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Dipl.-Ing. (FH) Robert Vogl

27.04.2023

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Résultats par solide

Vous pouvez afficher graphiquement les résultats pour les volumes via la catégorie du Navigateur Solide. Les résultats numériques de volume se trouvent dans la catégorie du tableau Résultats par volume.

Résultats par solide dans le tableau

Informations

Les résultats affichés dans le tableau et dans le graphique sont ceux présents sur les surfaces limites du solide. Pour vérifier les résultats à l’intérieur du solide, activez l’option Aux points de maillage EF dans la catégorie inférieure Valeurs sur les surfaces. Vous pouvez ensuite lire les valeurs dans le solide à l’aide d’un plan de coupe (voir le chapitre Plans de coupe).

Déformations

L’image Résultats par volume dans le tableau montre le tableau avec les déformations des surfaces limites. Les déplacements et les rotations sont affichés aux points de grille des surfaces (voir le chapitre Surfaces ).

Astuce

Pour les petites surfaces, la taille de maille standard de la grille de 0,5 m peut conduire à un nombre limité de points de grille. Dans ce cas, adaptez le nombre ou l’espacement des points de grille à la taille de la surface.

Les déformations signifient :

\|u\|	Valeur absolue du déplacement total
u_X	Déplacement dans la direction de l’axe global X
u_Y	Déplacement dans la direction de l’axe global Y
u_Z	Déplacement dans la direction de l’axe global Z
φ_X	Rotation autour de l’axe global X
φ_Y	Rotation autour de l’axe global Y
φ_Z	Rotation autour de l’axe global Z

Contraintes

Sélectionner les contraintes dans les solides dans le navigateur

Contraintes des solides dans le tableau

Définissez dans le Navigateur quelles contraintes doivent être affichées sur les surfaces limites des volumes. Le tableau liste les contraintes de ces surfaces selon les spécifications définies dans le Gestionnaire des tableaux de résultats .

Les contraintes de volume sont réparties dans les catégories suivantes :

Contraintes de base
Contraintes principales
Contraintes équivalentes
Invariantes de contrainte

Contraintes de base

Les contraintes de volume ne peuvent pas être décrites par des équations simples comme les contraintes de surface. Les contraintes de base σ_x, σ_y et σ_z, y compris les contraintes de cisaillement τ_yz, τ_xz et τ_xy, sont déterminées directement par le noyau de calcul.

Si un cube de longueurs d’arête d_x, d_y et d_z est découpé dans un corps sollicité multiaxialement, les contraintes dans chaque face du cube peuvent être décomposées en contraintes normales et de cisaillement. En négligeant la force de volume ainsi que les différences de contraintes sur les faces parallèles, l’état de contrainte peut être décrit dans le système de coordonnées local du cube par neuf composantes de contrainte.

Élément solide avec composants de contrainte

La matrice du tenseur des contraintes est :

σ = [\begin{matrix} σ_{x} & τ_{xy} & τ_{xz} \\ τ_{yx} & σ_{y} & τ_{yz} \\ τ_{zx} & τ_{zy} & σ_{z} \end{matrix}]

Matrice du tenseur des contraintes

Contraintes principales

Les contraintes principales σ₁, σ₂ et σ₃ se déduisent des valeurs propres du tenseur comme suit :

\det (σ - σ E) = 0

E	3x3 Einheitsmatrix

Contraintes principales

La contrainte de cisaillement maximale τ_max est déterminée à partir du cercle de Mohr :

τ_{\max} = \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3})

Contrainte maximale de cisaillement

Astuce

Avec l’entrée du Navigateur σ₁₂₃, vous pouvez représenter graphiquement les trajectoires des contraintes principales.

Contraintes équivalentes

Les contraintes équivalentes σ_v selon von Mises peuvent être déterminées par deux formules équivalentes.

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Contrainte équivalente σ_v,Mises à partir des contraintes principales

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Contrainte équivalente σ_v,Mises issue des contraintes de base

Pour la détermination de la contrainte équivalente σ_v selon Tresca , les différences entre les contraintes principales sont examinées afin d’en déterminer la valeur maximale.

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Contrainte équivalente σ_v,Tresca

La contrainte équivalente σ_v selon Rankine se détermine à partir des plus grandes valeurs absolues des contraintes principales.

σ_{v, Rankine} = max (|σ_{1}|; |σ_{2}|; |σ_{3}|)

Contrainte équivalente σ_v,Rankine

Pour la détermination de la contrainte équivalente σ_v selon Bach , les différences des contraintes principales sont examinées en tenant compte du coefficient de Poisson ν afin d’en déterminer la valeur maximale.

σ_{v, Bach} = max [|σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3})|; |σ_{2} - ν (σ_{3} + σ_{1})|; |σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2})|]

Contrainte équivalente_{v, Bach}

Invariantes de contrainte

Les invariantes de contrainte permettent une description objective et indépendante des coordonnées de l’état de contrainte d’un matériau. En tant que grandeurs scalaires, elles restent inchangées sous des rotations arbitraires du système de coordonnées et saisissent les propriétés physiquement pertinentes de ces états indépendamment de la représentation du tenseur choisie. Leur importance particulière réside dans le fait que de nombreux phénomènes mécaniques – en particulier l’écoulement plastique, la ruine et la rupture – ne dépendent pas de composantes de contrainte individuelles, mais de mesures invariantes. Les invariantes de contrainte constituent ainsi la base de nombreux critères d’écoulement et de ruine établis, tels que les théories de von Mises, de Tresca ou de Drucker-Prager.

La contrainte moyenne p est liée à la première invariante de contrainte I₁ et décrit la contrainte hydrostatique. Elle résulte de la moyenne arithmétique des trois contraintes principales et représente la distance du point de contrainte à l’origine des coordonnées sur la diagonale spatiale.

p = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{I_{1}}{3}

σ₁ , σ₂ , σ₃	Contraintes principales
I₁	Premier invariant des contraintes

Pression moyenne p

Elle caractérise l’état de contrainte normale moyen et est responsable des changements de volume. Physiquement, p correspond à un état de pression ou de traction uniforme qui ne provoque aucune modification de forme, mais uniquement une compression ou une dilatation. Dans de nombreux matériaux, en particulier en mécanique des sols et des roches ainsi que dans les matériaux sensibles à la pression, p influence considérablement le comportement en résistance et en déformation.

La contrainte déviatorique q est liée à la deuxième invariante du déviateur des contraintes J₂. Elle se détermine comme suit :

q = \sqrt{{σ_{1}}^{2} + {σ_{2}}^{2} + {σ_{3}}^{2} - σ_{1} σ_{2} - σ_{2} σ_{3} - σ_{3} σ_{1}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = \sqrt{{I_{1}}^{2} - 3 I_{2}} = \sqrt{3 J_{2}}

I₁	Première Invariante de contrainte
I₂	Deuxième invariant de contrainte
J₂	Deuxième invariant de contrainte déviatoire

Contrainte déviatorique q

Elle décrit la part de l’état de contrainte responsable des modifications de forme (distorsions de cisaillement) sans modifier le volume. La part déviatorique pilote en particulier l’écoulement plastique et la ruine dans les matériaux ductiles. Le critère d’écoulement de von Mises repose directement sur J₂ ou q et montre que la déformation plastique est principalement contrôlée par les contraintes déviatoriques.

L’angle de Lode θ indique la position du point de contrainte dans le plan déviatorique. Le plan déviatorique est divisé en six secteurs, de sorte que −30° ≤ θ ≤ 30°. L’angle est déterminé comme suit :

θ = \frac{1}{3} \sin^{- 1} (- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{{J_{2}}^{3 / 2}})

J₂	Deuxième invariant de contrainte de déviation : 1/6 [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₂)²]
J₃	Troisième invariant des contraintes déviatoires : 1/27 (2σ₁ – σ₂ – σ₃) (2σ₂ – σ₃ – σ₁) (2σ₃ – σ₁ – σ₂)

Angle de Lode θ

Une sollicitation de cisaillement pur résulte pour θ = 0, tandis que pour θ = 30°, l’état de contrainte σ₁ > σ₂ = σ₃ apparaît, ce qui correspond à un essai de compression triaxial. De θ = −30° résulte l’état de contrainte d’un essai de traction triaxial avec σ₁ < σ₂ = σ₃.

Distorsions

Sélection les déformations de solide dans le Navigateur

Sélectionner « Déformations de solide » dans le Navigateur

Déformations de solides dans le tableau

Définissez dans le Navigateur quelles distorsions doivent être affichées sur les surfaces limites des volumes. Le tableau liste les déformations de ces surfaces selon les spécifications définies dans le Gestionnaire des tableaux de résultats .

Les distorsions de volume sont réparties dans les catégories suivantes :

Déformations totales de base
Déformations totales principales
Déformations totales équivalentes
Invariantes de déformation

Déformations totales de base

Les déformations totales de base, y compris les distorsions de cisaillement, sont déterminées directement par le noyau de calcul. Pour l’état de distorsion spatial, la définition générale du tenseur est :

ε = [\begin{matrix} ε_{x} & ε_{x y} & ε_{x z} \\ ε_{x y} & ε_{y} & ε_{y z} \\ ε_{x z} & ε_{y z} & ε_{z} \end{matrix}]

Tenseur de l'état de déformation

Les éléments du tenseur sont définis comme suit :

ε_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})

Éléments tenseurs

Déformations totales principales

Les déformations totales principales ε₁, ε₂ et ε₃ sont déterminées à partir des déformations de base.

Astuce

Avec l’entrée du Navigateur ε₁₂₃, vous pouvez représenter graphiquement les trajectoires des déformations principales.

Déformations totales équivalentes

Les déformations totales équivalentes ε_v sont déterminées comme suit selon quatre hypothèses de contrainte différentes.

ε_{v, Mises} = \frac{1}{1 + ν} \sqrt{{ε_{x}}^{2} + {ε_{y}}^{2} + {ε_{z}}^{2} - ε_{x} ε_{y} - ε_{y} ε_{z} - ε_{z} ε_{x} + \frac{3}{4} ({γ_{x y}}^{2} + {γ_{y z}}^{2} + {γ_{x z}}^{2})}

γ_xy	2ϵ_xy
γ_yz	2ϵ_yz Distorsion
γ_xz	2ϵ_xz

Déformation totale équivalente ε_v,Mises

ε_{v, Tresca} = \max (|R_{1} - R_{2}|; |R_{2} - R_{3}|; |R_{3} - R_{1}|)

R	Matrice (voir ci-dessous)

Déformation totale équivalente ε_v,Tresca (maximum des différences de valeurs propres selon la matrice R)

ε_{v, Rankine} = \max (|R_{1}|; |R_{2}|; |R_{3}|)

R	Matrix (siehe unten)

Déformation totale équivalente ε_v,Rankine (maximum des valeurs propres selon la matrice R)

ε_{v, Bach} = \max (|R_{1} - ν (R_{2} + R_{3})|; |R_{2} - ν (R_{3} + R_{1})|; |R_{3} - ν (R_{1} + R_{2})|)

R	Matrice (voir ci-dessous)

Déformation totale équivalente ε_v,Bach (maximum des différences de valeurs propres selon la matrice R en tenant compte du coefficient de Poisson ν)

R = \frac{1}{1 + ν} [\begin{matrix} \frac{(1 - ν) ε_{x} + ν (ε_{y} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{γ_{x z}}{2} \\ \frac{γ_{x y}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{y} + ν (ε_{x} + ε_{z})}{1 - 2 ν} & \frac{γ_{y z}}{2} \\ \frac{γ_{x z}}{2} & \frac{γ_{y z}}{2} & \frac{(1 - ν) ε_{z} + ν (ε_{x} + ε_{y})}{1 - 2 ν} \end{matrix}]

Matrice R

Invariantes de déformation

Les invariantes de déformation sont des valeurs caractéristiques du tenseur de déformation qui restent indépendantes de l’orientation du système de coordonnées. Elles permettent une séparation claire entre changement de volume et modification de la forme d’un matériau. Cette distinction est essentielle pour l’analyse du comportement des matériaux, des critères de résistance et des modèles de plasticité.

L’invariante de déformation volumétrique ε_v correspond à la part isotrope des déformations totales.

ε_{v} = ε_{x} + ε_{y} + ε_{z}

Invariant de déformation volumétrique ε_v

Les déformations déviatoriques ε_q ou également les déformations de cisaillement γ_s décrivent la modification de forme pure sans changement de volume. Elles se déterminent comme suit :

ε_{q} = \frac{1}{3} \sqrt{2 [{(ε_{y} - ε_{z})}^{2} + {(ε_{x} - ε_{z})}^{2} + {(ε_{x} - ε_{y})}^{2}] + 3 (γ_{y z}^{2} + γ_{x z}^{2} + γ_{x y}^{2})}

Déformation de cisaillement ε_q

Chapitre parent

Résultats