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Dipl.-Ing. Frank Faulstich

14.12.2023

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Comportement non linéaire du matériau

Modèles de matériau

Lorsque le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau est activé dans les données de base du modèle (licence requise), d'autres options sont disponibles dans la liste des modèles de matériau en plus des modèles Isotrope | Élastique linéaire et Orthotrope | Élastique linéaire.

Modèle de matériau pour le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau

Méthode de calcul

Lorsque vous utilisez un modèle de matériau non linéaire, un calcul itératif est toujours effectué. Selon le modèle de matériau, une relation différente entre les contraintes et les déformations est définie.

La rigidité des éléments finis est ajustée en permanence au cours des itérations jusqu'à ce que la relation contrainte-déformation soit respectée. L'ajustement s'effectue toujours pour un élément de surface ou un élément solide entier. Lors de l'évaluation des contraintes, il convient donc toujours d'utiliser le type de lissage Constant dans les éléments du maillage.

Lissage de résultats

Modèles de matériau plastiques et non linéairement élastiques

Certains modèles de matériau sont désignés dans RFEM comme « plastiques », d'autres comme « non linéairement élastiques ». Lorsqu'un élément constructif avec un matériau non linéairement élastique est déchargé à nouveau, la déformation revient par le même chemin. Lors d'un déchargement complet, aucune déformation résiduelle ne subsiste.

Diagramme contrainte-déformation, élastique non linéaire

Lors du déchargement d'un élément constructif avec un modèle de matériau plastique, une déformation subsiste après le déchargement complet.

Diagramme contrainte-déformation plastique

La charge et la décharge peuvent être simulées avec le module complémentaire Analyse des phases de construction.

Astuce

Pour plus d'informations sur les modèles de matériau non linéairement élastiques, consultez l'article spécialisé Lois d'élasticité dans le modèle de matériau Isotrope non linéairement élastique.

Efforts internes de surface

Les efforts internes dans les dalles avec un matériau non linéaire résultent de l'intégration numérique des contraintes sur l'épaisseur de la dalle. Pour définir la méthode d'intégration pour l'épaisseur, cochez dans la boîte de dialogue « Modifier l'épaisseur » l'option Définir la méthode d'intégration. Les méthodes d'intégration suivantes sont alors disponibles :

Quadrature de Gauss-Lobatto

Règle de Simpson

Règle des trapèzes

Définir la méthode d’intégration pour l’épaisseur de surface

De plus, vous pouvez définir le « nombre de points d'intégration » sur l'épaisseur de la dalle de 3 à 99.

Astuce

Les fondements théoriques des différentes méthodes d'intégration se trouvent dans le manuel Surfaces multicouches.

Isotrope | Plastique (barres)

Lorsque vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (barres) dans la liste déroulante « Modèle de matériau », l'onglet de saisie des paramètres non linéaires du matériau devient actif.

Activer le modèle de matériau non linéaire

Définir les paramètres de matériau non linéaire

Dans cet onglet, vous définissez le diagramme contrainte-déformation. Les possibilités suivantes sont disponibles :

Standard

Bilinéaire

Diagramme

Si Standard est sélectionné, RFEM utilise un modèle de matériau bilinéaire. Pour le module d'élasticité E et la limite d'élasticité f_y, les valeurs de la bibliothèque de matériaux sont utilisées. Pour des raisons numériques, la branche n'est pas exactement horizontale, mais présente une petite inclinaison E_p.

Si vous souhaitez modifier les valeurs de la limite d'élasticité et du module d'élasticité, activez dans l'onglet « Base » la case à cocher Matériau défini par l'utilisateur.

Activer le matériau défini par l’utilisateur

Dans la définition bilinéaire, vous pouvez également saisir la valeur de E_p.

Des relations plus complexes entre contrainte et déformation se définissent au moyen d'un diagramme contrainte-déformation. Lorsque vous sélectionnez cette option, l'onglet « Diagramme contrainte-déformation » s'affiche.

Saisie du diagramme contrainte-déformation personnalisé

Définissez dans chaque ligne un point de la relation contrainte-déformation. La manière dont le diagramme doit se poursuivre après le dernier point de définition peut être sélectionnée dans la liste « Fin du diagramme » sous le diagramme :

Avancement après le dernier point de définition

Avec « Rupture », la contrainte revient à zéro après le dernier point de définition (par exemple lorsque le matériau se déchire). « Fluage » signifie que la contrainte reste constante avec l'augmentation de la déformation. « Continu » signifie que la courbe se poursuit avec la pente du dernier segment.

Informations

Dans ce modèle de matériau, le diagramme contrainte-déformation se rapporte à la contrainte longitudinale σ_x. Des limites d'élasticité différentes pour la traction et la compression ne peuvent pas être prises en compte avec ce modèle de matériau.

Isotrope | Plastique (surfaces/solides)

Lorsque vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (surfaces/solides) dans la liste déroulante « Modèle de matériau », l'onglet de saisie des paramètres non linéaires du matériau devient actif.

Sélectionner le modèle de matériau plastique

Sélectionnez d'abord l'« hypothèse de rupture par contrainte ». Les hypothèses suivantes sont disponibles :

von Mises (hypothèse de l'énergie de distorsion)

Tresca (hypothèse de contrainte de cisaillement)

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

Définir le critère de rupture sous contrainte

Si vous sélectionnez von Mises, les contraintes suivantes sont utilisées dans le diagramme contrainte-déformation :

Surfaces

$σ_{v} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} - σ_{x} σ_{y} + 3 (τ_{xy}^{2})}$

Contrainte équivalente à partir des contraintes de base selon von Mises

Solides

$σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}$

Contrainte équivalente σ_v,Mises issue des contraintes de base

$σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}$

Contrainte équivalente σ_v,Mises à partir des contraintes principales

Selon l'hypothèse de Tresca, ces contraintes sont utilisées :

Surfaces

$σ_{v} = \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 {τ_{xy}}^{2}}$

Contraintes équivalentes selon Tresca

Solides

$σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)$

Contrainte équivalente σ_v,Tresca

Selon l'hypothèse de Drucker-Prager, cette contrainte est utilisée pour les surfaces et les solides :

$σ_{v} = \frac{m - 1}{2} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) + \frac{m + 1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

σ_c

Contrainte limite en compression

σ_t

Contrainte limite pour la traction

Critère de rendement selon Drucker-Prager

Selon l'hypothèse de Mohr-Coulomb, la contrainte suivante est utilisée pour les surfaces et les solides :

$σ_{v} = \frac{m + 1}{2} \max \{|σ_{1} - σ_{2}| + K (σ_{1} + σ_{2}), |σ_{2} - σ_{3}| + K (σ_{2} + σ_{3}), |σ_{3} - σ_{1}| + K (σ_{3} + σ_{1})\}$
$K = \frac{m - 1}{m + 1}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

Mohr-Coulomb

Isotrope | Non linéaire élastique (barres)

Le fonctionnement correspond en grande partie à celui du modèle de matériau Plastique (barres). À la différence de celui-ci, aucune déformation plastique ne subsiste toutefois après le déchargement.

Isotrope | Non linéaire élastique (surfaces/solides)

Le fonctionnement correspond en grande partie à celui du modèle de matériau Plastique (surfaces/solides). À la différence de celui-ci, aucune déformation plastique ne subsiste toutefois après le déchargement.

Isotrope | Endommagement (surfaces/solides)

À la différence des autres modèles de matériau, le diagramme contrainte-déformation de ce modèle de matériau n'est pas antisymétrique par rapport à l'origine. Ce modèle de matériau permet ainsi, par exemple, de reproduire le comportement du béton fibré acier. Pour des informations détaillées sur la modélisation du béton fibré acier, consultez l'article spécialisé Propriétés des matériaux du béton fibré acier.

Modèle de matériau « Isotrope | Endommagement »

La rigidité isotrope est réduite au moyen d'un paramètre d'endommagement scalaire. Ce paramètre d'endommagement se détermine à partir de l'évolution de la contrainte définie dans le diagramme. La direction des contraintes principales n'est pas prise en compte ; l'endommagement se produit plutôt dans la direction de la déformation équivalente, qui prend également en compte la troisième direction perpendiculaire au plan. La zone en traction et la zone de compression du tenseur de contrainte sont traitées séparément. Des paramètres d'endommagement différents s'appliquent respectivement.

La « taille de référence de l'élément » contrôle la manière dont la déformation dans la zone de fissuration est mise à l'échelle sur la longueur de l'élément. Avec la valeur prédéfinie zéro, aucune mise à l'échelle n'a lieu. Le comportement du matériau du béton fibré acier est ainsi reproduit de manière réaliste.

Astuce

Les fondements théoriques du modèle de matériau « Endommagement isotrope » se trouvent dans l'article spécialisé Modèle de matériau non linéaire Endommagement.

Orthotrope | Endommagement anisotrope

Les matériaux en bois présentent des propriétés dépendant de la direction. Les directions principales anisotropes s'étendent dans la direction du fil, dans la direction radiale et dans la direction tangentielle. Dans l'onglet Orthotrope | Endommagement anisotrope, vous pouvez définir les propriétés non linéaires.

Modèle de matériau 'Orthotrope | Endommagement anisotrope'

Ce modèle de matériau met en œuvre le modèle d'endommagement de Sandhaas [2] avec huit critères d'échec pour le bois. Le bois se comporte de manière quasi fragile sous traction et cisaillement et de manière ductile sous compression, et il rompt dans les plans définis par le parcours du fil. Le modèle selon [2] décrit huit critères d'échec séparés (un par quadrant de la zone de contrainte) qui contrôlent neuf facteurs de réduction de rigidité.

L'axe local x s'étend dans la direction du fil, l'axe y dans la direction radiale et l'axe z dans la direction tangentielle. Chaque critère est une fonction de contrainte F qui atteint la valeur 1 au début de l'endommagement. Quatre d'entre eux sont des critères de contrainte maximale simples. Les quatre critères pour la traction transversale et le cisaillement sont elliptiques : la fente dans un plan peut être déclenchée par une traction perpendiculaire au plan, par un cisaillement le long du plan ou par toute combinaison des deux.

Saisissez les résistances limites du matériau ainsi que l'énergie de rupture en traction et l'énergie de rupture en cisaillement pour chaque direction.

Informations

À la différence du modèle de matériau Orthotrope | Plastique, les forces ne sont pas redistribuées, mais découplées par la rupture du plan du fil. Cela permet de reproduire le comportement de fente du bois. Les déformations sont généralement plus faibles.

Déformations avec modèle de matériau Orthotrope | Plastique (à gauche) et Orthotrope | Endommagement anisotrope (à droite)

Orthotrope | Plastique (surfaces) / Plastique (solides)

Le modèle de matériau selon Tsai-Wu réunit des propriétés plastiques et orthotropes. Cela permet des modélisations spéciales de matériaux à caractéristique anisotrope tels que les plastiques renforcés de fibres ou le bois.

Lors de la plasticisation du matériau, les contraintes restent constantes. Une redistribution s'effectue en fonction des rigidités présentes dans les différentes directions.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Surfaces) »

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Solide) »

La zone élastique correspond au modèle de matériau Élastique linéaire (solides). Pour la zone plastique s'applique la condition de plasticité suivante selon Tsai-Wu :

Surfaces

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$\frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} - {[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, état de contrainte planaire

Solides

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$σ_{z} [\frac{1}{f_{t, z}} - \frac{1}{f_{c, z}}] + \frac{{σ_{z}}^{2}}{f_{t, z} f_{c, z}} +$
$\frac{{τ_{yz}}^{2}}{{f_{v, yz}}^{2}} + \frac{{τ_{xz}}^{2}}{{f_{v, xz}}^{2}} + \frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} -$
${[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, état de contrainte spatiale

Toutes les résistances doivent être définies comme positives.

La condition de plasticité peut être imaginée comme une surface en forme d'ellipse dans l'espace de contraintes à six dimensions. Si l'une des trois composantes de contrainte est supposée comme valeur constante, la surface peut être projetée sur un espace de contraintes tridimensionnel.

Si la valeur de f_y(σ) selon l'équation Tsai-Wu, état de contrainte plane est inférieure à 1, les contraintes se situent dans la zone élastique. La zone plastique est atteinte dès que f_y(σ) = 1. Des valeurs supérieures à 1 sont inadmissibles. Le modèle se comporte de manière idéalement plastique, c'est-à-dire qu'aucun raidissement n'a lieu.

Orthotrope | Plastique | Soudure (surfaces)

Ce modèle de matériau est utilisé dans les analyses avec le module complémentaire Assemblages en acier afin de reproduire le comportement des soudures conformément aux normes. Dans la surface équivalente, seules les contraintes correspondant aux composantes de contrainte σ_⊥, τ_⊥ et τ_|| de la soudure apparaissent. Dans les autres directions de contrainte, la rigidité de la surface équivalente tend vers zéro.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique | Soudure (Surfaces) »

Dans l'onglet « Orthotrope | Plastique | Soudure (surfaces) », vous pouvez définir les paramètres pour la prise en compte du durcissement plastique du matériau des soudures, par exemple les valeurs limites f_ekv et f_x pour la vérification des contraintes selon la « méthode directionnelle » selon EN 1993-1-8 [1] pour les soudures, modifiée par une part plastique (voir également l'article spécialisé Vérification des soudures d'angle).

Béton

Pour le type de matériau « Béton », les modèles de matériau non linéaires Endommagement anisotrope et Isotrope | Endommagement (surfaces/solides) sont disponibles.

Modèles de matériau pour le béton

Ces modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Anisotrope | Endommagement du manuel Béton respectivement ci-dessus dans la section Endommagement (surfaces/solides).

Maçonnerie

Lorsque le module complémentaire de vérification Vérification de la maçonnerie est activé dans les données de base du modèle (licence requise), les modèles de matériau non linéaires Isotrope | Maçonnerie | Plastique (surfaces) et Orthotrope | Maçonnerie | Plastique (surfaces) sont disponibles pour le type de matériau « Maçonnerie ».

Modèles de matériaux pour la maçonnerie

Les deux modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Matériaux du manuel Maçonnerie.

Textile

La bibliothèque de matériaux contient deux séries pour le type de matériau « Textile » :

Verre-PTFE : tissu en verre revêtu de polytétrafluoroéthylène (PTFE)

PES-PVC : tissu en polyester revêtu de chlorure de polyvinyle (PVC)

Informations

Pour les couches telles que l'ETFE, le type de matériau « Couche » est prévu.

Pour les matériaux textiles, en plus du modèle de matériau linéaire orthotrope, le modèle de matériau non linéaire Orthotrope | Textile | Non linéaire élastique (surfaces) est disponible.

Modèles de matériau pour textiles

Ce modèle de matériau permet une reproduction réaliste du comportement orthotrope des membranes textiles précontraintes, dont les rigidités en chaîne et en trame sont différentes. Il décrit le tissu au moyen d'un élément de volume représentatif (RVE) de sa microstructure. Grâce à la prise en compte de la géométrie du tissu, le modèle captures pour tous les états de force dans la membrane l'effet de coefficient de Poisson associé. Comme le développement de la rigidité du tissu en fonction de la charge est également pris en compte, une analyse précise des structures à membrane est possible.

Les valeurs caractéristiques des tissus sont déterminées dans des essais biaxiaux, dont résultent les modules d'élasticité E_x et E_y ainsi que le module de cisaillement G_xy. Le couplage entre la direction de la chaîne et celle de la trame résulte toutefois de la géométrie des fils : sous charge, l'ondulation des fils change dans les deux directions. Cet effet est appelé en anglais crimp interchange.

Le modèle de matériau déduit donc la réponse du matériau d'une cellule unitaire de la structure du tissu. Cette cellule unitaire prend également en compte sa propre non-linéarité géométrique. Les coefficients de Poisson ne sont pas utilisés dans ce modèle. Le couplage des deux directions est contrôlé par le paramètre R.

Comme pour tous les modèles de matériau non linéairement élastiques, la déformation revient par le même chemin lors du déchargement. Le calcul s'effectue de manière itérative.

Modèle de matériau 'Orthotrope | Textile | Non-linéaire élastique (Surfaces)'

Sélectionnez dans la liste « Structures de tissu » le type de fabrication du tissu. Deux possibilités sont disponibles :

Armure toile

Armure panama

Saisissez le module d'élasticité dans la direction x (chaîne) et dans la direction y (trame). Comme les modules de cisaillement G_yz et G_xz sont toujours nuls pour les tissus, seul le champ de saisie G_xy pour le coefficient de Poisson dans le plan du tissu est proposé. Ce module de cisaillement peut également être nul.

Le facteur R décrit le rapport entre la hauteur et la longueur de l'élément de volume représentatif (RVE). La valeur doit être comprise entre 0 et 1.

Si nécessaire, adaptez les coefficients de dilatation thermique du tissu α_x dans la direction de la chaîne et α_y dans la direction de la trame. Ils peuvent également être nuls.

Dans l'onglet « Valeurs du matériau », les valeurs caractéristiques d'un tissu sont indiquées comme il est d'usage dans le secteur des membranes. La direction x correspond à la direction de la chaîne, la direction y à la direction de la trame.

Références

Comité Européen de normalisation. (2009). Eurocode 3 : Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-8: Bemessung von Anschlüssen. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010

Sandhaas, C., Comportement mécanique des assemblages bois avec plaques d'acier frettées. Dissertation, TU Delft, 2012.

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Analyse non linéaire des matériaux

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Modèle de matériau de Tsai-Wu | Orthotrope élastique-plastique

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Angle de portique

σ_c	Contrainte limite en compression
σ_t	Contrainte limite pour la traction