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Dipl.-Ing. Frank Faulstich

14.12.2023

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Comportement non linéaire du matériau

Modèles de matériau

Lorsque le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau est activé dans les données de base du modèle (licence requise), d'autres possibilités de sélection sont disponibles, outre les modèles de matériau Isotrope | Linéairement élastique et Orthotrope | Linéairement élastique, dans la liste des modèles de matériau.

Modèle de matériau pour le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau

Méthode de calcul

Si vous utilisez un modèle de matériau non linéaire, un calcul itératif est toujours effectué. Selon le modèle de matériau, une relation différente entre les contraintes et les déformations est définie.

La rigidité des éléments finis est ajustée de manière répétée au cours des itérations, jusqu'à ce que la relation contrainte-déformation soit respectée. L'ajustement s'effectue toujours pour un élément de surface ou un élément solide entier. Lors de l'analyse des contraintes, il convient donc toujours d'utiliser le type de lissage Constant dans les éléments du maillage.

Lissage de résultats

Modèles de matériau plastiques et non linéairement élastiques

Certains modèles de matériau sont désignés dans RFEM comme « plastiques », d'autres comme « non linéairement élastiques ». Lorsqu'un élément structurel muni d'un matériau non linéairement élastique est à nouveau déchargé, la déformation revient sur le même chemin. Lors d'une décharge complète, aucune déformation ne subsiste.

Diagramme contrainte-déformation, élastique non linéaire

Lors de la décharge d'un élément structurel avec un modèle de matériau plastique, une déformation subsiste après la décharge complète.

Diagramme contrainte-déformation plastique

La charge et la décharge peuvent être simulées avec le module complémentaire Analyse des phases de construction.

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Isotrope | Plastique (barres)

Si vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (barres) dans le menu déroulant « Modèle de matériau », l'onglet de saisie des paramètres de matériau non linéaires devient actif.

Activer le modèle de matériau non linéaire

Définir les paramètres de matériau non linéaire

Dans cet onglet, vous définissez le diagramme contrainte-déformation. Les possibilités suivantes sont disponibles :

Standard
Bilinéaire
Diagramme

Si Standard est sélectionné, RFEM utilise un modèle de matériau bilinéaire. Pour le module d'élasticité E et la limite d'élasticité f_y, les valeurs de la bibliothèque de matériaux sont utilisées. Pour des raisons numériques, la branche n'est pas exactement horizontale, mais présente une faible pente E_p.

Si vous souhaitez modifier les valeurs de la limite d'élasticité et du module d'élasticité, activez dans l'onglet « Base » la case Matériau défini par l'utilisateur.

Activer le matériau défini par l’utilisateur

Pour la définition bilinéaire, vous pouvez également saisir la valeur de E_p.

Vous définissez des relations plus complexes entre contrainte et déformation au moyen d'un diagramme contrainte-déformation. Si vous sélectionnez cette option, l'onglet « Diagramme contrainte-déformation » s'affiche.

Saisie d'un diagramme contrainte-déformation personnalisé

Saisie du diagramme contrainte-déformation personnalisé

Définissez dans chaque ligne un point pour la relation contrainte-déformation. Vous pouvez sélectionner dans la liste « Fin du diagramme » sous le diagramme la manière dont le diagramme doit se poursuivre après le dernier point de définition :

Avancement après le dernier point de définition

Avec « Rupture », la contrainte retombe à zéro après le dernier point de définition (par exemple lorsque le matériau se rompt). « Fluage » signifie que la contrainte reste constante avec l'augmentation de la déformation. « Continu » signifie que la courbe se poursuit avec la pente du dernier segment.

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Isotrope | Plastique (surfaces/solides)

Si vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (surfaces/solides) dans le menu déroulant « Modèle de matériau », l'onglet de saisie des paramètres de matériau non linéaires devient actif.

Sélectionner le modèle de matériau plastique

Sélectionnez d'abord l'« hypothèse de rupture par contrainte ». Les hypothèses suivantes sont disponibles :

von Mises (hypothèse de l'énergie de déformation)
Tresca (hypothèse de cisaillement)
Drucker-Prager
Mohr-Coulomb

Définir le critère de rupture sous contrainte

Si vous sélectionnez von Mises, les contraintes suivantes sont utilisées dans le diagramme contrainte-déformation :

Surfaces

σ_{v} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} - σ_{x} σ_{y} + 3 (τ_{xy}^{2})}

Contrainte équivalente à partir des contraintes de base selon von Mises

Solides

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Contrainte équivalente σ_v,Mises issue des contraintes de base

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Contrainte équivalente σ_v,Mises à partir des contraintes principales

Selon l'hypothèse de Tresca, ces contraintes sont utilisées :

Surfaces

σ_{v} = \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 {τ_{xy}}^{2}}

Contraintes équivalentes selon Tresca

Solides

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Contrainte équivalente σ_v,Tresca

Selon l'hypothèse de Drucker-Prager, cette contrainte est utilisée pour les surfaces et les solides :

σ_{v} = \frac{m - 1}{2} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) + \frac{m + 1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]}

m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}

σ_c	Contrainte limite en compression
σ_t	Contrainte limite pour la traction

Critère de rendement selon Drucker-Prager

Selon l'hypothèse de Mohr-Coulomb, la contrainte suivante est utilisée pour les surfaces et les solides :

σ_{v} = \frac{m + 1}{2} \max \{|σ_{1} - σ_{2}| + K (σ_{1} + σ_{2}), |σ_{2} - σ_{3}| + K (σ_{2} + σ_{3}), |σ_{3} - σ_{1}| + K (σ_{3} + σ_{1})\}

K = \frac{m - 1}{m + 1}

m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}

Mohr-Coulomb

Isotrope | Non linéairement élastique (barres)

Le fonctionnement correspond en grande partie à celui du modèle de matériau Plastique (barres). À la différence de celui-ci, aucune déformation plastique ne subsiste toutefois après la décharge.

Isotrope | Non linéairement élastique (surfaces/solides)

Le fonctionnement correspond en grande partie à celui du modèle de matériau Plastique (surfaces/solides). À la différence de celui-ci, aucune déformation plastique ne subsiste toutefois après la décharge.

Isotrope | Endommagement (surfaces/solides)

À la différence d'autres modèles de matériau, le diagramme contrainte-déformation de ce modèle de matériau n'est pas antimétrique par rapport à l'origine. Ce modèle de matériau permet ainsi, par exemple, de représenter le comportement du béton fibré acier. Vous trouverez des indications détaillées sur la modélisation du béton fibré acier dans l'article technique Propriétés des matériaux du béton fibré acier.

Modèle de matériau « Isotrope | Endommagement »

La rigidité isotrope est réduite à l'aide d'un paramètre d'endommagement scalaire. Ce paramètre d'endommagement se détermine à partir du tracé de la contrainte définie dans le diagramme. La direction des contraintes principales n'est pas prise en compte ; l'endommagement s'effectue plutôt dans la direction de la déformation équivalente, qui englobe également la troisième direction perpendiculaire au plan. Les domaines de traction et de compression du tenseur de contrainte sont traités séparément. Des paramètres d'endommagement différents s'appliquent dans chaque cas.

La « taille de référence de l'élément » contrôle la mise à l'échelle de la déformation dans la zone de fissuration sur la longueur de l'élément. Avec la valeur prédéfinie zéro, aucune mise à l'échelle n'a lieu. Le comportement du matériau du béton fibré acier est ainsi représenté de manière réaliste.

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Orthotrope | Endommagement anisotrope

Les matériaux bois présentent des propriétés dépendantes de la direction (anisotropes). Les directions principales anisotropes s'orientent selon la direction du fil, en direction radiale et tangentielle. Dans l'onglet Orthotrope | Endommagement anisotrope, vous pouvez définir les propriétés non linéaires.

Modèle de matériau 'Orthotrope | Endommagement anisotrope'

Ce modèle de matériau met en œuvre un modèle d'endommagement avec huit critères d'échec pour le bois. Le bois se comporte de manière quasi fragile sous traction transversale et cisaillement et ductile sous compression. Il rompt dans les plans définis par le parcours des fibres. Le modèle d'endommagement selon Sandhaas [2] décrit huit critères d'échec distincts (un par quadrant de la zone de contrainte), qui contrôlent neuf facteurs de réduction de rigidité.

L'axe local x s'oriente selon la direction du fil, l'axe y en direction radiale et l'axe z en direction tangentielle. Chaque critère est une fonction de contrainte F qui atteint la valeur 1 au début de l'endommagement. Quatre d'entre eux sont des critères simples de contrainte maximale. Les quatre critères pour la traction transversale et le cisaillement sont elliptiques : la rupture fragile (fissuration) est déclenchée par une traction dans le plan respectif.

Saisissez les résistances limites du matériau ainsi que l'énergie de rupture en traction et l'énergie de rupture en cisaillement pour chaque direction.

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Orthotrope | Plastique (surfaces) / Plastique (solides)

Le modèle de matériau selon Tsai-Wu combine des propriétés plastiques et orthotropes. Des modélisations spéciales de matériaux à caractéristiques anisotropes tels que les plastiques renforcés de fibres ou le bois sont ainsi possibles.

Lors de l'écoulement du matériau, les contraintes restent constantes. Une redistribution a lieu en fonction des rigidités présentes dans les différentes directions.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Surfaces) »

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Solide) »

Le domaine élastique correspond au modèle de matériau Linéairement élastique (solides). Pour le domaine plastique, la condition d'écoulement selon Tsai-Wu s'applique :

Surfaces

σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +

σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +

\frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} - {[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1

α = \sum_{i} ∆ γ_{i}

Tsai-Wu, état de contrainte planaire

Solides

σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +

σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +

σ_{z} [\frac{1}{f_{t, z}} - \frac{1}{f_{c, z}}] + \frac{{σ_{z}}^{2}}{f_{t, z} f_{c, z}} +

\frac{{τ_{yz}}^{2}}{{f_{v, yz}}^{2}} + \frac{{τ_{xz}}^{2}}{{f_{v, xz}}^{2}} + \frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} -

{[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1

α = \sum_{i} ∆ γ_{i}

Tsai-Wu, état de contrainte spatiale

Toutes les résistances doivent être définies comme positives.

On peut se représenter la condition d'écoulement comme une surface en forme d'ellipsoïde dans l'espace des contraintes à six dimensions. Si l'une des trois composantes de contrainte est fixée à une valeur constante, la surface peut être projetée sur un espace des contraintes à trois dimensions.

Si la valeur de f_y(σ) selon l'équation Tsai-Wu, état de contrainte plane est inférieure à 1, les contraintes se situent dans le domaine élastique. Le domaine plastique est atteint dès que f_y(σ) = 1. Les valeurs supérieures à 1 ne sont pas admises. Le modèle se comporte de manière idéalement plastique, c'est-à-dire qu'aucun durcissement n'a lieu.

Orthotrope | Plastique | Soudure (surfaces)

Ce modèle de matériau est utilisé pour les analyses avec le module complémentaire Assemblages en acier, afin de représenter le comportement des soudures conformément aux normes. Dans la surface équivalente, seules des contraintes correspondant aux composantes de contrainte σ_⊥, τ_⊥ et τ_|| de la soudure apparaissent. Dans les autres directions de contrainte, la rigidité de la surface équivalente tend vers zéro.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique | Soudure (Surfaces) »

Dans l'onglet « Orthotrope | Plastique | Soudure (surfaces) », vous pouvez définir les paramètres pour la prise en compte du durcissement plastique du matériau lors des soudures, par exemple les valeurs limites f_ekv et f_x pour la vérification des contraintes selon la « méthode directionnelle » selon EN 1993-1-8 [1] pour les soudures, modifiée par une part plastique (voir également l'article technique Vérification des soudures d'angle).

Béton

Pour le type de matériau « Béton », les modèles de matériau non linéaires Anisotrope | Endommagement et Isotrope | Endommagement (surfaces/solides) sont disponibles.

Modèles de matériau pour le béton

Ces modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Anisotrope | Endommagement du manuel Béton ou ci-dessus dans la section Endommagement (surfaces/solides).

Maçonnerie

Lorsque le module complémentaire de vérification Vérification de la maçonnerie est activé dans les données de base du modèle (licence requise), les modèles de matériau non linéaires Isotrope | Maçonnerie | Plastique (surfaces) et Orthotrope | Maçonnerie | Plastique (surfaces) sont disponibles pour le type de matériau « Maçonnerie ».

Modèles de matériaux pour la maçonnerie

Les deux modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Matériaux du manuel Maçonnerie.

Textile

La bibliothèque de matériaux contient deux séries pour le type de matériau « Textile » :

Verre-PTFE : tissu en fibre de verre revêtu de polytétrafluoroéthylène (PTFE)
PES-PVC : tissu en polyester revêtu de chlorure de polyvinyle (PVC)

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R = \frac{h_{0}}{l_{0}}

h₀	Hauteur de la maille élémentaire perpendiculairement au plan de la membrane
l₀	Longueur de la maille élémentaire

Paramètre R de la cellule unitaire

Pour les matériaux de la bibliothèque, R = 0,25 est prédéfini et, comme les autres valeurs caractéristiques, non modifiable. Pour un matériau défini par l'utilisateur, vous pouvez adapter R.

Si nécessaire, adaptez les coefficients de dilatation thermique du tissu α_x en direction de chaîne et α_y en direction de trame. Ils peuvent également être nuls.

Dans l'onglet « Valeurs de matériau », les valeurs caractéristiques d'un tissu sont indiquées comme il est usuel dans le secteur des membranes. La direction x correspond à la direction de chaîne, la direction y à la direction de trame.

Onglet « Valeurs de matériaux »

Épaisseur du tissu

L'épaisseur d'une membrane est très faible et difficile à déterminer de manière univoque. Dans le secteur des membranes, les rigidités et résistances sont donc indiquées par rapport à la largeur, par exemple en kN/m. RFEM reprend cette convention et convertit les valeurs en grandeurs de contraintes via l'épaisseur de référence t_ref.

E_{x} = \frac{E_{x, MV}}{t_{ref}} E_{y} = \frac{E_{y, MV}}{t_{ref}} G_{x y} = \frac{G_{x y, MV}}{t_{ref}}

E_x,MV / E_y,MV / G_xy,MV	Rigidités dans l'onglet 'Propriétés de matériau'
t_ref	Épaisseur de référence

Conversion des rigidités

Ces valeurs apparaissent dans l'onglet Valeurs de matériau. Si vous attribuez un tissu à une épaisseur, RFEM reprend l'épaisseur de référence t_ref du matériau comme épaisseur d.

La rigidité de membrane E_x · t_ref correspond à la valeur rapportée à la largeur de la bibliothèque. Les déformations et les efforts de membrane tels que n_x et n_y en kN/m ne dépendent donc pas de la valeur numérique de l'épaisseur de référence, tant que toutes les valeurs caractéristiques se rapportent à la même épaisseur de référence. Les contraintes se rapportent en revanche à l'épaisseur de référence.

banner.text@Les résistances f_x,k,23 et f_y,k,23 ainsi que le grammage m_s n'ont aucune influence sur le calcul. Les résistances sont disponibles pour les vérifications.
/

Si vous modifiez l'épaisseur de référence dans l'onglet « Valeurs de matériau » d'un matériau défini par l'utilisateur, cela affecte les valeurs dans l'onglet du modèle de matériau. Définissez donc d'abord l'épaisseur de référence, puis les rigidités.

Remarques sur la recherche de forme et la vérification

Le processus de recherche de forme est indépendant du matériau. Les valeurs caractéristiques du tissu n'ont aucune influence sur la forme trouvée. Elles n'agissent que sur le calcul ultérieur sous charge. Les fondements sont décrits dans le chapitre Processus de recherche de forme du manuel Recherche de forme.

banner.tip@Les structures à membrane se comportent fortement de manière non linéaire. Si le calcul ne converge pas, vérifiez d'abord le modèle : toutes les surfaces de membrane et câbles doivent présenter une charge de recherche de forme, et tous les bords de membrane doivent être retenus par des câbles ou des appuis linéiques.
/

Une précontrainte orthotrope constante n'est physiquement pas atteignable sur des surfaces à double courbure. Si vous combinez, avec la méthode standard, une précontrainte orthotrope avec un très grand nombre d'itérations de recherche de forme, des glissements tangentiaux dans le plan de la membrane, une convergence irrégulière et de grandes déformations dans le plan peuvent se produire. Ce comportement est indépendant du modèle de matériau. Utilisez le nombre d'itérations prédéfini ou sélectionnez la méthode de projection.

Références

Comité Européen de normalisation. (2009). Eurocode 3 : Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-8: Bemessung von Anschlüssen. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
Sandhaas, C. (2012). Comportement mécanique des assemblages bois avec tôles acier rapportées. Thèse de doctorat, TU Delft.

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Matériaux

Webinaire

Modèles

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Analyse non linéaire des matériaux

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Modèle de matériau de Tsai-Wu | Orthotrope élastique-plastique

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125x

Angle de portique