Die lokalen Verschiebungen und Verdrehungen bedeuten:

\|u\|	Absolutwert der Gesamtverschiebung
u_x	Verschiebung in Richtung der lokalen x-Achse
u_y	Verschiebung in Richtung der lokalen y-Achse
u_z	Verschiebung in Richtung der lokalen z-Achse
φ_x	Verdrehung um die lokale x-Achse
φ_y	Verdrehung um die lokale y-Achse
φ_z	Verdrehung um die lokale z-Achse

Bei gekrümmten Flächen beziehen sich die Flächenachsen auf die Achsen der finiten Elemente (siehe Bild [[#image026012 FE-Achsensysteme anzeigen]]). Die Tabelle listet die Verformungen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind. Dort können Sie auch steuern, welche Extremwerte ausgegeben werden. == Schnittgrößen ==

05 Flächenschnittgrößen im Navigator auswählen

06 Grundschnittgrößen der Flächen in Tabelle

Legen Sie im Navigator fest, welche Schnittgrößen an den Flächen dargestellt werden sollen. Die Tabelle listet die Schnittgrößen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind. Die Flächenschnittgrößen sind in drei Kategorien unterteilt: * Grundschnittgrößen: Schnittgrößen in Richtung der Flächenachsen * Hauptschnittgrößen: Schnittgrößen in Richtung der Hauptachsen * Bemessungsschnittgrößen: Schnittgrößen nach DIN V ENV 1992-1-1 [[#Refer [1]]] Anhang 2, A 2.8 und A 2.9 === Grundschnittgrößen === Flächenschnittgrößen sind – im Unterschied zu Stabschnittgrößen – mit kleinen Buchstaben symbolisiert. Aus der Integraldefinition der Biegemomente m_x und m_y geht hervor, dass die Momente auf die Richtungen der Flächenachsen bezogen sind, in die die entsprechenden Normalspannungen erzeugt werden. Bei gekrümmten Flächen sind die Schnittgrößen auf die lokalen Achsen der finiten Elemente bezogen. Sie können die 'FE-Achsensysteme' im Navigator - Anzeige einblenden.

07 FE-Achsensysteme anzeigen

Info

Es besteht ein grundsätzlicher Unterschied beim Verständnis von Flächen- und Stabschnittgrößen: Während ein Stabmoment M_y '''um''' die lokale Stabachse y "dreht", wirkt ein Flächenmoment m_y '''in''' Richtung der lokalen Flächenachse y – also um die Flächenachse x.

Im folgenden Bild sind die Grundschnittgrößen und Grundspannungen einer Fläche dargestellt.

08 Flächenschnittgrößen und Flächenspannungen

Die Flächenmomente sowie die Schubspannungen senkrecht zur Fläche weisen einen parabolischen Verlauf über die Flächendicke auf. ==== Vorzeichen ==== Aus den Vorzeichen können Sie erkennen, auf welcher Flächenseite die Schnittgröße vorliegt: Zeigt die globale Z-Achse nach '''unten''', so erzeugen positive Schnittgrößen Zugspannungen auf der positiven Flächenseite (also in Richtung der positiven Flächenachse z). Negative Schnittgrößen führen zu Druckspannungen auf der positiven Flächenseite. Ist die globale Z-Achse nach '''oben''' ausgerichtet, kehren sich die Vorzeichen entsprechend um. Die Grundschnittgrößen werden bei '''nach unten zeigender Z-Achse''' mit den folgenden Gleichungen ermittelt.

m_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{x} z d z

Biegemoment m_x (erzeugt Spannungen in Richtung der lokalen x-Achse)

m_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{y} z d z

Biegemoment m_y (erzeugt Spannungen in Richtung der lokalen y-Achse)

m_{x y} = m_{y x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x y} z d z

Drillmomente m_xy und m_yx

v_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x z} d z

Querkraft v_x

v_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{y z} d z

Querkraft v_y

n_{x} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{x} d z

Normalkraft n_x in Richtung der lokalen x-Achse

n_{y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} σ_{y} d z

Normalkraft n_y in Richtung der lokalen y-Achse

n_{x y} = \int_{- \frac{d}{2}}^{+ \frac{d}{2}} τ_{x y} d z

Schubfluss n_xy

=== Hauptschnittgrößen === Während sich die Grundschnittgrößen auf das mehr oder weniger frei angelegte xyz-Koordinatensystem einer Fläche beziehen, stellen die Hauptschnittgrößen die Extremwerte der Schnittgrößen in einem Flächenelement dar. Zur Ermittlung der Hauptschnittgrößen werden die Grundschnittgrößen in die Richtungen der beiden Hauptachsen transformiert. Die Hauptachsen 1 (Maximalwert) und 2 (Minimalwert) sind orthogonal angeordnet. Die Hauptschnittgrößen werden aus den Grundschnittgrößen ermittelt.

m_{1} = \frac{1}{2} [m_{x} + m_{y} + \sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}]

Biegemoment m₁ in Richtung der Hauptachse 1

m_{2} = \frac{1}{2} [m_{x} + m_{y} - \sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}]

Biegemoment m₂ in Richtung der Hauptachse 2

α_{b} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{2 m_{x y}}{m_{x} - m_{y}})]

Winkel α_b zwischen der lokalen Achse x (bzw. y) und der Hauptachse 1 (bzw. 2)

m_{T, \max, b} = \frac{\sqrt{{(m_{x} - m_{y})}^{2} + 4 {m_{x y}}^{2}}}{2}

Maximales Torsionsmoment m_T,max,b

v_{\max, b} = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

Maximale resultierende Querkraft v_max,b aus Biegeanteilen

β_{b} = \arctan \frac{v_{y}}{v_{x}}

Winkel β_b zwischen Hauptquerkraft v-max,b und lokaler Achse x

n_{1} = \frac{1}{2} [n_{x} + n_{y} + \sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}]

Normalkraft n₁ in Richtung der Hauptachse 1

n_{2} = \frac{1}{2} [n_{x} + n_{y} - \sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}]

Normalkraft n₂ in Richtung der Hauptachse 2

α_{m} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{2 n_{x y}}{n_{x} - n_{y}})]

Winkel α_m zwischen Achse x und Hauptachse 1 (für Normalkraft n₁)

v_{\max, m} = \frac{\sqrt{{(n_{x} - n_{y})}^{2} + 4 {n_{x y}}^{2}}}{2}

Maximale Querkraft v_max,m aus Membrananteilen

Sie können die Hauptachsenrichtungen α_b (für Biegemomente), β_b (für Querkräfte) und α_m (für Normalkräfte) grafisch als '''Trajektorien''' anzeigen.

09 Trajektorien der Hauptachsen darstellen

Wenn Sie beispielsweise den Winkel α_b darstellen, können Sie auch die Größen der jeweiligen Hauptmomente erkennen. Die Trajektorien sind auf die Werte der Momente m₁ und m₂ skaliert. === Bemessungsschnittgrößen === Die Bemessungsmomente und -normalkräfte basieren auf den in DIN V ENV 1992-1-1 [[#Refer [1]]] Anhang 2, A 2.8 und A 2.9 vorgestellten Verfahren. Damit steht Ihnen ein Hilfsmittel für die manuelle Stahlbetonbemessung zur Verfügung. Für das Add-On 'Betonbemessung' sind die Bemessungsschnittgrößen ohne Bedeutung, da dort das Verfahren nach Baumann [[#Refer [2]]] verwendet wird.

Info

Die Bemessungsmomente und -normalkräfte dürfen '''nicht''' kombiniert werden! Wie in [[#Refer [1]]] Anhang 2.8 dargelegt, sind die Momente ausschließlich auf Plattenbewehrungen bezogen. Die Normalkräfte sind für die Bemessung von Scheibenelementen gemäß [[#Refer [1]]] Anhang 2.9 anzuwenden.

Die Bemessungsschnittgrößen sind im [[#/de/downloads-und-infos/dokumente/online-handbuecher/rfem-5/08/17 Kapitel 8.17 des RFEM 5-Handbuchs]] angegeben. == Spannungen ==

10 Flächenspannungen im Navigator auswählen

11 Spannungen der Flächen in Tabelle

Legen Sie im Navigator fest, welche Spannungen an den Flächen dargestellt werden sollen. Die Tabelle listet die Spannungen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind. Die Flächenspannungen sind in folgende Kategorien unterteilt: * Grundspannungen: Spannungen in Richtung der Flächenachsen * Hauptspannungen: Spannungen in Richtung der Hauptachsen * Elastische Spannungskomponenten: Spannungen aus Momenten und aus Normalkräften * Vergleichsspannungen: Spannungen nach verschiedenen Vergleichsspannungshypothesen === Grundspannungen === Die Grundspannungen sind auf die Richtungen der lokalen Flächenachsen bezogen. Bei gekrümmten Flächen beziehen sie sich auf die lokalen Achsen der einzelnen finiten Elemente (siehe Bild [[#image026012 FE-Achsensysteme anzeigen]]). Die Grundspannungen sind im Bild [[#image026013 Flächenschnittgrößen und Flächenspannungen]] dargestellt. Sie bedeuten im Einzelnen:

σ_{x, +} = \frac{n_{x}}{d} + \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

d	Dicke der Fläche

Spannung σ_x,+ (in Richtung der lokalen x-Achse auf positiver Flächenseite)

σ_{y, +} = \frac{n_{y}}{d} + \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Spannung σ_y,+ (in Richtung der lokalen y-Achse auf positiver Flächenseite)

σ_{x, -} = \frac{n_{x}}{d} - \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

Spannung σ_x,- (in Richtung der x-Achse auf negativer Flächenseite)

σ_{y, -} = \frac{n_{y}}{d} - \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Spannung σ_y,- (in Richtung der y-Achse auf negativer Flächenseite)

τ_{x y, +} = \frac{n_{x y}}{d} + \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Drillspannung τ_xy,+ an positiver Flächenseite

τ_{x y, -} = \frac{n_{x y}}{d} - \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Drillspannung τ_xy,- an negativer Flächenseite

τ_{x z} = \frac{3 v_{x}}{2 d}

Schubspannung τ_xz rechtwinklig zur Fläche in Richtung der x-Achse

τ_{y z} = \frac{3 v_{y}}{2 d}

Schubspannung τ_yz rechtwinklig zur Fläche in Richtung der y-Achse

=== Hauptspannungen === Während sich die Grundspannungen auf das xyz-Koordinatensystem einer Fläche beziehen, stellen die Hauptspannungen die Extremwerte der Spannungen in einem Flächenelement dar. Die Hauptachsen 1 (Maximalwert) und 2 (Minimalwert) sind orthogonal angeordnet. Sie können die Hauptachsenrichtungen α grafisch als '''Trajektorien''' anzeigen (vergleiche Bild [[#image026016 Trajektorien der Hauptachsen darstellen]]). Die Hauptspannungen werden aus den Grundspannungen ermittelt.

σ_{1, +} = \frac{1}{2} [σ_{x, +} + σ_{y, +} + \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{x y, +}}^{2}}]

Spannung σ_1,+ in Richtung der Hauptachse 1 an positiver Flächenseite

σ_{2, +} = \frac{1}{2} [σ_{x, +} + σ_{y, +} - \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{x y, +}}^{2}}]

Spannung σ_2,+ in Richtung der Hauptachse 2 an positiver Flächenseite

α_{+} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, +}}{σ_{x, +} - σ_{y, +}}) \in (- 90 °, 90 °]

Winkel α₊ zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Spannungen an positiver Flächenseite

σ_{1, -} = \frac{1}{2} [σ_{x, -} + σ_{y, -} + \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{x y, -}}^{2}}]

Spannung σ_1,- in Richtung der Hauptachse 1 an negativer Flächenseite

σ_{2, -} = \frac{1}{2} [σ_{x, -} + σ_{y, -} - \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{x y, -}}^{2}}]

Spannung σ_2,- in Richtung der Hauptachse 2 an negativer Flächenseite

α_{-} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, -}}{σ_{x, -} - σ_{y, -}}) \in (- 90 °, 90 °]

Winkel α_- zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Spannungen an negativer Flächenseite

σ_{1, m} = \frac{1}{2} [σ_{x, m} + σ_{y, m} + \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{x y, m}}^{2}}]

Membranspannung σ_1,m in Richtung der Hauptachse 1

σ_{2, m} = \frac{1}{2} [σ_{x, m} + σ_{y, m} - \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{x y, m}}^{2}}]

Membranspannung σ_2,m in Richtung der Hauptachse 2

α_{m} = \frac{1}{2} \arctan 2 (\frac{2 τ_{x y, m}}{σ_{x, m} - σ_{y, m}}) \in (- 90 °, 90 °]

Winkel α_m zwischen lokaler Achse x und Hauptachse 1 für Membranspannungen

τ_{\max} = \sqrt{{τ_{x z}}^{2} + {τ_{y z}}^{2}}

Maximale Schubspannung τ_max senkrecht zur Fläche

=== Weitere Spannungen / Elastische Spannungskomponenten === Diese Kategorie enthält die Spannungsanteile infolge der Biegemomente und Membrankräfte. Sie sind auf die Richtungen der lokalen Flächenachsen bezogen. Bei gekrümmten Flächen beziehen sie sich auf die Achsen der finiten Elemente. Die Biege- und Membranspannungen bedeuten im Einzelnen:

σ_{x, b} = \frac{6 m_{x}}{d^{2}}

d	Dicke der Fläche

Spannung σ_x,b infolge Biegemoment m_x

σ_{y, b} = \frac{6 m_{y}}{d^{2}}

Spannung σ_y,b infolge Biegemoment m_y

τ_{x y, b} = \frac{6 m_{x y}}{d^{2}}

Spannung τ_xy,b infolge Drillmoment m_xy

σ_{x, m} = \frac{n_{x}}{d}

Membranspannung σ_x,m infolge Normalkraft n_x

σ_{y, m} = \frac{n_{y}}{d}

Membranspannung σ_y,m infolge Normalkraft n_y

τ_{x y, m} = \frac{n_{x y}}{d}

Spannung τ_xy,m infolge Schubfluss n_xy

=== Vergleichsspannungen === Die [[#basic-stresses Grundspannungen]] werden nach vier [https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleichsspannung Vergleichsspannungshypothesen] für den ebenen Spannungszustand kombiniert. * '''Von Mises''' Die Hypothese nach von Mises wird auch als "Gestaltänderungsenergiehypothese" bezeichnet. Sie basiert auf der Annahme, dass der Werkstoff versagt, wenn die Gestaltänderungsenergie eine bestimmte Grenze überschreitet. Die Gestaltänderungsenergie stellt diejenige Energie dar, die eine Verzerrung oder Deformation des Körpers hervorruft. Dieser Ansatz stellt die bekannteste und am häufigsten angewandte Vergleichsspannungshypothese dar. Sie eignet sich für alle Materialien, die nicht spröde sind. Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist somit der Stahlhochbau. Die Hypothese nach von Mises eignet sich nicht für hydrostatische Spannungszustände mit gleichen Hauptspannungen in alle Richtungen, da hier die Vergleichsspannung null ist. Die Vergleichsspannungen nach von Mises für den ebenen Spannungszustand bedeuten:

σ_{v, Mises, Max} = \max (σ_{v, Mises, +}; σ_{v, Mises, -})

Größte Vergleichsspannung σ_v,Mises,Max an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Mises, +} = \sqrt{{σ_{x, +}}^{2} + {σ_{y, +}}^{2} - σ_{x, +} σ_{y, +} + 3 {τ_{x y, +}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Mises,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Mises, -} = \sqrt{{σ_{x, -}}^{2} + {σ_{y, -}}^{2} - σ_{x, -} σ_{y, -} + 3 {τ_{x y, -}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Mises,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Mises, m} = \sqrt{{σ_{x, m}}^{2} + {σ_{y, m}}^{2} - σ_{x, m} σ_{y, m} + 3 {τ_{x y, m}}^{2}}

Membran-Vergleichsspannung σ_v,Mises,m

* '''Tresca''' Die Hypothese nach Tresca ist auch als "Schubspannungshypothese" bekannt. Es wird davon ausgegangen, dass das Versagen durch die maximale Schubspannung hervorgerufen wird. Da sich diese Hypothese für spröde Werkstoffe eignet, wird sie oft im Maschinenbau angewandt. Die Vergleichsspannungen nach Tresca werden wie folgt ermittelt:

σ_{v, Tresca, Max} = \max (σ_{v, Tresca, +}; σ_{v, Tresca, -})

Größte Vergleichsspannung σ_v,Tresca,Max an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Tresca, +} = \max (|σ_{1, +} - σ_{2, +}|; |σ_{2, +}|; |σ_{1, +}|) bzw .

σ_{v, Tresca, +} = \max (\sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}; |σ_{2, +}|; |σ_{1, +}|)

Vergleichsspannung σ_v,Tresca,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Tresca, -} = \max (|σ_{1, -} - σ_{2, -}|; |σ_{2, -}|; |σ_{1, -}|) bzw .

σ_{v, Tresca, -} = \max (\sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}; |σ_{2, -}|; |σ_{1, -}|)

Vergleichsspannung σ_v,Tresca,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Tresca, m} = \max (|σ_{1, m} - σ_{2, m}|; |σ_{2, m}|; |σ_{1, m}|) bzw .

σ_{v, Tresca, m} = \max (\sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}; |σ_{2, m}|; |σ_{1, m}|)

Membran-Vergleichsspannung σ_v,Tresca,m

* '''Rankine''' Die Vergleichsspannungshypothese nach Rankine wird auch als "Normalspannungshypothese" bezeichnet. Es wird davon ausgegangen, dass die größte Hauptspannung zum Versagen führt. Die Vergleichsspannungen nach Rankine werden wie folgt ermittelt:

σ_{v, Rankine, Max} = \max (σ_{v, Rankine, +}; σ_{v, Rankine, -})

Größte Vergleichsspannung σ_{v,Rankine,Max} an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Rankine, +} = \frac{1}{2} |σ_{x, +} + σ_{y, +}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Rankine,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Rankine, -} = \frac{1}{2} |σ_{x, -} + σ_{y, -}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Rankine,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Rankine, m} = \frac{1}{2} |σ_{x, m} + σ_{y, m}| + \frac{1}{2} \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}

Vergleichsspannung σ_v,Rankine,m

* '''Bach''' Die Vergleichsspannungshypothese nach Bach wird auch als "Hauptdehnungshypothese" bezeichnet. Dabei wird davon ausgegangen, dass das Versagen in Richtung der größten Dehnung auftritt. Dieser Ansatz ähnelt der Spannungsermittlung nach Rankine. Anstelle der Hauptspannung wird hier jedoch die Hauptdehnung verwendet. Die Vergleichsspannungen nach Bach werden wie folgt ermittelt:

σ_{v, Bach, Max} = \max (σ_{v, Bach, +}; σ_{v, Bach, -})

Größte Vergleichsspannung σ_v,Bach,Max an positiver oder negativer Flächenseite

σ_{v, Bach, +} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, +} + σ_{y, +}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, +} - σ_{y, +})}^{2} + 4 {τ_{xy, +}}^{2}}; ν |σ_{x, +} + σ_{y, +}|)

ν	Querdehnzahl

Vergleichsspannung σ_v,Bach,+ an positiver Flächenseite

σ_{v, Bach, -} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, -} + σ_{y, -}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, -} - σ_{y, -})}^{2} + 4 {τ_{xy, -}}^{2}}; ν |σ_{x, -} + σ_{y, -}|)

Vergleichsspannung σ_v,Bach,- an negativer Flächenseite

σ_{v, Bach, m} = \max (\frac{1 - ν}{2} |σ_{x, m} + σ_{y, m}| + \frac{1 + ν}{2} \sqrt{{(σ_{x, m} - σ_{y, m})}^{2} + 4 {τ_{xy, m}}^{2}}; ν |σ_{x, m} + σ_{y, m}|)

Membran-Vergleichsspannung σ_v,Bach,m

== Verzerrungen ==

12 Flächenverzerrungen im Navigator auswählen

13 Dehnungen der Flächen in Tabelle

Legen Sie im Navigator fest, welche Verzerrungen an den Flächen dargestellt werden sollen. Die Tabelle listet die Dehnungen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind. Die Flächenverzerrungen sind in folgende Kategorien unterteilt: * Grundgesamtdehnungen: Verzerrungen in Richtung der Flächenachsen * Hauptgesamtdehnungen: Verzerrungen in Richtung der Hauptachsen * Maximale Gesamtdehnungen: Extremwerte der Verzerrungen * Vergleichsgesamtdehnungen: Verzerrungen nach verschiedenen Vergleichsspannungshypothesen === Grundgesamtdehnungen === Die Grunddehnungen sind auf die Richtungen der lokalen Flächenachsen bezogen. Bei gekrümmten Flächen beziehen sie sich auf die lokalen Achsen der einzelnen finiten Elemente (siehe Bild [[#image026012 FE-Achsensysteme anzeigen]]). Die Grunddehnungen bedeuten im Einzelnen:

ε_{x, +} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{d}{2} \frac{\partial φ_{y}}{\partial x}

d	Dicke der Fläche

Dehnung ε_x,+ in Richtung der lokalen x-Achse auf positiver Flächenseite

ε_{y, +} = \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{d}{2} (- \frac{\partial φ_{x}}{\partial y})

Dehnung ε_y,+ in Richtung der lokalen y-Achse auf positiver Flächenseite

γ_{x y, +} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{d}{2} (\frac{\partial φ_{y}}{\partial y} - \frac{\partial φ_{x}}{\partial x})

Bezogene Verdrehung γ_xy,+ an positiver Flächenseite

ε_{x, -} = \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{d}{2} \frac{\partial φ_{y}}{\partial x}

Dehnung ε_x,- in Richtung der x-Achse auf negativer Flächenseite

ε_{y, -} = \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{d}{2} (- \frac{\partial φ_{x}}{\partial y})

Dehnung ε_y,- in Richtung der y-Achse auf negativer Flächenseite

γ_{x y, -} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{d}{2} (\frac{\partial φ_{y}}{\partial y} - \frac{\partial φ_{x}}{\partial x})

Bezogene Verdrehung γ_xy,- an negativer Flächenseite

=== Hauptgesamtdehnungen === Während sich die Grunddehnungen auf das xyz-Koordinatensystem einer Fläche beziehen, stellen die Hauptdehnungen die Extremwerte der Verzerrungen in einem Flächenelement dar. Die Hauptachsen 1 (Maximalwert) und 2 (Minimalwert) sind orthogonal angeordnet. Die Hauptdehnungen werden aus den Grunddehnungen ermittelt. Sie bedeuten im Einzelnen:

ε_{1, +} = \frac{1}{2} (ε_{x, +} + ε_{y, +} + \sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}})

Dehnung ε_1,+ in Richtung der Hauptachse 1 an positiver Flächenseite

ε_{2, +} = \frac{1}{2} (ε_{x, +} + ε_{y, +} - \sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}})

Dehnung ε_2,+ in Richtung der Hauptachse 2 an positiver Flächenseite

α_{+} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{γ_{x y, +}}{ε_{x, +} - ε_{y, +}})]

Winkel α₊ zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Dehnungen an positiver Flächenseite

ε_{1, -} = \frac{1}{2} (ε_{x, -} + ε_{y, -} + \sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}})

Dehnung ε_1,- in Richtung der Hauptachse 1 an negativer Flächenseite

ε_{2, -} = \frac{1}{2} (ε_{x, -} + ε_{y, -} - \sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}})

Dehnung ε_2,- in Richtung der Hauptachse 2 an negativer Flächenseite

α_{-} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{γ_{x y, -}}{ε_{x, -} - ε_{y, -}})]

Winkel α_- zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Dehnungen an negativer Flächenseite

Sie können die Hauptachsenrichtungen α grafisch als '''Trajektorien''' anzeigen (vergleiche Bild [[#image026016 Trajektorien der Hauptachsen darstellen]]). === Maximale Gesamtdehnungen === In dieser Kategorie werden die positiven und die negativen Extremwerte der Verzerrungen ausgegeben, die sich aus den Hauptgesamtdehnungen ergeben.

ε_max,+	Maximalwert der Dehnung an positiver Flächenseite
ε_min,+	Minimalwert der Dehnung an positiver Flächenseite
\|ε_max\|₊	Größter Extremwert an positiver Flächenseite
ε_max,-	Maximalwert der Dehnung an negativer Flächenseite
ε_min,-	Minimalwert der Dehnung an negativer Flächenseite
\|ε_max\|_-	Größter Extremwert an negativer Flächenseite
ε_max	Maximalwert der Dehnung an positiver oder negativer Flächenseite
ε_min	Minimalwert der Dehnung an positiver oder negativer Flächenseite
\|ε_max\|	Größter Extremwert an positiver oder negativer Flächenseite

=== Vergleichsgesamtdehnungen === Die [[#basic-strains Grundgesamtdehnungen]] werden nach vier Vergleichsspannungshypothesen für den ebenen Spannungszustand kombiniert. * '''Von Mises''' Die Hypothese nach [[#mises von Mises]] wird auch als "Gestaltänderungsenergiehypothese" bezeichnet. Die Gestaltänderungsenergie stellt diejenige Energie dar, die eine Verzerrung oder Deformation des Körpers hervorruft. Die Vergleichsgesamtdehnungen nach von Mises bedeuten:

ε_{v, Mises, +} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {(\frac{ε_{x, +} + ν ε_{y, +}}{1 - ν})}^{2} + {(\frac{ν ε_{x, +} + ε_{y, +}}{1 - ν})}^{2} + \frac{3}{2} {γ_{x y, +}}^{2}}}{\sqrt{2} (1 + ν)}

Vergleichsdehnung ε_v,Mises,+ an positiver Flächenseite

ε_{v, Mises, -} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {(\frac{ε_{x, -} + ν ε_{y, -}}{1 - ν})}^{2} + {(\frac{ν ε_{x, -} + ε_{y, -}}{1 - ν})}^{2} + \frac{3}{2} {γ_{x y, -}}^{2}}}{\sqrt{2} (1 + ν)}

Vergleichsdehnung ε_v,Mises,- an negativer Flächenseite

ε_{v, Mises} = \max (ε_{v, Mises, +}; ε_{v, Mises, -})

Größte Vergleichsdehnung ε_v,Mises an positiver oder negativer Flächenseite

* '''Tresca''' Bei der Hypothese nach [[#tresca Tresca]] wird davon ausgegangen, dass das Versagen durch die maximale Schubspannung hervorgerufen wird. Die Vergleichsgesamtdehnungen nach Tresca bedeuten:

ε_{v, Tresca, +} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}}}{1 + ν}

Vergleichsdehnung ε_v,Tresca,+ an positiver Flächenseite

ε_{v, Tresca, -} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}}}{1 + ν}

Vergleichsdehnung ε_v,Tresca,- an negativer Flächenseite

ε_{v, Tresca} = \max (ε_{v, Tresca, +}; ε_{v, Tresca, -})

Größte Vergleichsdehnung ε_v,Tresca an positiver oder negativer Flächenseite

* '''Rankine''' Bei der Hypothese nach [[#rankine Rankine]] wird davon ausgegangen, dass die größte Hauptspannung zum Versagen führt. Die Vergleichsgesamtdehnungen nach Rankine bedeuten:

ε_{v, Rankine, +} = \frac{1}{2} (\frac{|ε_{x, +} + ε_{y, +}|}{1 - ν} \frac{\sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}}}{1 + ν})

Vergleichsdehnung ε_v,Rankine,+ an positiver Flächenseite

ε_{v, Rankine, -} = \frac{1}{2} (\frac{|ε_{x, -} + ε_{y, -}|}{1 - ν} \frac{\sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}}}{1 + ν})

Vergleichsdehnung ε_v,Rankine,- an negativer Flächenseite

ε_{v, Rankine} = \max (ε_{v, Rankine, +}; ε_{v, Rankine, -})

Größte Vergleichsdehnung ε_v,Rankine an positiver oder negativer Flächenseite

* '''Bach''' Bei der Hypothese nach [[#bach Bach]] wird davon ausgegangen, dass das Versagen in Richtung der größten Dehnung auftritt. Die Vergleichsgesamtdehnungen nach Bach bedeuten:

ε_v,Bach,+	Größter Absolutwert der Hauptdehnung ε_1,+ oder ε_2,+ an positiver Flächenseite
ε_v,Bach,-	Größter Absolutwert der Hauptdehnung ε_1,- oder ε_2,- an negativer Flächenseite
\|ε_max\|	Größte Vergleichsdehnung ε_v,Bach an positiver oder negativer Flächenseite

== Kontaktspannungen ==

14 Kontaktspannungen im Navigator auswählen

15 Kontaktspannungen der Flächen in Tabelle

Für Flächen, die mit einem [[000060 Flächenlager]] versehen sind, können Sie im Navigator und in der Tabelle die 'Kontaktspannungen' anzeigen lassen. Die Tabelle listet die Kontaktspannungen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind. Die Kontaktspannungen bedeuten:

σ_{z} = \frac{F_{z}}{A}

F_z	Kontaktkraft im FE-Netzpunkt in Richtung z
A	Einzugsfläche für FE-Netzpunkt

Kontaktspannung σ_z ("Sohlpressung") in Richtung der Flächenachse z

τ_{y z} = \frac{F_{y}}{A}

F_y	Kontaktkraft im FE-Netzpunkt in Richtung y
A	Einzugsfläche für FE-Netzpunkt

Schubspannung τ_yz aus Flächenbettung

τ_{x z} = \frac{F_{x}}{A}

F_x	Kontaktkraft im FE-Netzpunkt in Richtung x
A	Einzugsfläche für FE-Netzpunkt

Schubspannung τ_xz aus Flächenbettung

Die Tabelle listet die Spannungen als Kraft pro Flächeneinheit auf, die in das Flächenlager eingeleitet werden. Es handelt sich also vorzeichenmäßig '''nicht''' um die Reaktionskräfte oder -momente vonseiten des Lagers. Die Vorzeichen ergeben sich aus der Richtung der globalen Achsen. Ist die lokale Flächenachse z nach unten gerichtet, so hat der Lastfall "Eigengewicht" beispielsweise eine positive Spannung σ_z zur Folge. Die Vorzeichen ergeben sich damit aus der Richtung der lokalen Flächenachse z.

Info

Mit der Option '''Lokales Achsensystem umkehren''' im Kontextmenü der Fläche können Sie die Ausrichtung der lokalen z-Achse ändern. Diese Möglichkeit besteht für alle Modelle des Typs '3D'. Beachten Sie, dass sich damit auch die Wirkrichtung einer Nichtlinearität ändert.

==== Summe der Lasten und Summe der Lagerkräfte ==== Bei Lastfällen und Lastkombinationen werden am Ende der Tabelle die Kontrollsummen Σ von Belastung und Lagerkräften angegeben. Diese Bilanz wird eine Differenz ausweisen, wenn das Modell auch Knoten-, Linien- oder Stablager aufweist. Diese Lagerkräfte sind in der Gesamtbilanz ebenfalls zu berücksichtigen. -->

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