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16. Januar 2024

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Lastfälle und Kombinationen

Verzerrungen

Legen Sie im Navigator fest, welche Verzerrungen an den Flächen dargestellt werden sollen. Die Tabelle listet die Dehnungen einer jeden Fläche nach den Vorgaben auf, die im Ergebnistabellen-Manager festgelegt sind.

01 Flächenverzerrungen im Navigator auswählen

02 Dehnungen der Flächen in Tabelle

Die Flächenverzerrungen sind in folgende Kategorien unterteilt:

Grundgesamtdehnungen: Verzerrungen in Richtung der Flächenachsen
Hauptgesamtdehnungen: Verzerrungen in Richtung der Hauptachsen
Maximale Gesamtdehnungen: Extremwerte der Verzerrungen
Vergleichsgesamtdehnungen: Verzerrungen nach verschiedenen Vergleichsspannungshypothesen

Grundgesamtdehnungen

Die Grunddehnungen sind auf die Richtungen der lokalen Flächenachsen bezogen. Bei gekrümmten Flächen beziehen sie sich auf die lokalen Achsen der einzelnen finiten Elemente (siehe Bild FE-Achsensysteme anzeigen ).

Die Grunddehnungen bedeuten im Einzelnen:

ε_{x, +} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{d}{2} \frac{\partial φ_{y}}{\partial x}

d	Dicke der Fläche

Dehnung ε_x,+ in Richtung der lokalen x-Achse auf positiver Flächenseite

ε_{y, +} = \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{d}{2} (- \frac{\partial φ_{x}}{\partial y})

Dehnung ε_y,+ in Richtung der lokalen y-Achse auf positiver Flächenseite

γ_{x y, +} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{d}{2} (\frac{\partial φ_{y}}{\partial y} - \frac{\partial φ_{x}}{\partial x})

Bezogene Verdrehung γ_xy,+ an positiver Flächenseite

ε_{x, -} = \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{d}{2} \frac{\partial φ_{y}}{\partial x}

Dehnung ε_x,- in Richtung der x-Achse auf negativer Flächenseite

ε_{y, -} = \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{d}{2} (- \frac{\partial φ_{x}}{\partial y})

Dehnung ε_y,- in Richtung der y-Achse auf negativer Flächenseite

γ_{x y, -} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{d}{2} (\frac{\partial φ_{y}}{\partial y} - \frac{\partial φ_{x}}{\partial x})

Bezogene Verdrehung γ_xy,- an negativer Flächenseite

Hauptgesamtdehnungen

Während sich die Grunddehnungen auf das xyz-Koordinatensystem einer Fläche beziehen, stellen die Hauptdehnungen die Extremwerte der Verzerrungen in einem Flächenelement dar. Die Hauptachsen 1 (Maximalwert) und 2 (Minimalwert) sind orthogonal angeordnet.

Die Hauptdehnungen werden aus den Grunddehnungen ermittelt. Sie bedeuten im Einzelnen:

ε_{1, +} = \frac{1}{2} (ε_{x, +} + ε_{y, +} + \sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}})

Dehnung ε_1,+ in Richtung der Hauptachse 1 an positiver Flächenseite

ε_{2, +} = \frac{1}{2} (ε_{x, +} + ε_{y, +} - \sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}})

Dehnung ε_2,+ in Richtung der Hauptachse 2 an positiver Flächenseite

α_{+} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{γ_{x y, +}}{ε_{x, +} - ε_{y, +}})]

Winkel α₊ zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Dehnungen an positiver Flächenseite

ε_{1, -} = \frac{1}{2} (ε_{x, -} + ε_{y, -} + \sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}})

Dehnung ε_1,- in Richtung der Hauptachse 1 an negativer Flächenseite

ε_{2, -} = \frac{1}{2} (ε_{x, -} + ε_{y, -} - \sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}})

Dehnung ε_2,- in Richtung der Hauptachse 2 an negativer Flächenseite

α_{-} = \frac{1}{2} [\arctan (\frac{γ_{x y, -}}{ε_{x, -} - ε_{y, -}})]

Winkel α_- zwischen lokaler Achse x (bzw. y) und Hauptachse 1 (bzw. 2) für Dehnungen an negativer Flächenseite

Sie können die Hauptachsenrichtungen α grafisch als 'Trajektorien' anzeigen (vergleiche Bild Trajektorien der Hauptachsen darstellen ).

Maximale Gesamtdehnungen

In dieser Kategorie werden die positiven und die negativen Extremwerte der Verzerrungen ausgegeben, die sich aus den Hauptgesamtdehnungen ergeben.

ε_max,+	Maximalwert der Dehnung an positiver Flächenseite
ε_min,+	Minimalwert der Dehnung an positiver Flächenseite
\|ε_max\|₊	Größter Extremwert an positiver Flächenseite
ε_max,-	Maximalwert der Dehnung an negativer Flächenseite
ε_min,-	Minimalwert der Dehnung an negativer Flächenseite
\|ε_max\|_-	Größter Extremwert an negativer Flächenseite
ε_max	Maximalwert der Dehnung an positiver oder negativer Flächenseite
ε_min	Minimalwert der Dehnung an positiver oder negativer Flächenseite
\|ε_max\|	Größter Extremwert an positiver oder negativer Flächenseite

Vergleichsgesamtdehnungen

Die Grundgesamtdehnungen werden nach vier Vergleichsspannungshypothesen für den ebenen Spannungszustand kombiniert.

Von Mises

Die Hypothese nach von Mises wird auch als "Gestaltänderungsenergiehypothese" bezeichnet. Die Gestaltänderungsenergie stellt diejenige Energie dar, die eine Verzerrung oder Deformation des Körpers hervorruft.

Die Vergleichsgesamtdehnungen nach von Mises bedeuten:

ε_{v, Mises, +} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {(\frac{ε_{x, +} + ν ε_{y, +}}{1 - ν})}^{2} + {(\frac{ν ε_{x, +} + ε_{y, +}}{1 - ν})}^{2} + \frac{3}{2} {γ_{x y, +}}^{2}}}{\sqrt{2} (1 + ν)}

Vergleichsdehnung ε_v,Mises,+ an positiver Flächenseite

ε_{v, Mises, -} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {(\frac{ε_{x, -} + ν ε_{y, -}}{1 - ν})}^{2} + {(\frac{ν ε_{x, -} + ε_{y, -}}{1 - ν})}^{2} + \frac{3}{2} {γ_{x y, -}}^{2}}}{\sqrt{2} (1 + ν)}

Vergleichsdehnung ε_v,Mises,- an negativer Flächenseite

ε_{v, Mises} = \max (ε_{v, Mises, +}; ε_{v, Mises, -})

Größte Vergleichsdehnung ε_v,Mises an positiver oder negativer Flächenseite

Tresca

Bei der Hypothese nach Tresca wird davon ausgegangen, dass das Versagen durch die maximale Schubspannung hervorgerufen wird.

Die Vergleichsgesamtdehnungen nach Tresca bedeuten:

ε_{v, Tresca, +} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}}}{1 + ν}

Vergleichsdehnung ε_v,Tresca,+ an positiver Flächenseite

ε_{v, Tresca, -} = \frac{\sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}}}{1 + ν}

Vergleichsdehnung ε_v,Tresca,- an negativer Flächenseite

ε_{v, Tresca} = \max (ε_{v, Tresca, +}; ε_{v, Tresca, -})

Größte Vergleichsdehnung ε_v,Tresca an positiver oder negativer Flächenseite

Rankine

Bei der Hypothese nach Rankine wird davon ausgegangen, dass die größte Hauptspannung zum Versagen führt.

Die Vergleichsgesamtdehnungen nach Rankine bedeuten:

ε_{v, Rankine, +} = \frac{1}{2} (\frac{|ε_{x, +} + ε_{y, +}|}{1 - ν} \frac{\sqrt{{(ε_{x, +} - ε_{y, +})}^{2} + {γ_{x y, +}}^{2}}}{1 + ν})

Vergleichsdehnung ε_v,Rankine,+ an positiver Flächenseite

ε_{v, Rankine, -} = \frac{1}{2} (\frac{|ε_{x, -} + ε_{y, -}|}{1 - ν} \frac{\sqrt{{(ε_{x, -} - ε_{y, -})}^{2} + {γ_{x y, -}}^{2}}}{1 + ν})

Vergleichsdehnung ε_v,Rankine,- an negativer Flächenseite

ε_{v, Rankine} = \max (ε_{v, Rankine, +}; ε_{v, Rankine, -})

Größte Vergleichsdehnung ε_v,Rankine an positiver oder negativer Flächenseite

Bach

Bei der Hypothese nach Bach wird davon ausgegangen, dass das Versagen in Richtung der größten Dehnung auftritt.

Die Vergleichsgesamtdehnungen nach Bach bedeuten:

ε_v,Bach,+	Größter Absolutwert der Hauptdehnung ε_1,+ oder ε_2,+ an positiver Flächenseite
ε_v,Bach,-	Größter Absolutwert der Hauptdehnung ε_1,- oder ε_2,- an negativer Flächenseite
\|ε_max\|	Größte Vergleichsdehnung ε_v,Bach an positiver oder negativer Flächenseite

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